2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，若，则( )
A. 或或 B. 或 C. 或 D. 或
3.集合，，之间的关系是( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，若的必要不充分条件是，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，且，则的范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 如果，那么
D. ，则
10.已知关于的方程，下列结论正确的是( )
A. 方程有实数根的充要条件是或
B. 方程有两正实数根的充要条件是
C. 方程无实数根的必要条件是
D. 当时，方程的两实数根之和为
11.已知，为正实数，，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
12.已知有限集，，如果中元素满足，就称为“完美集”下列结论中正确的有( )
A. 集合是“完美集”
B. 若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于
C. 二元“完美集”有无穷多个
D. 若，则“完美集”有且只有一个，且
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若正实数，满足，则的最小值是______ ．
14.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为______ ．
15.设，，则代数式的值为______ ．
16.已知集合，，，，若存在非零整数，满足，则______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，求：
当时，中至多只有一个元素，求的取值范围；
当、满足什么条件时，集合为空集．
18.本小题分
已知命题：，，命题：，．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题，至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
19.本小题分
设命题：实数满足，命题：实数满足．
若命题“，”是真命题，求实数的取值范围；
若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
20.本小题分
如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点，已知长为米，长为米，设．
要使矩形花坛的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？
要使矩形花坛的扩建部分铺上大理石，则的长度是多少时，用料最省？精确到米
21.本小题分
求证：“关于的方程有一个根为”的充要条件是“”．
22.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为，求的取值范围；
当时，解不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
．
故选：．
利用并集定义和不等式的性质直接求解．
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，属于中档题．
分别由，，求出的值，再将值代入验证即可．
【解答】
解：若，则，
，
；
若，则或，
时，，
；
时，舍，不符合互异性，
则或．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：集合，，
，
，
，
故选：．
根据集合之间的关系即可判断．
本题考查了集合之间的包含关系，属于基础题
4.【答案】
【解析】解：由得：，，解得：，
；
的必要不充分条件是，，
，解得：，即实数的取值范围为．
故选：．
解分式不等式可求得集合，根据必要不充分条件的定义可知两集合的包含关系，由此可构造不等式组求得结果．
本题主要考查分式不等式的解法，充分必要条件的定义，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，因为，则且，即且，
则“”是“”充分不必要条件，
故选：．
根据不等式可解出当时，则且，再根据充分不必要条件的定义可解．
本题考查不等式解法以及充分不必要条件的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设，
解得
，
．
，
即．
由题意将用和分别表示出来，然后根据且，求出的取值范围．
此题主要考查不等关系与不等式之间的关系，本题用的方法很重要，不要把，的范围分别求出来，那样就放大了的范围，这是一个易错点．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属中档题．
根据条件将用表示后代入中，得到，然后利用基本不等式求出最小值．
【解答】
解：，，且，
，，
，
当且仅当，即时取等号．
的最小值为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：依题意，
即，
设，是奇函数且在上递增，
所以，即，，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
化简已知不等式，利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性求得的取值范围，利用基本不等式求得的最小值．
本题主要考查了利用函数的单调性和奇偶性求解不等式恒成立问题，关键点是根据题目所给不等式进行化简，转化为“规范”的形式，如本题中，结构一致，从而可利用构造函数法来对问题进行求解．
9.【答案】
【解析】解：对，令，，则，选项A错误；
对，，
，选项B正确．
对，，
，
，
，
又，
，选项C正确．
对，，则，，
则，选项D正确．
故选：．
举特例判断选项A，由不等式的性质判断选项B、、，由此得出答案．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，若有实数根，则，得或，故A错误，
