2023-2024学年江苏省南通市如皋市高一（上）调研数学试卷（一）（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市如皋市高一（上）调研数学试卷（一）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，集合，则的真子集个数为( )
A. B. C. D.
2.设函数的定义域为，为奇函数是为偶函数的( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数则( )
A. B. C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时当时，是位数则是位数( )
A. B. C. D.
6.设集合，集合，，若，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数的定义域为，可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对任意非零实数恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知全集为，下列选项中，“”的充要条件是( )
A. B. C. D.
10.下列说法中正确的有( )
A. ，，且，当时，在上单调递减
B. 如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在上单调递减
C. 若是定义在上的函数，则为奇函数
D. 若是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则为偶函数
11.若，，，则下列结论中正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
12.定义其中表示不小于的最小整数为“向上取整函数”例如，，以下描述正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 是上的奇函数 D. 若，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知命题：，使得，则命题是______ 命题填“真”或“假”．
14.函数，的值域为______ ．
15.若，且，则实数的值为______ ．
16.设定义在上的函数在单调递减，且为偶函数，若，，，且有，则的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知，求的值；
已知，，求的值用，来表示．
18.本小题分
已知函数的定义域为集合，集合．
若，求；
；“”是“”的必要条件；．
从以上三个条件中选择一个，补充在下面横线上，并进行解答．
问题：若_____，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求实数，的值；
若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划如图，墙角线和互相垂直，学校欲建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上．
若欲建一条长为米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？
为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花圃，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？
21.本小题分
已知二次函数，恒有，．
求函数的解析式；
设，若函数在区间上的最大值为，求实数的值．
22.本小题分
已知函数对任意的，，都有，且当时，．
判断函数的单调性并证明；
若，解关于的不等式；
若，不等式任意的恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，集合，
则，则该集合的真子集个数为．
故选：．
先求出集合，然后结合集合的交集运算求出，再根据集合子集个数与集合元素的规律可求．
本题主要考查了集合交集运算，还考查了集合真子集个数的求解，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：的定义域为，为奇函数时，，
，
为偶函数，充分性成立；
是偶函数时，，，为奇函数，必要性成立；
综上得，为奇函数是为偶函数的充分必要条件．
故选：．
根据奇函数和偶函数的定义，充要条件的定义即可得出答案．
本题考查了充分条件和必要条件的定义，奇函数和偶函数的定义，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数，．
故选：．
由题意，根据分段函数的解析式，求出的值．
本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，，，，
故．
故选：．
由已知结合根式与分式指数幂的互化化简，，，即可比较大小．
本题主要考查了指数幂与根式的互化，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，即，
是位数．
故选：．
根据题意可求出的值，然后即可得出答案．
本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：集合，集合，，若，
当时，，解得．
当，时，
或，
解得或，
即实数的取值范围为，．
故选：．
化简后的基础上，借助于，分两种情况：和，得到两集合端点值的关系，求解不等式得到的范围．
本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了不等式的解法，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，
所以在上单调递增，且，
所以当或时，，当时，，
所以不等式等价于或，
解得或，
即不等式的解集为．
故选：．
由已知可得在上单调递增，且，从而可得当或时，，当时，，由此将不等式转化，即可求解不等式的解集．
本题主要考查了利用函数的单调性及奇偶性求解不等式，体现了转化思想的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意得，是偶函数，是奇函数，
且，
则，
由解得，，
所以函数开口向上，且关于轴对称，在上单调递增，
当时，不等式，即，
则对任意非零实数恒成立，即满足题意，故排除、；
当时，不等式，
由关于轴对称，在上单调递增，
所以，
即，
分离参数得，
由作为一个整体参数，可知所求的范围关于原点对称可排除，
令，
当且仅当，即时等号成立，
则，
由一次函数和反比例函数的性质可知在上是单调递增函数，
所以当时，取最小值，要使恒成立，则，则．
故选：．
特值验证法排除、；再分离参数将恒成立问题转化为函数最值求解可得选项．
本题考查了偶函数的性质、反比例函数的性质、基本不等式的应用及转化思想、分类讨论思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，若，则，若，则，
