2023-2024学年广东省佛山市南海区重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市南海区重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列命题与“，”表述意义不一致的是( )
A. 有一个实数令成立 B. 有些实数令成立
C. 任何一个实数都令成立 D. 至少有一个实数令成立
2.若集合中的元素是的三边长，则一定不是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
3.设集合，，，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知集合，则使的集合( )
A. B. C. D.
5.设集合，则满足的集合的个数是( )
A. B. C. D.
6.设，，已知命题：；命题：，则是成立的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.设为全集，、、是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是( )
A. B.
C. D.
8.设：，；下列条件中，不能成为的必要条件的是( )
A. B.
C. D.
9.若实数、、满足，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10.下列关于集合的理解，正确的有( )
A.
B. 是矩形，是菱形，则是正方形
C. ，，则，．
D. 若，且，则必为的真子集
11.下面模型中，恒有的是( )
A. 用不等臂长天平称重时，将克的砝码放在左托盘，右托盘放入克黄金令天平平衡；再将克的砝码放在右托盘，左托盘放入克黄金令天平平衡
B. 受价格的波动，分两次购买某物品，其单价分别为，千元，且，的平均值是，每次都用千元购买，购得物品量分别为，
C. 直角三角形斜边长为，直角边长为，
D. 以米分钟的平均速度走完米，前分钟走的比较快，速度为米分钟；后面走的比较慢，速度为米分钟．
12.若集合具有以下性质：
，；
若、，则，且时，则称集合是“完美集”．
下列说法正确的是( )
A. 集合是“完美集”
B. 有理数集是“完美集”
C. 设集合是“完美集”，、，则
D. 设集合是“完美集”，若、且，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.命题“，”是______ 命题填入真、假，它的否定为______ ．
14.已知，，则的取值范围是 ．
15.集合，且，则 ______ ．
16.已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知克糖水中含有克糖，再添加克糖也全部溶解了，此时糖水变甜请将这一事实表示为一个关于不等式的命题，并证明之．
18.本小题分
已知集合，，．
若，求的取值范围；
当时，求图示阴影部分对应的集合．
19.本小题分
已知集合，．
当时，求及其子集个数；
当时，求实数的取值范围．
20.本小题分
命题：，，分别在下列条件下求实数的范围，令为真命题．
；
．
21.本小题分
设集合，集合．
若“，”为假命题，求实数的取值范围；
若中有只有三个整数，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知，都是正数，且．
分别求，的取值范围；
求的最小值及此时，的取值；
不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，为全称量词命题，
故与已知命题表述意义不同的为：任何一个实数都令成立．
故选：．
由已知结合全称量词与存在量词的定义判断．
本题主要考查了全称量词命题与存在量词命题的判断，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据集合元素的互异性，
在集合中，必有、、互不相等，
故一定不是等腰三角形；
选D．
根据集合元素的互异性，在集合中，必有、、互不相等，则不会是等腰三角形．
本题较简单，注意到集合的元素特征即可．
3.【答案】
【解析】解：集合，，
，
，
则．
故选D
由全集及，求出的补集，找出与补集的并集即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】解析：，
因为
，
故选：．
先求出集合，然后根据交集的定义、集合的并集的定义求出的等价条件，最后求得集合即可．
本题以不等式为载体考查集合的交集、并集、子集等运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
又，
则中一定有，，
故B的可能情况有，，，共个．
故选：．
先把描述法转化成列举法，结合集合的并集运算即可求解．
本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：
当且仅当时等号成立．
命题：命题：，反之不成立．
故选：．
命题中，不等式两侧均为和的形式，只需将不等式左边展开，出现乘积形式，再利用基本不等式即可．
本题考查基本不等式及充要条件的判断，属基本题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的交，并，补运算，公式，是一个重要公式，应熟记．
【解答】
，
．
故答案选C．
根据公式，，容易判断．
8.【答案】
【解析】解：对于，由，，可得，
故是的必要条件；
对于，，时，当，时，，且，不能得出，
故不能成为的必要条件；
对于，，时，，故是的必要条件；
对于，，时，，三个不等式相加，
整理得，故是的必要条件．
故选：．
根据充要必要条件的定义，找出由条件不能够推出中的某一项，可得答案．
本题主要考查了基本不等式的应用、充要条件的判断等知识，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
错误，比如，得出；
B.，，该选项正确；
C.错误，比如时，；
D.，时，，，该选项错误．
故选：．
根据判断每个选项不等式是否正确，错误的举出反例即可．
