2023-2024学年北京市清华重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市清华重点中学高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
2.设：，：或，则是成立的( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，集合，，则集合( )
A. B. C. D.
5.若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.方程组的解集为( )
A. B. C. D.
7.设，是方程的两个实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
8.若，，则以，为根的一元二次方程是( )
A. B. C. D.
9.已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是( )
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11.命题“，都有”的否定是______．
12.已知集合满足，则满足要求的的个数是______ ．
13.已知全集，，，则如图中阴影部分表示的集合是______．
14.已知，是关于的方程的两个实根，且，则 ．
15.已知全集，，非空集合若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题：
若，则；
若，则中至少有个元素；
若，则中元素的个数可以为奇数；
若，则．
其中正确命题的序号为______ ．
三、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
已知集合，，．
求，，．
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知集合，集合．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知关于的方程的两个实数根为，．
当时，求的值；
若，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
集合，
则．
故选：．
求出集合，集合，利用交集定义能求出．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
由已知判断，，的推出关系即可判断充分及必要性．
【解答】
解：因为：，：或，
即成立时，一定成立，但成立时，不一定成立，
故是成立的充分不必要条件．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，，则．
故选：．
由交集的定义直接求解即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：集合，，
集合，，
由，解得，其中；
集合．
故选：．
根据交集的定义，列方程组求出、的值即可．
本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
可得，解得，，
所以．
故选：．
利用二次方程的解，列出方程组求解即可．
本题考查二次方程的解法，函数的零点的应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：方程组，解得，，
方程组的解集是．
故选：．
先解方程，得到方程组得解，再根据其解集为一对有序实数对，即可得到答案．
本题考查了直线的交点的坐标的集合表示方式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
由题意利用韦达定理可得可得和的值，再根据 ，计算求得结果．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理的应用，属于基础题．
【解答】
解：由，是方程的两个实数根，可得，，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，，
，解得，
，，
，为根的一元二次方程是．
故选：．
根据已知条件，结合韦达定理，求出，再比对选项的一元二次方程，即可求解．
本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：集合或，
由于“”是“”的必要不充分条件，
即，
所以有或，解得或，
实数的取值范围是．
故选：．
直接利用不等式的解法及应用，充分条件和必要条件的应用求出结果．
本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：当时，等式成立，当时，等式不成立，故A错误；
对于：如果，那么或，故B错误；
对于：如果，，则，故C错误；
对于：如果，两边同时乘以，那么，故D正确．
故选：．
分别根据等式的性质即可判断．
本题考查了等式的性质，考属于基础题．
11.【答案】，使得
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为：，使得，
故答案为：，使得．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
12.【答案】
【解析】解：因为，
于是得，，且集合中至少包含集合中的一个元素，
因此，集合的个数就是集合的非空子集个数，
而集合的非空子集个数为，
所以集合的个数为．
故答案为：．
根据给定条件分析出集合中一定有的元素以及可能有的元素即可得解．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：全集，，，
，
图中阴影部分表示的集合是：．
故答案为：．
求出，图中阴影部分表示的集合是，由此能求出结果．
本题考查阴影部分表示的集合的求法，考查补集、交集等基础知识，是基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
由题意，利用韦达定理、二次函数的性质，求得的值．
本题主要考查韦达定理的应用，二次函数的性质，属于基础题．
【解答】
解：，是关于的方程的两个实根，
，，且，
，可得，
则不满足，舍去或，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称．
所以当，则有，，，
进而有：，，，，
若，则，故正确；
若，则，，，能确定个元素，故不正确；
根据题意可知，，若，能确定个元素，
当，也能确定个，当，也能确定个所以，
则中元素的个数一定为偶数，故错误；
若，，，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，
则，，，
，，，
，，，
即，，，
，故正确．
综上：正确．
故答案为：．
根据定义和点关于坐标轴对称的性质可判断；
若，则中至少有个元素，故错误；
若，则中元素的个数一定为成对出现，故为偶数；
根据，显然图象关于轴，轴，和轴对称，判断即可．
本题考查集合新定义，考查元素与集合，集合与集合的关系，属于中档题．
16.【答案】解：集合，，，
则，，．
若，则，若，则，
故的取值范围是．
【解析】由交集，并集，补集的概念求解．
由题意列不等式求解．
本题主要考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．
17.【答案】解：由知：，
得，即实数的取值范围为；
由，得：
若即时，，符合题意；
若即时，需或，
得或，即，
综上知．
即实数的取值范围为．
【解析】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答题时要分类讨论，以防错解或漏解．
本题的关键是根据集合，集合且，理清集合、的关系，求实数的取值范围；
若，分两种情况进行讨论求解即可．
18.【答案】解：因为是的必要不充分条件，即对应的集合是对应集合的真子集，
所以，可得，
所以，
实数的取值范围：．
【解析】对应的集合是对应集合的真子集，列出不等式组，求解即可．
本题考查充要条件的应用，不等式的解法，是基础题．
19.【答案】解：当时，关于的方程，即，
若它的两个实数根为，，则，，
故．
由题意，可得，求得．
再根据韦达定理可得，，
若，或舍去，
综合可得，．
【解析】由题意，利用韦达定理，计算求得结果．
由题意，根据判别式大于或等于零以及韦达定理，计算求得的值．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，韦达定理，属于基础题．
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