所以“”是“”的充要条件，故A正确；
对于，若，则，若，则，
所以“”是“”的充要条件，故B正确；
对于，若，则，此时成立，
若，但是，则，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于，若，则，
若，则，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误．
故选：．
利用集合间的包含关系，结合充分条件和必要条件的定义判断．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由单调性的定义可得，都有，则在上单调递减，故A正确；
对于，由单调性的定义可知如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在上不一定单调递减，故B错误；
对于，若是定义在上的函数，令，
则，故为偶函数，故C错误；
对于，令，因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
则的定义域为，且，故为偶函数，故D正确．
故选：．
由单调性的定义可判断；由函数奇偶性的定义可判断．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：当，时，显然错误；
若，则此时，由不等式性质可知，，B正确；
若，则，
故，C正确；
若，，则，，的正负无法确定，
所以，当且仅当时取等号，D正确．
故选：．
举出反例检验选项AB；利用比较法检验选项B，结合基本不等式检验选项D．
本题主要考查了不等式的性质及基本不等式的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由表示不小于的最小整数，则有且，即，
项，，则，，即，
则，故A正确；
项，令，则，解得，又为整数，则，或，
当时，即，则；当时，即，则，
故，则，故B正确；
项，，则，，
则不是上的奇函数，故C错误；
项，，若，则，即
则，又
由不等式的性质，，则，故D正确．
故选：．
结合对“向上取整函数”定义的理解，可得；项整体换元求解方程；项取特值即可．
本题考查取整函数的性质，属于中档题．
13.【答案】真
【解析】解：因为的开口向上，，
即函数的图象与轴有两个交点，
故存在，使得．
故为真命题．
故答案为：真．
由已知结合二次函数的性质及含有量词的命题的真假关系即可判断．
本题主要考查了命题真假判断，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：当时，，
对称轴为，
上单调递减，在上单调递增，
，，
在该区间的值域为，
当时，，
对称轴为，
在该区间上单调递增，
，，
在该区间的值域为，
综上所述，函数的值域为．
故答案为：．
根据已知条件，分区间讨论，并结合二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查函数值域的求解，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，，，
又，
，由换底公式得，
即，即，解得．
故答案为：．
本题利用对数的运算性质及换底公式即可．
本题考查对数的运算性质和换底公式，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为为偶函数，所以的图象关于对称，
又定义在上的函数在单调递减，
所以在单调递增，
若，，，且有，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
由已知可得的图象关于对称，在单调递增，从而可得，进而利用基本不等式求解的最小值．
本题主要考查函数奇偶性的综合，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
则，即，
由题意得，且，
所以，
所以；
因为，，
所以，
又，
故，
所以，
所以．
【解析】由已知结合指数幂的运算性质可求；
由已知结合指数与对数的互化及对数的运算性质可求．
本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，还考查了指数与对数式的互化，属于基础题．
18.【答案】解：由题意得，解得，即，
，，
当时，，
所以；
选，都可得，
故．
故的取值范围为．
【解析】先分别求出集合，，然后结合集合交集运算可求；
结合所选条件转化可得，然后结合集合包含关系可求．
本题主要考查了集合的交集运算及集合包含关系的应用，属于基础题．
19.【答案】解：因为函数是定义在上的奇函数，
则，，
所以，解得，
经检验满足题意，
故实数，的值为，；
由知，，
当时，，
又的对称轴为，
所以当时，，
当时，，
又的对称轴为，
所以当时，，
所以当时，，
故不等式恒成立时，，
所以实数的取值范围．
【解析】根据条件，利用奇函数的性质即可求出结果；
由得到，再求的值域，即可求出结果．
本题考查了奇函数的性质、二次函数的性质，也考查了转化思想及分类讨论思想，属于中档题．
20.【答案】解：由题意，设的长为米，则为直角三角形，，
米，
面积为，
由基本不等式得，
当且仅当，即时等号成立，
当长度为米时，面积最大值为平方米．
设的长为米，则为米，
四边形为矩形，在上，
，即，
，又，
，
因此∽，，
即，得，，
故，，
即，，得，解得：．
故的长的范圈为：米．
【解析】先设出的长为米，得，利用基本不等式求结果．
设的长为米，则为米，再得，，求出结果．
本题主要考查函数的实际应用，属于中档题．
21.【答案】解：因为二次函数恒有，
所以，
所以，，
因为，
故；
由知其图象的对称轴为直线，
当，即时，，解得；
当，即时，，解得舍，
故．
【解析】由已知等式代入可求，，进而可求函数解析式；
先求出的解析式，然后结合二次函数的单调性及对称性可求函数取得最大值的条件，建立关于的方程可求．
本题主要考查了待定系数法求解函数解析式，还考查了二次函数闭区间上最值求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
22.【答案】解：函数在实数集上单调递增，证明如下：
证明：任取，，使，
所以，，
，
所以，
所以在上单调递增；
由知，函数在上单调递增，
由，得到，即，
当时，得到；当时，；当时，，
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
因为，，
令，得到，
再令，，得到，
所以不等式，可化为，
即，
当时，，
当时，由，得到，
令，，如图：
当过点时，得到或，
由图知，时，在区间上，恒有，
综上，实数的取值范围为．
【解析】根据条件，通过构造利用定义法即可证明抽象函数的单调性；
利用中结果，将问题转成解不等式，再利用含参不等式的解法即可求出结果；
根据条件得到，再将问题转化成在区间上成立，再利用图象即可求出结果．
本题考查了利用定义法证明抽象函数的单调性、转化思想、数形结合思想及分类讨论思想，属于中档题．
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