北师大版八年级数学上册第一章勾股定理
一、选择题
1.在中,,,,则的长为( )
A.5 B.10 C. D.28
2.如图,在直角△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段AN的长为
A.6 B.5 C.4 D.3
3.将下列长度的三根木棒首尾顺次连接,能组成直角三角形的是( )
A.2、3、4 B.4、5、6 C.5、11、12 D.8、15、17
4.图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为( )
A. B.
C. D.
5.如图,一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上,竹竿底端B离墙壁距离,则该竹竿的顶端A离地竖直高度为( )
A. B. C. D.
6.如图,在中,,两直角边,,现将AC沿AD折叠,使点C落在斜边AB上的点E处,则CD长为( )
A. B. C. D.
7.如图所示,在中,,分别以AB、BC、AC为边向外作正方形,面积分别为225、400、S,则S为( )
A.625 B.600 C.175 D.25
8.若的三边分别是a,b,c,则下列条件能判断是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
9.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一达底部的直吸管在罐内部分a的长度x(罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计)范围是( )
A.12≤x≤13 B.12≤x≤15 C.5≤x≤12 D.5≤x≤13
10.如图,长为的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升至D点,则橡皮筋被拉长了( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.三角形的三边之比为3:4:5,周长为36,则它的面积是 .
12.如图,四边形ABCD,连接BD,AB⊥AD,CE⊥BD,AB=CE,BD=CD.若AD=5,CD=7,则BE= .
13.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2-c2,则此三角形的形状是 三角形.
14.如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,问船向岸边移动了 米.
三、解答题
15.如图,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.
16.如已知:如图,四边形 中 , , ,且 .试求 的度数.
17.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如图所示,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.那么水深多少?芦苇长为多少?
四、综合题
18.如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)若P为BC上的中点,求证:;
(2)若P为线段BC上的任意一点,(1)中的结论是否成立,并证明;
(3)若P为BC延长线上一点,说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系.
19.拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响.如图,有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶,已知点C为一所学校,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为150m和200m,又AB=250m,拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗?为什么?
(2)若拖拉机的行驶速度为每分钟50米,拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟?
20.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为AC边上一动点,且不与点A、点C重合,连接BD并延长,在BD延长线上取一点E,使AE=AB,连接CE.
(1)若∠AED=20°,则∠DEC= 度;
(2)若∠AED=α,试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系?并证明你的猜想;
(3)如图2,延长EC到点H,连接BH2+CH2=2AE2,连接AH与BE交于F,试探究BE与FH的关系.
答案解析部分
1.【答案】B
【解析】【解答】解:∵在中,,,,
∴,
故答案为:B.
【分析】根据题意,利用勾股定理计算求解即可。
2.【答案】B
【解析】【解答】解:设,由翻折的性质可知,则.
是BC的中点,
.
在中,由勾股定理得:,即,
解得:.
∴.
故答案为:B.
【分析】设,则,再利用勾股定理可得,最后求出x的值即可。
3.【答案】D
【解析】【解答】解:A、∵22+32=13≠52=25,∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形,故此选项不符合题意;
B、∵42+52=41≠62=36,∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形,故此选项不符合题意;
C、∵52+112=146≠122=144,∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形,故此选项不符合题意;
D、∵82+152=289=172,∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形,故此选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据勾股定理的逆定理,如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方,那么这个三角形就是直角三角形,据此一一判断得出答案.
4.【答案】A
【解析】【解答】解:由勾股定理得:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,
A、A代表的正方形的面积为;
B、B代表的正方形的面积为;
C、C代表的正方形的面积为;
D、D代表的正方形的面积为.
故答案为:A.
【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方,而边长的平方恰是正方形的面积,从而根据选项提供的面积即可得出答案.
5.【答案】C
【解析】【解答】解:由题意得:,,,
则,
即该竹竿的顶端A离地竖直高度为,
故答案为:C.
【分析】直角利用勾股定理计算即可.
6.【答案】A
【解析】【解答】解:∵AC=6cm,BC=8cm,∠C=90°,
∴AB=(cm),
由折叠的性质得:AE=AC=6cm,∠AED=∠C=90°,
∴BE=10cm 6cm=4cm,∠BED=90°,
设CD=x,则BD=BC CD=8 x,
在Rt△DEB中,BE2+DE2=BD2,
即42+x2=(8 x)2,
解得:x=3,
∴CD=3cm,
故答案为:A.
