2023-2024学年广东省广州市越秀区重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年广东省广州市越秀区重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.命题“，有实数解”的否定是( )
A. ，有实数解 B. ，无实数解
C. ，无实数解 D. ，有实数解
2.已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B.
C. D.
4.已知函数，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知命题：，命题：，，若是成立的必要不充分条件，则区间为( )
A. B.
C. D.
6.若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. ， D.
7.若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设表示函数在闭区间上的最大值．若正实数满足，则正实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法中正确的是( )
A. 函数的最小值为
B. 若，，则
C. 函数的值域为
D. 函数与函数为同一个函数
10.若函数，则( )
A. B.
C. D. 且
11.如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”，下列函数是“交汇函数”的是( )
A. B.
C. D.
12.对，表示不超过的最大整数，如，，，我们把，叫做取整函数，也称之为高斯函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真命题有( )
A. ，
B. ，，
C. ，，若，则
D. 不等式的解集为，
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知集合，，则满足的集合的个数为______ ．
14.已知正实数，满足，则的最小值为______．
15.设函数，若关于的不等式的解集为，则 ______ ．
16.已知函数，若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
设集合，．
若时，求，．
若，求的取值范围．
18.本小题分
分别用符号语言、文字语言叙述并证明基本不等式．
19.本小题分
设．
若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
已知，解关于的不等式．
20.本小题分
某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为元，年销售万件．
据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
21.本小题分
已知函数，．
若不等式的解集为，求不等式的解集；
若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
设函数，其中为常数且．
新定义：若满足，但，则称为的回旋点．
当时，分别求和的值；
当时，求函数的解析式，并求出回旋点；
证明函数在有且仅有两个回旋点，并求出回旋点，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，命题“，有实数解”为存在量词命题，
其否定为：，无实数解．
故选：．
根据题意，由全称量词命题与存在量词命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称量词命题与存在量词命题的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：或，或，
或，或，
图中阴影部分表示的集合为．
故选：．
由图形可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算即可求解．
本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于选项A，
，，即，
故错误；
对于选项B，
当，，时，，
故错误；
对于选项C，
，，
，
故错误；
对于选项D，
，，
，
故正确；
故选：．
结合不等式的性质，可判断选项A，，；取，，，可判断选项B．
本题考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
令，则，
当时，显然无解，
当时，，
解得或舍，
所以，
当时，，此时不存在，
当时，，
则或舍，
综上，．
故选：．
先令，则，结合已知函数解析式对的正负进行分类讨论可求，进而可求，再代入函数解析式可求．
本题主要考查了由函数值求解变量的取值，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】【分析】
先把，成立，转化为，得到关于的一元二次不等式求出的范围，再根据充分条件，必要条件的概念判断即可．
本题考查了充分条件和必要条件的应用，考查了存在命题的求解问题，属于中档题．
【解答】
解：，，，
，，即或，
是的必要不充分条件，
，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次不等式的解法，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想，属中档题．
据题意，分两种情况讨论：当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合种情况即可得答案．
【解答】
解：根据题意，分两种情况讨论：
当时，即，
若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集，符合题意；
若时，原不等式为，无解，不符合题意；
当时，即，
若的解集是空集，则有，解可得，
则当不等式的解集不为空集时，有或且，
综合可得：实数的取值范围为，；
故选C．
7.【答案】
【解析】解：对任意实数，，不等式可化为，
，
令，，
令，
函数取得最大值为，
，
实数的最小值为，
故选：．
不等式分离参数，再利用换元法，构造函数，利用导数法确定函数的最大值，从而可求实数的最小值．
本题考查恒成立问题，涉及到两个变量，一般都是把它变成一个变量去考虑的，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：函数的图像如下：
的对称轴为，，；
分类讨论如下：
当时，，，
依题意，，而函数在时是增函数，，，故不可能；
当时，，
依题意，，即，
令，解得：，
则有：并且，解得：；或者并且，无解；
故选：．
作图分析函数的特点，再分类讨论即可．
本题考查了分段函数的最值问题，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的基本性质、基本不等式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
根据题意，利用基本不等式，函数的基本性质，逐一分析选项，即可得出答案．
【解答】
解：对于：，
由，显然该方程无实数解，
故，
，
故最小值不是，故A错误；
对于：，，
，
即，故B正确；
对于：，
，故函数的值域为，故C正确；
对于：由可得函数的定义域为，
