2023-2024学年辽宁省沈阳重点学校高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年辽宁省沈阳重点学校高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，则一定有( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设是实数，使得不等式成立的一个充分而不必要的条件是( )
A. B. C. D.
4.设集合，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.下列关于集合相等的说法正确的有( )
；
；
；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.设，且，那么( )
A. 有最大值 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最小值
8.对于所有的正实数，，都有成立，则整数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.我们知道，如果集合，那么的子集的补集且，类似地，对于集合，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作例如：，，则有，，下列解答正确的是( )
A. 已知，，则
B. 已知或，，则或
C. 如果，那么
D. 已知全集、集合、集合关系如图中所示，则
10.下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是( )
A. “，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 设，，，则“”是“”的充要条件
D. “，”是“”的充要条件
11.已知，是关于的一元二次方程的两根，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
12.已知，，下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B.
C.
D. 若，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知集合有且只有一个元素，则实数的取值集合为______ ．
14.已知关于的不等式的解集为，求的解集为______ ．
15.已知集合，，，，则实数的取值范围是______ ．
16.已知，，若它们同时满足：
，或；，
则取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，，若．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ设二次函数在处的值为，解关于的不等式．
18.本小题分
Ⅰ求方程组的解集；
Ⅱ求不等式的解集．
19.本小题分
设实数集为全集，集合，集合．
Ⅰ当时，求及；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知．
Ⅰ若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；
Ⅱ方程有两个不相等的实数根，，
是否存在实数使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
若，均大于零，试求的取值范围．
21.本小题分
沈阳市地铁号线开通后将给和平长白岛居民出行带来便利已知该条线路通车后，地铁的发车时间间隔单位：分钟满足经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人．
Ⅰ写出关于的函数表达式；
Ⅱ若该线路每分钟的净收益为元，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为多少？
22.本小题分
设函数，函数．
Ⅰ求的取值范围；
Ⅱ若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；
Ⅲ若关于的不等式在存在解集，求整数的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于，由于不满足，故，故A错误；
对于，虽然是集合的元素，但应该是，而不是，故B错误；
对于，由于不满足，故不是的子集，故C错误；
对于，由于不满足，故不是的元素，即，故D正确．
故选：．
根据题意，判断各选项中的元素是否为的元素，找出表示法正确的选项，可得答案．
本题主要考查了集合的表示法、元素与集合的关系判断等知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
由全称量词命题的否定是存在量词命题，即可求解．
【解答】
解：全称量词命题的否定是存在量词命题，
命题“，”的否定是“，”
故选B．
3.【答案】
【解析】解：不等式，即，可得，
等价于，即，解得．
综上所述，不等式成立的充要条件是，
对照各个选项，找出集合的一个真子集，
可得不等式成立的一个充分而不必要的条件是．
故选：．
根据题意，先找出不等式成立的充要条件，再根据充分不必要条件的概念找出答案．
本题主要考查了不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：集合的解集为，因为，得到，
所以的取值范围是
故选：．
求出集合的解集，然后根据集合和的交集不为空即两个集合有公共元素，得到的取值范围．
本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．
5.【答案】
【解析】解：对于，，，
，故正确；
对于，，，
，故错误；
对于，，，
，故正确；
对于，，
，，故错误，
所以说法正确的有个．
故选：．
根据集合的含义，以及集合相等的定义判断即可．
本题主要考查了集合的表示方法，考查了集合相等的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，故，
且，故，
综上所述，．
故选：．
根据题意，作差法比较出且，从而得到．
本题主要考查了二次的性质、作差法比较两个实数的大小等知识，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以，当且仅当时取等号，
解得，即有最小值，D正确；
由，当且仅当时取等号，
解得，即有最小值，A错误，B错误；
由于，当且仅当时取得等号，C错误．
故选：．
由已知结合，结合选项进行检验即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题设，，
令，则，
所以在上恒成立，
当时，则不满足题设；
当时，对称轴为，只需，
可得，
综上，，
故整数的最小值为．
故选：．
令，将问题化为在上恒成立，讨论、，结合二次函数性质列不等式组求参数范围，即可得最小整数值．
本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对：由定义可得，故A错误；
对：由定义可得或，故B正确；
对：如果，则，那么，故C错误；
对：如图，阴影部分表示，由定义阴影部分也表示，
则，故D正确．
故选：．
根据定义可判断；根据差集与补集的定义可判断．
本题考查子集与交集的关系，读懂题目所给定义是关键，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，当、都是偶数时，可得是偶数，