【分析】设CD=x,则BD=BC CD=8 x,利用勾股定理可得42+x2=(8 x)2,再求出x的值即可。
7.【答案】A
【解析】【解答】解:由勾股定理得,AB2+BC2=AC2,
则S=AC2=225+400=625,
故答案为:A.
【分析】根据题意先求出AB2+BC2=AC2,再求解即可。
8.【答案】D
【解析】【解答】解:A、∵,且,
∴,
解得:,
∴,
此时不是直角三角形,故本选项不符合题意;
B、∵,
∴,
此时不是直角三角形,故本选项不符合题意;
C、当时,是等边三角形,不是直角三角形,故本选项不符合题意;
D、∵,
∴,
∴是直角三角形,故本选项符合题意;
故答案为:D
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
9.【答案】A
【解析】【解答】解:由题意得:当吸管垂直处于饮料罐正中心时,吸管在内部的部分最短;
即
当吸管与饮料罐底部的一端重合时,吸管在内部的部分最长,
即
∴x的范围为:
故答案为:A.
【分析】由题意得:当吸管垂直处于饮料罐正中心时,吸管在内部的部分最短;当吸管与饮料罐底部的一端重合时,吸管在内部的部分最长,根据勾股定理计算即可.
10.【答案】C
【解析】【解答】解:根据题意得:CD=8cm,AD=BD,AB=12cm,
∵点C为AB的中点,
∴CD⊥AB,AC=6cm,
∴,
∴橡皮筋被拉长了.
故答案为:C
【分析】利用勾股定理求出AD的长,再计算即可。
11.【答案】54
【解析】【解答】解:设三角形的三边是3x,4x,5x,
∵(3x)2+(4x)2=(5x)2,
∴此三角形是直角三角形,
∵它的周长是36,
∴3x+4x+5x=36,
∴3x=9,4x=12,
∴三角形的面积= ×9×12=54,
故答案为:54.
【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形,然后根据三角形的面积公式即可得到结论.
12.【答案】2
【解析】【解答】解:∵AB⊥AD ,BD=CD=7,AD=5,
∴AB==,
∴CE=AB=,
∵CE⊥BD ,CD=7,CE=,
∴DE==5,
∴BE=BD-DE=2,
故答案为:2.
【分析】由勾股定理先求出AB的长,即得CE的长,再利用勾股定理求出DE的长,根据BE=BD-DE即可求解.
13.【答案】直角
【解析】【解答】解:∵(a+b)2-c2=2ab,
∴a2+b2=c2,
∴三角形是直角三角形.
故答案为:直角.
【分析】将已知等式利用完全平方公式展开并整理可得a2+b2=c2,进而根据勾股定理的逆定理可得三角形的形状.
14.【答案】9
【解析】【解答】解:在Rt△ABC中:
∵∠CAB=90°,BC=17米,AC=8米,
∴AB===15(米),
∵CD=10(米),
∴AD==6(米),
∴BD=AB﹣AD=15﹣6=9(米),
答:船向岸边移动了9米,
故答案为:9.
【分析】分别在Rt△ABC、Rt△ACD中,根据勾股定理可得AB、AD的值,然后根据BD=AB-AD进行计算.
15.【答案】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=10cm,CD=AB=8cm,
根据题意得:Rt△ADE≌Rt△AFE,
∴∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE,
设CE=xcm,则DE=EF=CD﹣CE=8﹣x,
在Rt△ABF中由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,
即82+BF2=102,
∴BF=6cm,
∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4(cm),
在Rt△ECF中由勾股定理可得:EF2=CE2+CF2,
即(8﹣x)2=x2+42,
∴64﹣16x+x2=x2+16,
∴x=3(cm),
即CE=3cm.
【解析】【分析】 根据题意得:Rt△ADE≌Rt△AFE, 得出 ∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE,设CE=xcm,则DE=EF=CD﹣CE=8﹣x,在Rt△ABF中由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,在Rt△ECF中由勾股定理可得:EF2=CE2+CF2, 代入数值求解即可。
16.【答案】解:如图,连接AC
∵ ,
∴ ,∠BAC=45°
又∵ , ,
∴△ACD为直角三角形
∴∠CAD=90°
∴ =135°
【解析】【分析】连接AC,根据勾股定理可得 ,再由勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形,即可求得.