对于，由题意得，解得，故B正确，
对于，若无实数根，则，得，又，故C正确，
对于，当时，方程为，无实数根，故D错误，
故选：．
对于，若有实数根，则，
对于，由题意得，
对于，若无实数根，则，
对于，当时，方程为，无实数根．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为，当且仅当，时取等号，
所以的最大值为，故A错误；
对于，因为，当且仅当，时取等号，
所以，即的最大值为，故B正确；
对于，因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，故C正确，D错误．
故选：．
利用基本不等式依次判断各个选项即可．
本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项：，，
故，所以集合是“完美集“，故A错误；
对于选项：集合、是“完美集”，设，则、可以看成一元二次方程的两正根，
则，解得 舍或，即，所以至少有一个大于，故B正确；
对于选项：由可知，一元二次方程，当取不同值时，、的值是不同的，
因而二元“完美集”有无穷多个，故C正确；
对于选项：设，则，
所以，又，所以，
当时，，则，，不合题意，
当时，，所以只能是，，
由，代入解得，所以此时“完美集”只有一个，为，故D正确．
故选：．
由“完美集“的定义即可判断A错误；
由“完美集的定义可知、可以看成一元二次方程的两正根，则可得，则可判断、C正确；
设，由“完美集“的定义可知，结合，可知，，，由此即可判断D正确．
本题主要考查数列的应用，集合的新定义，考查逻辑推理能力，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：由，，，得当且仅当时，等号成立，
即，．
又，，即，的最小值为．
，的最小值为．
故答案为：．
由已知关系式可得的范围，从而确定的范围，可确定最值．
本题考查基本不等式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为等价于，
且等价于，即，
结合题意得，
所以，且，等号不同时成立，解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
根据题意，分别把不等式表示为集合的形式，可得，再解关于的不等式组，可得答案．
本题主要考查了不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
首先求解出，的值，配凑所求式子后，代入即可求得结果．
本题主要考查有理数指数幂的运算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为存在非零整数，满足，即有实数解且，
整理得：有实数解且，
所以，即
解得
因为是非零整数，所以，，
经检验知，只有时才可以保证有自然数解
所以存在唯一的非零整数使得．
故答案为：
根据集合关系，集合集合的基本运算进行求解
为自然数，可以根据已知条件一步步缩小的范围，然后验证．
17.【答案】解：由题意得，方程可化为，
当时，方程可化为，
，成立；
当时，
中至多只有一个元素，
，
解得，
综上所述，的取值范围为或；
当时，方程可化为，
为空集，
；
当时，
为空集，
，
综上所述，当或时，集合为空集．
【解析】化简方程为，分类讨论求解；
按方程是否为二次方程分类讨论求解．
本题考查了方程的解的个数及集合中元素个数的应用，应用了分类讨论的思想，属于中档题．
18.【答案】解：若命题为真命题，则当，恒成立，则，得．
则实数的取值范围是．
若命题为真命题，即，则，即，得或．
实数的取值范围是或．
若命题，至少有一个为真命题，则当真假时，，
当假真时，，
当，都为真时，则，
综上，的取值范围为．
【解析】根据命题真假以及二次函数的性质可解，再根据复合命题知识可解．
本题考查二次函数的性质以及复合命题真假相关问题，属于基础题．
19.【答案】解：因为命题“，”是真命题，所以，
所以，即，解得，即实数的取值范围是．
命题是命题的必要不充分条件，所以是的真子集，
若，满足条件，此时，即．
若，则，即，
因为是的真子集，所以，即，解得，
经检验时，满足是的真子集，
综上，实数的取值范围是
【解析】根据集合的包含关系求解；
将必要不充分条件转换为集合的真包含关系求解．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为集合关系进行求解是解决本题的关键，是中档题．
20.【答案】解：由题意可知∽，所以，
又，，所以，则，
所以，则，
所以矩形花坛的面积为，解得或，
所以长的范围为．
结合中结论，
可得扩建部分面积为
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当为米时，扩建部分面积最小，用料最省．
【解析】利用三角形相似得到，从而可得花坛的面积为求得，即的取值范围；
利用表示扩建部分面积，再利用基本不等式即可求得时，扩建部分面积最小，从而用料最省．
本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
21.【答案】证明：关于的方程有一个根为，等价于是方程的一个根，
等价于，
关于的方程有一个根为的充要条件是
【解析】根据充要条件的定义，把要证的结论等价转化，即可．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，充要条件的定义，属于基础题．
22.【答案】解：函数，
当，即时，不等式可化为，它的解集不是，不满足题意；
当，即时，应满足，
即，
解得；
即；
综上知，的取值范围是．
当时，不等式化为；
当时，即时，不等式为，解得；
当时，即时，不等式化为，且，解不等式得或；
当时，即时，不等式化为，
因为，所以，所以，解不等式得；
综上知，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为
【解析】讨论和时，分别求出不等式的解集为时的取值范围．
不等式化为，讨论、和时，分别求出对应不等式的解集即可．
本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
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