反之当是偶数时，不能得到、都是偶数，
故“，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，A正确；
对于，若，则由不能推出，
反之，若，则一定是正数，有成立．
故“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对于，设，，，根据，
整理得，所以，
反之，若，显然成立，
故“”是“”的充要条件，C正确；
对于，若，，则成立，
反之，若，不一定有成立，，
故“，”是“”的充分不必要条件，不正确．
故选：．
根据充分必要条件的定义，对各选项逐一加以判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查了不等式的性质、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，是关于的一元二次方程的两根，
所以，，故A错误，B正确，
又，
，故C正确，
若，则，
又，
，，
，，故D错误．
故选：．
利用根与系数的关系，依次分析求解即可．
本题考查了一元二次方程的理解与应用，根与系数关系的理解与应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为，，，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时，取“”，故A正确；
对于，当时，，故B错误；
对于，，
即，当且仅当时，取“”，故C正确；
对于，由若得，
化简得，所以，
因为，，所以，
所以．
当且仅当，即时，取等号，
所以，故D正确．
故选：．
由得，则，利用基本不等式即可判断；由特例即可判断；分别使用基本不等式即可判断；用表示，利用基本不等式即可判断．
本题考查了基本不等式及其应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为集合有且只有一个元素，
所以只有一个解，所以满足题意，
当时方程有重根，集合只有一个元素，所以实数的取值集合为：．
故答案为：．
通过集合有且只有一个元素，方程只有一个解或重根，求出的值即可．
本题考查元素与集合的关系，方程的解的求法，考查基本知识的应用．
14.【答案】或
【解析】解：关于的不等式的解集为，
和是方程的两个根，
，
解得，
可化为，
解得或，
即的解集为或．
故答案为：或．
由题意可知和是方程的两个根，利用韦达定理求出，的值，再代入所求不等式求解即可．
本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了韦达定理的应用，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，，
若，则，即有正根，
则，解得．
实数的取值范围是．
故答案为：．
问题转化为有正根，进一步得到关于的不等式组求解．
本题考查交集及其运算，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，，
当时，，不成立，
所以当时，．
所以，
在时，恒成立．
由二次函数的性质可知开口方向只能向下，且二次函数与轴的交点都在的左侧，
则：，解得，
即成立的的范围为．
又时，，
所以，在时成立，
所以，解得，
由得：．
故参数的取值范围为
故答案为：
直接利用二次函数的性质和不等式的解法的应用求出参数的取值范围．
本题主要考查全称量词和存在量词，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ，，
当，即时，，与题设条件矛盾，舍去；
当，即时，，，
满足，
当，无解，
综上可知．
Ⅱ二次函数在处的值为，
由Ⅰ知，可得，
关于的不等式即为，
即，
即，
或，
所求不等式的解集为．
【解析】Ⅰ依题意，，对与与分别讨论分析，即可求得实数的值；
Ⅱ由Ⅰ知，可得，解不等式即可．
本题考查一元二次不等式的解法，求参数的值是关键，考查分类讨论思想与方程思想，考查集合的运算，属于中档题．
18.【答案】解：根据题意，，
可得：，变形可得，
将代入可得：，
解可得：或，
又由，当时，，
当时，，
即方程组的解为，；
根据题意，不等式，即，
变形可得：，
解可得：或，
即不等式的解集为．
【解析】根据题意，两式相减可得，将其代入中，求出的值，进而计算可得答案；
根据题意，不等式变形为，求出的范围，分析可得答案．
本题考查其他不等式的解法，涉及二元二次方程组的解法，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ集合，
当时，集合，
，；
Ⅱ，，
或，
当时，，符合题意，
当时，则，，
则，
，
综上所述，实数的取值范围为
【解析】Ⅰ先求出集合，，再利用集合的基本运算求解；
Ⅱ由题意可知，分和两种情况讨论，分别求出的取值范围，最后取并集即可．
本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，以及集合间的包含关系，属于基础题．
20.【答案】解：Ⅰ不等式，
当时，显然对任意都成立；
当时，要使不等式解集为，则满足，
解得，
综上所述的取值范围是
Ⅱ方程，即有两个不相等的实数根，，
所以，
解得．
由韦达定理有，，．
假设存在实数，使成立，则，
即，
解得，又，
所以不存在实数使成立；
因为，所以，所以，
因为若，均大于零，所以，，
即，解得，
又因为，所以的取值范围是．
【解析】Ⅰ将不等式转化为一元二次不等式恒成立，再求的取值范围；
Ⅱ由韦达定理求出，及，代入条件中求解；
由确定，再代入中，利用二次函数求出值域，再解不等式求的取值范围．
此题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了韦达定理，考查了二次函数在给定区间上的值域，考查了分式不等式的解法，属于中档题．
21.【答案】解：当，时，；
当，时，设，
，解得，所以，
所以，
人．
当，时，
，
当时，，
当，时，，
，
当且仅当时，即时，取到最大值．
故当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元．
【解析】由题意分别写出，与，时，的表达式，写成分段函数的形式，可得的表达式，可得的值；
分别求出，时，，时，净收益为的表达式，并求出其最大值，进行比较可得净收益最大及收益最大时的时间．
本题主要考查分段函数解析式的求解及函数模型的实际应用，及利用基本不等式求解函数的最值，综合性大，属于中档题
22.【答案】解：Ⅰ因为为上的奇函数，
当时，，
当时，，当且仅当时取等号，则，
根据奇函数的对称性可知，的取值范围为；
Ⅱ当时，的范围为，
对于任意的，总存在，使得，
则，
所以，即，
所以的取值范围为；
Ⅲ若关于的不等式在存在解集，
整理得，在存在解集，
令，则，
故在上有解，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
故的范围为．
【解析】先判断函数的奇偶性，然后结合基本不等式及函数的奇偶性可求；
Ⅱ由题意得，，然后结合一次函数单调性及Ⅰ的结论可求；
Ⅲ由已知不等式整理不等式，然后结合存在性问题与最值关系的转化可求．
本题主要考查了函数的奇偶性，基本不等式在最值求解中的应用，还考查了由不等式恒成立与存在性问题求解参数反范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
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