2023-2024学年山东省菏泽市鄄城重点中学高一（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年山东省菏泽市鄄城重点中学高一（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设集合，，( )
A. B. C. D.
2.已知，，若集合，则的值为( )
A. B. C. D.
3.集合，若，则满足条件的集合的个数为( )
A. B. C. D.
4.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其从军行传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A. 必要条件 B. 充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.已知，，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油升，乙每次加油元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 一样低 D. 不能确定
8.对非空有限数集定义运算“”；表示集合中的最小元素现给定两个非空有限数集，，定义集合，我们称为集合，之间的“距离”，记为，现有如下四个命题：
若，则；
若，则；
若，则；
对任意有限集合，，，均有．
其中真命题的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是( )
A.
B. 鄄城一中新高一全体学生可以构成一个集合
C. 集合有两个元素
D. 小于的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合
10.若，则( )
A. B. C. D.
11.已知，，，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若且，则
C. 若，则 D. 若，则
12.某工艺厂用、两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆种图形模板，每个图形模板需要、不锈钢薄板及该厂种薄板张数见表
矩形 菱形 圆 总数
该厂签购制作矩形、菱形、圆种模板分别为，，块上述问题中不等关系表示正确为( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设集合，且，则值是______．
14.为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一班参加社团的学生有人，参加社团的学生有人，两个社团都参加的有人，另外还有个人既不参加社团也不参加社团，那么高一班总共有学生人数为______ ．
15.若实数，满足，则的最小值为______ ．
16.如图，正方形的边长为，请利用，写出一个简练优美的含有，的不等式为______ ，其中“”成立的条件为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
设为实数，集合，．
若，求，；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，非空集合．
若是的必要条件，求的取值范围；
是否存在实数，使是的充要条件？请说明理由．
19.本小题分
已知实数，满足，，求和的取值范围；
已知正实数，满足：，求的最小值．
20.本小题分
已知，，．
求的最小值；
求的最大值．
21.本小题分
已知，，比较与的大小；
若命题“时，一次函数的图象在轴上方”为真命题时，求的取值范围．
22.本小题分
已知集合．
判断，，是否属于集合；
已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
写出所有满足集合的偶数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，，故，则，
则，由集合的互异性知且，
故，则，即或舍，
当，时，，符合题意，
所以．
故选：．
利用集合相等，求出，再根据互异性求出的取值情况并检验即可．
本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：方程的解为或或，
故A，
因为中有个元素，所以当时，则满足条件的集合有个．
故选：．
根据题意，解方程算出集合的元素，再根据子集的性质算出满足条件的集合的个数．
本题主要考查了集合的表示法、集合的子集及其性质等知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，
故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，
故选：．
先阅读理解题意，再利用充分必要条件判断即可得解．
本题考查了充分必要条件及阅读理解能力，属简单题．
5.【答案】
【解析】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”．
故选：．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题即得．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，
解得，当且仅当，时，等号成立．
故选：．
由已知结合基本不等式即可直接求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设两次加油时的单价分别为元和元，且，
则甲每次加油升，两次加油中，平均价格为元，
乙每次加油元，两次加油中，平均价格为元，
可得，
乙的平均价格更低．
故选：．
根据题意，分别求得甲乙两次加油的平均价格，结合作差比较，即可得到答案．
本题考查了作差法比较数的大小，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：对于命题，若，则、中最小的元素相同，故为真命题；
对于命题，取集合，，满足，但，故为假命题；
对于命题，若，则、中存在相同的元素，所以交集非空集，故为真命题；
对于命题，取集合，，，
可知，，，即不成立，故为假命题．
故选：．
根据题意，利用的定义与、之间的“距离”的定义，对各项逐一加以判断，可得答案．
本题主要考查了集合的概念与表示法、元素与集合的关系等知识，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，是一个数，是一个集合，二者不相等，A错误；