由函数，可得，即，解得或，
故函数的定义域为或，
两个函数的定义域不同，
两个函数不是同一函数，故D错误，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：令，则，因为，所以，
则，
即，故C错误，所以，故A正确，
，故B错误，
且，故D正确，
故选：．
令，则，因为，所以，然后利用换元法求出函数的解析式，由此即可判断选项C，再分别令，，即可判断选项B，，再把换成，即可判断选项D．
本题考查了函数解析式的求解，涉及到换元法，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由”交汇函数“的定义可知，”交汇函数“表示函数定义域与值域交集为．
对于选项A，的定义域，值域，则，故A正确；
对于选项B，的定义域，令，则，值域，则，故B正确；
对于选项C，，因为，所以，
所以，定义域，值域，则，故C错误；
对于选项D，，因为，所以，所以定义域，因为，
且，所以，
所以，即，
所以值域，则，故D错误．
故选：．
求出各选项中函数的定义域和值域，再求其定义域和值域的交集，结合“交汇函数“的定义即可判断各选项．
本题考查函数的定义域和值域，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，，，所以为假命题；
对于，，，，所以为真命题；
对于，因为，所以，，所以，为真命题；
对于，解不等式，得或，所以不等式的解集为，，为真命题．
故选：．
根据的值，分析每个选项，项可以举出反例，项可以在中找出存在令命题成立的一对实数，，项根据，可以得到，属于相同区间，项先解出的范围，再解出的取值范围．
本题考查函数新定义问题，涉及一元二次不等式的解法、特值法的综合应用，属于较难题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，，都是集合中的元素，
集合中的元素还可以有、、，
所以集合为：，，，，，，，共个．
故答案为：．
求出集合、，再根据写出所有的满足条件的集合，进而可得正确答案．
本题考查集合间关系的应用，考查集合的表示方法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以，
则，
当且仅当，即，时取“”，
故答案为：．
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基本知识的考查．
15.【答案】
【解析】解：当满足不等式知，即，
所以，
所以，
所以的两根为，，
而可化为，
即，
所以方程的两根为，，
且，
不等式的解集为，
可知，
解得，
所以，
所以，
故答案为：．
据不等式的解集可得，，应为不等式对应方程的根，故分析两个不等式对应方程的根，即可求解．
本题主要考查不等式与方程的关系，不等式解集的端点为对应方程的根，属于中档题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，属于简单题．
当，即时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当，即时，则，即可得出结果．
【解答】
解：当，即时，由二次函数的图象和性质，可知：
存在，且，使得成立；
当，即时，
若存在，且，使得成立，
则，
解得：，
，
综上所述：实数的取值范围是，
故答案为．
17.【答案】解：，，
当时，则，所以，
或，又，
所以或．
，，
当时，则有，即，满足题意；
当时，则有，即，
可得，解得：．
综上所述，的范围为或．
【解析】根据交集、补集和并集的概念可求出结果；
由得，再分类讨论是否为空集，根据子集关系列式可求出结果．
本题考查交集、补集和并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：符号语言： ，当且仅当时取到等号．
文字语言：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当两正数相等时两者相等．
证明：因为，
当且仅当，即时取到等号，
所以
【解析】利用作差法，结合完全平方公式证明即可．
本题考查基本不等式的证明，属于基础题．
19.【答案】解：由对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
当时，，不满足题意；
当时，则满足，解得，
综上所述，实数的取值范围为．
由不等式，即，
方程的两个根为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
综上所述，
当时，不等式的解集为；
当时，解集为．
【解析】根据题意，转化为对一切实数恒成立，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
根据题意，求得的两个根为，分类讨论，即可求解．
本题考查函数恒成立问题及一元二次不等式及其应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：设该商品每件定价为元，
若价格每提高元，销售量将相应减少件，可得销售量为，
由题意可得，
整理得，解得．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元．
依题意知当时，不等式有解，
等价于时，有解，由于，
当且仅当，即时等号成立，所以，
当该商品改革后销售量至少达到万件时，
才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元．
【解析】设每件定价为元，由题意得，解不等式可得所求结论；
由题意可得当时，不等式有解，运用参数分离和基本不等式可得所求结论．
本题考查二次不等式的解法和基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意，，为方程的两个不等实数根，
，所以不等式为，
解得或，
所以不等式解集为．
，即对恒成立，
令，即对恒成立，
因为函数开口向上，故只需满足，即，
解得，所以的取值范围为；
当时，，开口向上，对称轴为，
当时，，，
，时，，
对任意，总存在，使成立，即函数的值域是函数的值域的子集，
即，则，
解得，所以的取值范围为．
【解析】由，为方程的两个不等实数根，根据韦达定理求解，然后解一元二次不等式即可；
将不等式化简，令，可得对恒成立，只需满足，求解的范围；
根据二次函数与一次函数的性质求解函数与的值域，将问题转化为函数值域是函数值域的子集列不等式组求解．
本题主要考查函数性质的运用以及不等式的恒成立问题，考查转化思想和运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：当时，，
则，
，；
解：中时，值域也是，
又，，，
由，得，
当时，，
同理，当时，，
，
当时，；
当，由，得，
，故不是的回旋点．
当时，由，
得，
，
是的回旋点；
证明：当时，由，解得，
由于，故不是的回旋点．
当时，由，解得，
，
故是的回旋点．
因此，函数有且仅有两个回旋点，，．
【解析】本题考查求函数的值，新定义的理解，考查了方程的思想和转化化归的思想，属于难题．
将代入中，然后直接计算和的值即可；
根据条件求出的解析式，然后讨论，，的大小关系，得到函数，再根据，求出的回旋点；
根据新定义，分或两种情况讨论，再根据定义证明即可，进一步求出回旋点，．
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