本题考查了不等式的性质，考查了推理和计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，当时，，
当时，，故A错误；
对于，是矩形，是菱形，则是正方形，故B正确；
对于，，，
则，，故C正确；
对于，若，且，则由真子集的定义得必为的真子集，故D正确．
故选：．
利用集合中元素的互异性判断；利用交集定义判断；利用真子集的定义判断．
本题考查集合的运算，考查元素的互异性、交集定义、真子集性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，设天平的右臂长为，左臂长为，则，，
所以，由于、不相等，故恒成立，A正确；
对于，可得两次购买物品的量分别为，且，
所以，
于，故上式的等号不能成立，即恒成立，B正确；
对于，，当时，，故不恒成立，C错误；
对于，由题意知后面走的时间为分钟，且，
可得，根据前面走得快，可得，，故恒成立，D正确．
故选：．
根据题意，利用基本不等式对各项中的加以计算，验证它是否恒大于，从而得出本题答案．
本题主要考查不等式的性质、运用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对“完美集”的理解，属于拔高题．
根据完美集的定义判断；对于，完美集，，时，容易得到，从而得到；对于，可先说明：，或时显然成立，，且，便有，，，从而可得到，这样即可得到，从而，，所以，这样可得到，即可判断．
【解答】
解：对于，，，而，所以集合不是“完美集”，故A错误；
对于，，，有理数的差还是有理数，有理数分整数和分数，
所以，时，，故B正确；
对于，是完美集，，时，，
，，故C正确；
对于，是完美集，
，时，若，或，则；
若，且，则，，，
；
，；
得到；
，，；
；
若，有一个为，则，若，都不为，则：
，；
所以由前面知，
所以，故D正确．
故答案选：．
13.【答案】真 ，
【解析】解：，由于，则时最小值为，则命题是真命题．
命题的否定为：，．
故答案为：真；，．
根据一元二次不等式的特点判断命题的真假；按照含有全称量词命题的否定的定义即可得．
本题考查命题真假的判定，含有全称量词命题的否定，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，考查学生的数学运算能力，属于基础题．
利用同向不等式具有可加性，即可解出．
【解答】
解：，，
，，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：集合，
且，
．
故答案为：．
求出集合，且，由此能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：由集合点不在第一、三象限，
所以，
又因为是的必要条件，
所以，
又，
所以．
故答案为：．
由题意得，再根据是的必要条件，即可得结果．
本题主要考查集合的运算和充要条件，属于基础题．
17.【答案】解：由题意可得：，时，．
证明如下：得出，
，，，，，所以．
【解析】根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可．
本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：，，．
所以，
若，
则有，解得，
即实数的取值范围是．
由图象可知阴影部分对应的集合为，
当时，，
或，
，
故图示阴影部分对应的集合为．
【解析】根据子集的定义可得关于的不等式组，求解即可．
由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算即可．
本题主要考查集合的基本运算，利用图确定集合的关系是解决本题的关键．
19.【答案】解：因为，，
当时，，
则，
其子集个数为个；
当时，，，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，此时不存在，
当时，，解得，
综上，的取值范围为或．
【解析】先求出集合，，然后结合集合并集运算可求，进而可求子集个数；
时，，结合集合的包含关系可求．
本题主要考查了集合的并集运算，集合包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
20.【答案】解：若，则，，即有解，
所以，即，
所以的取值范围为；
若，则，，即在上有解，
所以在上有解，
当时，单调递增，，
故，
故的范围为．
【解析】由题意得在上有解，结合二次方程根的存在条件可求；
由题意得在上有解，即在上有解，然后结合二次函数性质可求．
本题主要考查了由方程有解求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：由题意，知，
当时，，解得；
，则，此时有或，解得，此时无解；
综上：的取值范围为；
因为，
故A中有只有三个整数时，可能为，，或，，，
当时，，解得；
当时，，无解，
综上，的取值范围为
【解析】由题设，讨论，分别求出对应参数范围；
由题意，讨论，求参数范围．
本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，还考查了集合的交集运算，属于基础题．
22.【答案】解：由，得，因，故，从而，
因为，故，得的范围为；
同理：由，得的范围为；
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，此时；
由，得，
故等价于，即，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故的取值范围为．
【解析】由题设、，根据已知及不等式性质求，的取值范围；
应用基本不等式“”的代换求目标式最小值，并确定取值条件；
将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧最小值，即可得参数范围．
本题考查了不等式的性质、转化思想及利用基本不等式求最值，属于中档题．
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