河北省保定市高碑店市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案）

高碑店市～2024学年度第一学期第一次阶段性教学质量监测
初三数学
注意事项：
1．全卷满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，围绕在正方形四周的四条线段，，，中，长度最长的是（ ）
A． B． C． D．
2．若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，为菱形的对角线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程的解为（ ）
A． B．
C．， D．，
5．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对边相等
C．对角相等 D．是中心对称图形
6．探索关于的一元二次方程的一个解的过程如下表所示：
1 4
0.06 0.02
可以看出该方程的一个解应介于整数和之间，则整数，分别是（ ）
A．， B．，1 C．1，4 D．4，5
7．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．若关于的一元二次方程有一个解为1，则该方程的另一个解为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．
9．如图，若四边形是平行四边形，则下列结论中错误的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
10．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则“”所表示的数可以是（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，是的中点，求证：．
证明：如图，延长至点，使，连接，．
……
，
．
下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∵；③∵，；④∴四边形是矩形．
A．③①②④ B．③②①④ C．②③①④ D．②①③④
12．某节数学课上，老师让学生解关于的方程，下面是这三位同学的解答过程：
小逸 小明 小琛
两边同时除以，得． 整理得， 配方得， ，， ，． 移项得， ， 或， ，．
下列选项中，说法正确的是（ ）
A．只有小明的解法正确 B．只有小琛的解法正确
C．只有小逸的解法错误 D．小逸和小琛的解法都是错误的
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．已知关于的一元二次方程有一个非零实数根，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
15．如图，矩形绿地的长为，宽为，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了，设绿地的长、宽增加的长度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，抓痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．把一元二次方程化成的一般形式，其中，则常数项__________．
18．若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则的值为__________，方程的根为__________．
19．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．
（1）__________．（填“”、“”或“”）
（2）若，菱形的面积为4，则的长为__________．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（本小题满分9分）
嘉淇同学解方程的过程如下表表示．
解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，．……第三步
（1）嘉淇同学是用__________（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求求解的，从第__________步开始出现错误．
（2）请你用不同于（1）中的方法解该方程．
21．（本小题满分9分）
如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
22．（本小题满分9分）
定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”．
（1）下面方程是“完美方程”的是__________．（填序号）
① ② ③
（2）已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值．
23．（本小题满分10分）
如图，在中，，分别是边，上的点，连接，，与交于点，．添加下列条件之一使成为菱形：①；②，．
（1）你添加的条件是__________（填序号），并证明．
（2）你（1）的条件下，若，的周长为4，求菱形的边长．
24．（本小题满分10分）
如图1，在中，点，在对角线上，，，过点作交的延长线于点．
图1 图2
（1）求证：四边形是矩形．
（2）如图2，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
25．（本小题满分12分）
某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每降价1元，每月多售出20顶，已知头盔的进价为每顶50元．
（1）若每顶头盔降价10元，则每月可销售__________顶头盔，每月销售利润为__________元．
（2）若商店为了减少库存，准备降价销售这批头盔，同时确保每月的销售利润为7500元，求头盔的销售单价．
（3）若降价销售这批头盔，每月的利润能否达到9000元？请说明理由．
26．（本小题满分13分）
在正方形中，为对角线上一点，连接，．
图1 图2 图3
（1）如图1，图中的全等三角形有________________________（不必证明）．
（2）如图2，为延长线上一点，且，交于点．判断的形状，并说明理由．
（3）如图3，过点作交的延长线于点．
①求证：．
②若，，请直接写出的长．
高碑店市2023～2024学年度第一学期第一次阶段性教学质量监测
初三数学参考答案
1．D 2．C 3．B 4．C 5．A 6．B 7．A 8．D 10．D 11．A 12．C 13．A 14．B 15．C
16．B 提示：四边形为矩形，
，，，．
由第一次折叠可知，，，
四边形为正方形，
，
．
由第二次折叠可知，，
，，
，，
．故选B，
17．
18．2；，
19．（1） （2）
20．解：（1）配方法：二．4分
（2）公式法：，，．
，
，
即，．9分
21．解：（1）证明：（证法不唯一）四边形是矩形，
，，
．
，
四边形是平行四边形，
，
．5分
（2）四边形是矩形，
，，
．
，
，
，
．9分
22解：（1）③．2分
（2）是关于的“完美方程”，
，
，
原方程为．5分
是此“完美方程”的一个根，
，
即，
解得或．9分
23．解：（1）②．1分
证明：，，．
又，，
，
．
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．5分
（2）由（1）知，．
如图，连接．，
，．
在菱形中，，．
，，
，
，．
的周长为4，
．即菱形的边长为4．10分
24．解：（1）证明：（证法不唯一）在中，，，
．
又，
，
．
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形．5分
（2）四边形是正方形．6分
理由：由（1）知，，
四边形是平行四边形，
，
．
，
．
在矩形中，，
，
，
矩形是正方形．10分
25．解：（1）400；8000．2分
提示：，．
（2）设降价元，每月的利润为7500元，
根据题意可得，
化简方程可得，
解得，．
商店要减少库存，
．5分
（元）．
答：头盔的销售单价为65元．6分
（3）每月的利润不能达到9000元．
理由：设降价元，每月的利润为9000元，
根据题意可得，
化简方程可得．8分
，
原方程无解，
每月的利润不能达到9000元．12分
26．解：（1），，．3分
（2）为等腰三角形．4分
理由如下：
四边形是正方形，
，
．
由（1）知，，
，
．
，
，
．
，
，
，
为等腰三角形．7分
（3）①如图，过点分别作，，垂足分别为，．
四边形是正方形，
易证四边形是正方形，
，．
，，
．
又，
，
．
由（1）知，，
，
．11分
②．13分
提示：由（1）知，，
．
设，则，，
，
．
，，
，
．