对于，根据集合定义知，鄄城一中新高一全体学生可以构成一个集合，B正确；
对于，由于的判别式，
故有两个不相等的实数根，故集合有两个元素，C正确；
对于，集合的元素具有无序性，故小于的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到的两个集合是同一个集合， D错误，
故选：．
区分，的含义判断；根据集合的定义判断；根据一元二次方程有两个不相等的实数根判断；根据集合元素的无序性判断．
本题主要考查集合和元素之间的关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，
，，；
故选：．
由子集的定义及，写出集合即可．
本题考查了集合的子集的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，若成立，则，所以，可得，故A正确；
对于，由得，结合，可知，所以，故B正确；
对于，由，得，所以，
结合，两边同时乘以，得，故C正确；
对于，因为，，，
可得，即，故D不正确．
故选：．
根据题意，利用不等式的基本性质逐一分析，即可得到本题的答案．
本题主要考查了利用不等式的基本性质比较实数的大小等知识，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为每个矩形模板需要张薄板，每个菱形模板需要张薄板，每个圆模板需要张薄板，且共有张薄板，
所以，
因为每个矩形模板需要张薄板，每个菱形模板需要张薄板，每个圆模板需要张薄板，且共有张薄板，
所以．
故选：．
根据题意直接列不等式即可求解．
本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．
13.【答案】或
【解析】解：，，
或，解得或或，
时，，，满足；时，，不满足集合元素的互异性，应舍去；时，，，满足，
或．
故答案为：或．
根据即可得出，然后即可得出或，然后解出的值，并验证是否满足题意即可．
本题考查了交集的定义及运算，元素与集合的关系，列举法的定义，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，高一班参加社团的学生有人，参加社团的学生有人，两个社团都参加的有人，
只参加社团的学生有人，
只参加社团的学生有人，
另外还有个人既不参加社团也不参加社团，
高一班总共有学生人数为：人．
故答案为：．
求出只参加社团和只参加社团的人数，即可求出高一班总共有学生人数．
本题主要考查了容斥原理的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，令，，则，，，
所以
，当且仅当，等号成立．
故答案为：．
，将其还原代入，然后利用基本不等式即可．
本题主要考查基本不等式，对约束条件进行换元是解决本题的关键，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：正方形的边长为，
由勾股定理可得，，
，
，
整理得，当且仅当取等号，
故答案为：；．
利用勾股定理结合已知条件即可求解．
本题考查了不等式的证明，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
17.【答案】解：集合，时，，
所以，
又因为，
所以或，
由得或，
即或，
所以实数的取值范围是．
【解析】本题考查了交集、并集和补集的定义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
求出时集合，再求出与；
根据得出关于的不等式，由此求出实数的取值范围．
18.【答案】解：由，解得，可得，
是的必要条件，得，
，解得，实数的取值范围是；
由知，若是的充要条件，则，
，解得，故这样的不存在．
【解析】根据必要条件的定义，可知，根据集合之间的关系求解，可得答案；
根据充要条件的定义，可知，然后根据集合之间的关系算出答案．
本题主要考查了集合的包含关系、不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
19.【答案】解：因为，所以，
所以
所以的取值范围是．
因为，所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．
因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
【解析】应用不等式的性质计算，组合的范围即可；
利用的代换及基本不等式即可求出最小值．
本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
因为，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以的最大值为．
【解析】根据条件得到，再利用均值不值式即可求出结果；
根据条件得到，再利用均值不值式即可求出结果．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：，
当或时，有，或，
所以，即；
当且时，有，，所以，即；
当且时，有，，所以，即
因为命题“时，一次函数的图象在轴上方”为真命题，
所以，所以或，
即的取值范围为或．
【解析】作差法可得，分类讨论即可得解；
把一次函数图象在轴上方转化函数值恒为正，列不等式求解即可．
本题主要考查了比较法的应用，还考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于中档题．
22.【答案】解：，，，，
假设，，，则，且，
，
或，
显然均无整数解，
，
，，，
集合，则恒有，
，
即一切奇数都属于，
又，
”的充分非必要条件是“”，
集合、，成立，
当，同奇或同偶时，，均为偶数，为的倍数，
当，一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数，
综上所有满足集合的偶数为，．
【解析】将，，分别代入关系式，若满足关系式，则属于，若不满足关系式，则不属于，即可得答案，
根据已知中集合的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数可得答案．
成立，当，同奇或同偶时，，均为偶数；当，一奇，一偶时，，均为奇数．由此能求出所有满足集合的偶数．
本小题主要考查元素与集合关系的判断、奇数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
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