2023-2024学年辽宁省沈阳重点高中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年辽宁省沈阳重点高中高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.命题：：，的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.定义，设集合，集合，则集合中真子集的个数是( )
A. B. C. D.
3.集合( )
A. ， B. ，
C. D.
4.已知不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知，，设，，则( )
A. B. C. D.
6.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知集合，则有
( )
A. B. C. D.
10.下面命题正确的是( )
A. “”是“”的充要条件
B. 设命题甲为，命题乙为，那么甲是乙的充分不必要条件
C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件
11.若，，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
12.下列说法正确的是( )
A. 若正数，满足，则的最小值为
B. 已知，，，则的最小值为
C. 已知，则的最小值为
D. 函数的最小值是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若实数，满足，，则的取值范围为______．
14.已知方程组的解也是方程的解，则的值为______．
15.已知关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围为______ ．
16.若实数，满足，则的最小值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
设命题：实数满足，其中，命题：实数满足或．
若，且，均为真命题，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，是三角形的三边长，关于的方程的解集中只有一个元素，方程的根为．
判断三角形的形状；
若，为方程的两个实数根，求实数的值．
19.本小题分
随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大．某物流公司为扩大经营，今年年初用万元购进一批小型货车，公司每年需要付保险费共计万元，除保险费外，从第一年到第年所需维修费等各种费用总额为万元，且该批小型货车每年给公司带来万元的收入．
该批小型货车购买后第几年开始盈利？
求该批小型货车购买后年平均利润的最大值．
20.本小题分
已知函数．
若的解集为，求，的值．
若，求解不等式．
21.本小题分
已知集合，求实数的取值范围；
在上定义运算“”：，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
证明题：
已知，求证：；
求证：其中．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：命题，的否定为，．
故选：．
根据全称命题的否定判断即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
则集合中真子集的个数是个，
故选：．
先求出集合，由此能求出集合的真子集的个数．
本题考查集合的求法，考查集合的真子集个数的求法，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，得，解得，
则集合．
故选：．
根据分式不等式的解法求解不等式，即可得出答案．
本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：不等式，解得．
由不等式成立的充分不必要条件是，
，解得．
则的取值范围是．
故选：．
不等式，解得由不等式成立的充分不必要条件是，即可得出．
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
当且仅当且时等号成立，所以，
故选：．
利用作差法比较即可．
本题主要考查了比较法的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为对对任意恒成立，
所以即，
解得或．
故选A．
利用绝对值的几何意义，求出的最大值不大于，求出的范围．
本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，以及恒成立问题，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意知，是的根，且，
所以，即，
故所求不等式可化为，整理得，
因为，所以，即，
解得，
所以不等式的解集为．
故选：．
易知，是的根，且，于是有，代入所求不等式，并化简，转化为一元二次不等式，解之即可．
本题考查根式不等式，一元二次不等式的解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为正实数，满足，
所以，
则，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
由已知利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了描述法、列举法的定义，空集是任何集合的子集，子集的定义，元素与集合的关系，考查了计算和推理能力，属于基础题．
可以求出集合，根据子集的定义及元素与集合的关系即可判断每个选项的正误．
【解答】
解：，
，，，．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于，当时，可得，可推出，