17.【答案】解:设水深为x尺,则芦苇长为(x+1)尺,根据勾股定理得:,解得:x=12(尺),芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺).
答:水池深12尺,芦苇长13尺.
【解析】【分析】设水深为x尺,则芦苇长为(x+1)尺,利用勾股定理列出方程求出x的值即可。
18.【答案】(1)证明:连接AP,
∵AB=AC,P是BC中点,∴AP⊥BC,BP=CP,在Rt△ABP中,;
(2)解:成立. 如图,连接AP,作AD⊥BC,交BC于D,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,在Rt△ABD中,,同理,,∴又∵BP=BD+DP,CP=CD-DP=BD-DP,∴BP CP=(BD+DP)(BD-DP)=,∴;
(3)解:. 如图,P是BC延长线任一点,连接AP,并作AD⊥BC,交BC于D,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,在Rt△ABD中,,在Rt△ADP中,,∴ 又∵BP=BD+DP,CP=DP-CD=DP-BD,∴BP CP=(BD+DP)(DP-BD)=,∴.
【解析】【分析】(1)连接AP,根据等腰三角形的性质可得AP⊥BC,BP=CP,再利用勾股定理和等量代换可得;
(2)连接AP,作AD⊥BC,交BC于D,再利用勾股定理和等量代换可得;
(3)P是BC延长线任一点,连接AP,并作AD⊥BC,交BC于D,再利用勾股定理和等量代换可得。
19.【答案】(1)解:学校C会受噪声影响.
理由:如图,过点C作CD⊥AB于D,
∵AC=150m,BC=200m,AB=250m,
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形.
∴AC×BC=CD×AB,
∴150×200=250×CD,
∴CD= =120(m),
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域,
∴学校C会受噪声影响.
(2)解:当EC=130m,FC=130m时,正好影响C学校,
∵ED= =50(m),
∴EF=50×2=100(m),
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米,
∴100÷50=2(分钟),
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟.
【解析】【分析】(1)利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC是直角三角形,进而利用三角形面积得出CD的长,进而得出学校C是否会受噪声影响;
(2)利用勾股定理得出ED以及EF的长,进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间。
20.【答案】(1)45
(2)解:猜想:∠AEC-∠AED=45°,
理由如下:∵∠AED=∠ABE=α,
∴∠BAE=180°-2α,
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2α,
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°,且∠ACE=∠AEC,
∴∠AEC=45°+α,
∴∠AEC-∠AED=45°;
(3)解:BE⊥FH,BE=2FH.理由如下:
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴BC2=AB2+AC2=2AB2,
∵AE=AB,BH2+CH2=2AE2,
∴BH2+CH2=2AB2=BC2,
∴∠BHC=90°,
由(2)得:∠DEC=45°,
∴∠HBE=45°,
∴BH=EH,
∵AB=AE,
∴AH垂直平分BE,
∴BE⊥FH,BE=2FH.
【解析】【解答】解:(1)∵AB=AC,AE=AB,
∴AB=AC=AE,
∴∠ABE=∠AEB,∠ACE=∠AEC,
∵∠AED=20°,
∴∠ABE=∠AED=20°,
∴∠BAE=140°,且∠BAC=90°,
∴∠CAE=50°,
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°,且∠ACE=∠AEC,
∴∠AEC=∠ACE=65°,
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=45°.
故答案为:45;
【分析】(1)由已知条件可得AB=AC=AE,根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠AEB=20°,∠ACE=∠AEC,结合内角和定理可得∠BAE=140°,∠AEC=∠ACE=65°,然后根据∠DEC=∠AEC-∠AED进行计算;
(2)由内角和定理可得∠BAE=180°-2α,∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2α,∠AEC=45°+α,据此解答;
(3)由勾股定理可得BC2=2AB2,结合AE=AB,BH2+CH2=2AE2可得BH2+CH2=2AB2=BC2,由勾股定理逆定理知∠BHC=90°,由(2)得:∠DEC=45°,则BH=EH,推出AH垂直平分BE,据此解答.