2023-2024学年广东省东莞市重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年广东省东莞市重点中学高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知：，：，则是的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充要也不必要条件
4.不等式的解集是( )
A. 或 B. 或
C. D.
5.已知函数，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围( )
A. B. C. D.
7.若正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.我们用符号表示，，三个数中较大的数，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.下列说法正确的是( )
A. 方程的解集中有两个元素
B.
C. 是质数
D.
10.下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知函数的值域是，则其定义域可能是( )
A. B. C. D.
12.设正实数，满足，则( )
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最小值为 D. 的最小值为
二、非选择题（共90分）
13.理科命题“，”的否定是______．
14.已知函数，，则该函数的值域为______ ．
15.函数，在上是减函数，在上是增函数，则 ______ ．
16.已知，则的解析式为______ ．
17.已知集合，，求：
；
．
18.求下列不等式的解集．
；
；
．
19.根据定义证明函数在区间上单调递增．
20.已知是二次函数，且满足，，求解析式；
已知，求的解析式．
若对任意实数，均有，求的解析式．
21.某公司生产某种产品，其年产量为万件时利润为万元．
当时，年利润为，若公司生产量年利润不低于万时，求生产量的范围；
在的条件下，当时，年利润为求公司年利润的最大值．
22.设．
若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”．
故选：．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题即得．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以是的充分而不必要条件．
故选：．
利用集合的包含关系判断可得出结论．
本题考查充分必要条件，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
即不等式的解集是．
故选：．
利用一元二次不等式的解法求解即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数，
．
故选：．
根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．
本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接求解，注意变量的取值范围．
6.【答案】
【解析】解：由图象开口向上且对称轴为，在上是增函数，
所以，即．
故选：．
由区间单调性及二次函数性质求参数范围即可．
此题考查二次函数的图象性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为正数，满足，所以，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：．
由得，代入后利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，解得，
由，解得或，
由，解得或，
作出函数的图象如图：
由图可知，则的最小值为．
故选：．
分别联立方程求得交点坐标，画出函数的图像，数形结合即可得解．
本题属于新概念题，考查了学生的计算能力及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：方程，即，解得，即方程的解集中有一个元素，选项A错误；
是自然数，，选项B错误；
是质数，是质数，选项C正确；
是有理数，，选项D正确．
故选：．
根据元素与集合的关系逐一判断选项即可．
本题考查元素与集合的关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当时，若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，当时，则；当时，则，故C错误；
若，则，故D正确
故选D
根据不等式式的性质，令，可以判断的真假；由不等式的性质，可以判断，的真假；由不等式的性质，可以判断的真假，进而得到答案．
本题考查的知识点是不等式的性质，及命题的真假判断与应用，其中熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：函数，
当定义域是时，函数单调递减，
当时，，当时，，故其值域为，不合题意；
当定义域是时，函数单调递减，
当时，，当时，，故其值域为，符合题意；
当定义域是时，函数在单调递减，在单调递增，
当时，，当时，，故其值域为，符合题意；
当定义域是时，函数单调递增，
当时，，当时，，故其值域为，不合题意．
故选：．
根据二次函数的性质对各选项逐一验证即可．
本题考查利用函数的单调性求函数的值域，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：：因为，解得，当且仅当时取得最大值，故A错误；
：因为，当且仅当时取得最小值，故B正确；
：因为，所以，当且仅当时取得最小值，故C正确；
：因为，则，当且仅当时取得最大值，故D错误，
故选：．
利用基本不等式以及“”的代换对各个选项逐个化简即可判断求解．
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
13.【答案】，
【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题得命题“，”的否定是：，．
故答案是：，．
利用全称命题的否定是特称命题进行否定即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础．
14.【答案】
【解析】解：二次函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
又当时，；当时，，
，
该函数的值域为．
故答案为：．
利用二次函数的性质求解．
本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：函数在上是减函数，在上是增函数，
对称轴，解得：，
，
，
故答案为：．
先求出函数的对称轴，解出的值，求出解析式，进而求出的值．
本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，对称性，是一道基础题．
16.【答案】，
【解析】解：，令，则，
所以，
所以，．
故答案为：，．
利用换元法求解解析式即可．
本题考查换元法求解函数解析式相关知识，属于中档题．
17.【答案】解：集合，，
；
或，
．
【解析】应用集合的交运算、不等式性质求集合即可．
应用集合的补运算求集合即可．
本题考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：不等式可化为，即，
解得，所以不等式的解集为；
不等式可化为，因为，
所以不等式的解集为；
不等式可化为，所以不等式在时恒成立，
即不等式的解集为．
【解析】根据一元二次不等式的解法求解即可．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
19.【答案】证明：函数，设，
则，
又由，则，，
则有，
故函数在区间上单调递增．
【解析】根据题意，由作差法证明可得结论．
本题考查函数单调性的证明，注意函数单调性的定义，属于基础题．
20.【答案】解：令，
因为，所以，则．
由题意可知：
，
得，所以．
所以．
法一：配凑法
根据．
可以得到．
法二：换元法
令，则，
．
．
因为，
所以，
由得：，
解得：．
【解析】利用待定系数法即可得到解析式；利用配凑法或换元法即可得到解析式；利用方程组法即可得到解析式．
本题考查换元法与构造方程组法以及待定系数法求解函数解析式相关知识，属于中档题．
21.【答案】解：当时，令，
即，解得：，
所以生产量的范围是；
当时，，
则，
当时，，
当且仅当时，等号成立，
则此时最大值为万元，
综上，公司年利润的最大值为万元．
【解析】令，解之即可；
根据二次函数的性质和基本不等式即可得解．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时， 即，
解得：；
不等式等价于
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或
【解析】由已知可得，对于一切实数恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论进行求解
由已知可得，，结合二次不等式的求解可求．
本题主要考查了二次不等式与二次函数性质的相互转化，及二次不等式的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用．
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