反之，若，可能，不能推出，
故“”不是“”的充要条件，A错误；
对于，解不等式，得，
由可推出成立，反之由不能推出，
因此，甲是乙的充分不必要条件，B正确；
对于，当且时，可得，即成立，
反之，若，可能且，不能推出且成立．
因此，“且”是“”的充分不必要条件，C错误；
对于，当时，不能得到，反之，若，必定有成立．
因此，“”是“”的必要不充分条件，D正确．
故选：．
根据不等式的性质与充要条件的定义，对各项逐一判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查了不等式的性质、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，若，则，故A正确；
对于，，因为，所以，
所以，所以，故B错误；
对于，若时，，，所以，故C错误；
对于，，因为，，所以，
所以，所以，故D正确；
故选：．
由不等式的性质逐一判断即可．
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，由可得，，即，解得，
，当且仅当，，取等号，
即的最小值为，故A正确；
对于，，当且仅当时，取等号，即的最小值为，故B正确；
对于，，
令，则，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于，令，
则，
当且仅当时，取等号，但，即，故D错误．
故选：．
由，结合基本不等式判断；由，结合基本不等式判断；由得出，再由换元法结合基本不等式判断；由换元法结合基本不等式判断．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：令，
则，解得，．
，，
，，
．
故答案为：．
令，利用系数相等列式求得与的值，再由不等式的性质求解的取值范围．
本题考查简单的线性规划，考查不等式的性质，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，
得，
代入，即，
解得，，则，
代入，
得．
由方程组得方程的解，再代入解出的值．
本题考查解方程组，属于容易题．
15.【答案】
【解析】解：关于的不等式的解集为，转化为方程式的两个不相等的实数根为，，且，
由韦达定理得，，且，
又，
，即，
，解得或，
故实数的取值范围为，
故答案为：．
题意转化为方程式的两个不相等的实数根为，，且，由韦达定理得，，且，列出关于的不等式组，即可得出答案．
本题考查一元二次不等式的解法和二次函数的图象与性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式求解最值的应用，解题的关键是配凑基本不等式的应用条件．
由题可知，，从而有，利用基本不等式可求．
【解答】
解：，满足，
，，，
则，
，
当且仅当且，
即，时取得最小值为．
故答案为．
17.【答案】解：时命题中的范围，
命题：实数满足或，
若，均为真命题，
则取交集可得的范围；
若是的充分不必要条件时，，或，，
又可得的取值范围．
【解析】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，属于中档题．
求出时中的取值范围，然后求交集即可；
根据条件得到，或，，再结合的范围求解即可．
18.【答案】解：由题意知，方程有两个相等的实数根，
，整理得，
又方程的根为，，
把代入得，，
为等边三角形；
，是方程的两个实数根，
方程有两个相等的实数根，
，即，解得或．
当时，原方程的解为不符合题意，舍去．
．
【解析】由题意可知，再结合方程的根为求解即可；
由题意可知，进而求出的值．
本题主要考查了一元二次方程根的个数问题，考查了三角形形状的判断，属于基础题．
19.【答案】解：由题意可得，，即，化简整理可得，，解得，
故该批小型货车购买后第年开始盈利．
设该批小型货车购买年后的年平均利润为，
则，当且仅当，即时，等号成立，
故该批小型货车购买后年平均利润的最大值为万元．
【解析】由题意可知，当利润为正时开始盈利，即，解出的取值范围，即可求解．
设该批小型货车购买年后的年平均利润为，求出的解析式，再结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于基础题．
20.【答案】解：的解集为，
方程的两个实根分别为，，且，
则，
解得；
不等式中，
当时，则，
化为，
若时，即，解得，
若时，即，无解，
若时，即，解得，
综上，当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为．
【解析】由已知得方程的两个实根分别为，，且，直接将根代入即可得出答案；
分类讨论结合判别式即可求解．
本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了含参数的一元二次不等式的解法，属于中档题．
21.【答案】解：因为对于任意，都有恒成立，
当，即时，不等式为对任意恒成立，符合题意；
当，即时，对于任意恒成立，
只需，解得，所以；
综合可得实数的取值范围是；
由题意知不等式化为，即，
设，，则的最大值是，
所以令，即，
解得，
即实数的取值范围是．
【解析】对进行分类讨论：验证显然成立；时，利用判别式法即可求解；
先把不等式化为，利用分离参数法得到，求出的最大值得到，即可解出的取值范围．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
22.【答案】证明：，
因为，
所以，，，
所以，
所以；
要证其中，
只要证，
只要证，
只要证，
只要证，
只要证，
只要证，显然成立，
所以．
【解析】作差判定正负即可得到大小关系，两边同时平方，化简再次平方即可判定大小关系．
本题考查不等式证明，属于中档题目．
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