2023-2024学年江苏省南京重点中学高一（上）学情调研数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省南京重点中学高一（上）学情调研数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.命题：，的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知，，则( )
A. B. ，
C. D.
3.在上定义运算：，则满足的实数的取值范围为( )
A. B.
C. ，或 D.
4.设，是函数的两个零点，则的值为( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的有( )
A. 不等式的解集是
B. 若，则的最小值为
C. 若，则的最小值为
D. “”是“”的必要不充分条件
11.若，，，则对一切满足条件的，恒成立的有( )
A. B. C. D.
12.若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.集合，用列举法表示集合 ______ ．
14.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______ ．
15.我们知道，如果结合，那么的子集的补集为且类似地，对于集合，，我们把集合且叫作集合与的差集，记作例如，，，则有，若，，则 ______ ．
16.已知，均为正实数，且，则的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
化简：；
已知，分别求，的值．
18.本小题分
已知集合．
若，请写出集合的所有子集；
若，且是的充分条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
设全集为，集合或，非空数集．
若，求；
在；；这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知：关于的不等式对于恒成立；：存在，使得成立．
若为真命题，求实数的取值范围；
若，一真一假，求实数的取值范围．
21.本小题分
地铁使我们日常出行更加便利某地在修建地铁线路中的某一站点时，车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此某工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左、右两面墙的长度均为米．
设该工程队的总报价为元，请用表示；
当左右两面墙的长度为多少米时，该工程队的报价最低？最小值为多少？
22.本小题分
设函数．
设对于任意，恒成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由命题“，”是存在量词命题，
则它的否定是全称量词命题：，．
故选：．
存在量词特称命题的否定是全称量词命题．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
或，，．
故选：．
进行补集和交集的运算即可．
本题考查了描述法、区间的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由定义运算：，得
．
，
解得：．
满足的实数的取值范围为．
故选：．
由定义运算化简不等式，然后直接求解一元二次不等式得答案．
本题是新定义题，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，是函数的两个零点，
，，，
则．
故选：．
由题意，利用韦达定理，求出要求式子的值．
本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：即，同号，
，
，
所以；反之时，
所以是的充分不必要条件．
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义，以及绝对值的意义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值的意义是解决本题的关键，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
利用指数幂的运算性质即可得出．
本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：当，即时，原不等式为，满足题意；
当，即时，因为不等式的解集为，
所以，解得，
综上可得，所以的取值范围是．
故选：．
显然时满足题意，当时，由题意有，从而即可求出的取值范围．
本题考查一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的的关系，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由可得，
则，当且仅当且，即，时等号成立，
则使不等式有解，只需满足，
解得．
故选：．
根据题意可得，满足再利用基本不等式中“”的妙用求得的最小值，最后解不等式即可．
本题主要考查了乘法及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】对于，因为，所以，故A错误；
对于，因为，所以，故B正确；
对于，因为，，所以即，故C错误；
对于，因为，所以，故D正确；
故选：．
根据不等式的基本性质逐项判断．
本题考查不等式的基本性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项，，，A正确；
选项，，等号取不到，B错误；
选项，时，，时取等，C正确；
选项，，D正确．
故选：．
项，转化成整式不等式即可；项根据平方数的意义判断；项，利用基本不等式即可；项，根据“小”推“大”判断即可．
本题考查不等式的解法，考查基本不等式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，，选项A，，
当且仅当时，等号成立，则，即A正确；
选项B，由选项A知，，所以，
当且仅当时，等号成立，所以，即B错误；
选项C，由选项A知，，所以，即C正确；
选项D，，当且仅当，
即， 时，等号成立，D错误．
故选：．
，，，则可利用基本不等式得到的范围，再经过变形，判断各个选项．
本题考查基本不等式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
当时，不等式的解集为，若不等式的解集中恰有个整数，则满足；
当时，易得解集为，所以不成立；
当时，不等式的解集为，若不等式的解集中恰有个整数，则满足．
综上：的范围为．
故选：．
因式分解，分，，三种情况讨论，求得结果．
本题主要考查一元二次不等式的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：；
时，；
时，；
时，不合要求；
时，不合要求；
时，；
．
故答案为：．
首先根据，对值进行分析，当为整数时记录的值，最后综合的值构成集合．
本题考查集合的表示方法，根据已知题意进行分析，通过对值的分析为解题的关键，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：关于的一元二次不等式的解集为，
，且，是一元二次方程的两个实数根，
，，．
不等式化为，
化为，解得．
因此不等式的解集为
故答案为：
由于关于的一元二次不等式的解集为，可知，且，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系可得，，代入不等式化为，即可得出．
本题考查一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和实践能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，所以．
故答案为：．
根据题意，求出、的交集，再从集合中剔除的元素，即可得到本题的答案．
本题主要考查了集合的表示法、集合的交集运算等知识，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，均为正实数，且，
则，
当且仅当，即，时，等号成立．
则的最大值为．
故答案为：．
先求的最小值，即可得的最大值．
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
17.【答案】解：；
，
则，
，
，
．
【解析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解．
本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
18.【答案】解：由，，
所以，得，，则，
所以集合的子集有，，，．
由，
若，则，
；
若是单元素焦合，，
此时成立．
若，不成立，
综上，．
【解析】根据求出集合即可得到结果．
由是的充分条件得是的子集对集合进行讨论可求解．
本题主要考查集合的运算和充要条件，属于基础题．
19.【答案】解：时，，或，；
若选项，，则；若选择，，则；
若选择，，则，
三个条件均等价于，
当时，，解得，满足，
当时，，解得或，
综上所述：实数的取值范围为．
【解析】确定，再计算交集得到答案．；
三个条件均等价于，根据得到，再根据得到或，计算得到答案．
本题主要考查了集合的交集及并集运算，还考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．
20.【答案】解：为真命题时，不等式对于恒成立，
，解得，
实数的取值范围为：；
为真命题时，存在，使得成立，
，
，当且仅当时取等号，
，
又，一真一假，或，解得或，
的取值范围为：．
【解析】为真命题时，可得出，然后得出；
为真命题时，得出：存在，使得，然后得出的范围，然后根据，一真一假即可求出的范围．
本题考查了命题真假的定义，基本不等式的应用，一元二次不等式的解和判别式的关系，是基础题．
21.【答案】解：屋子的左、右两面墙的长度均为米，
，；
由得，，
，当且仅当，即时，等号成立，
，
即当左右两面墙的长度为米时，该工程队的报价最低，最小值为．
【解析】根据题意求出关于的表达式即可；
由得，，再利用基本不等式求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
22.【答案】解：由题意，对任意，，
因为，所以 ，
所以恒成立，
则可化为，
令，设，，
要使恒成立，则，
又因为函数在上单调递减，则，
则，
故实数的取值范围是；
，即，
即，
当时，，原不等式可化为，
解得，或，
不等式解集为；
当时，原不等式即，则不等式解集为；
当时，，原不等式可化为，
解得，则不等式解集为；
当时，，原不等式可化为，则不等式解集为；
当时，，原不等式可化为，
解得，则不等式解集为；
综上所述，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
【解析】不等式恒成立问题，用分离参数法，转化为新函数最值问题即可；
解含参数的一元二次不等式，对最高次项系数与及两根的大小有两根时分类讨论．
本题考查了一元二次不等式的解法、反比例函数的性质及分类讨论思想、转化思想，属于中档题．
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