第一章勾股定理 同步练习（含解析） 2023—2024学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理
一、选择题
1．在中，，，，则的长为（　　）
A．5 B．10 C． D．28
2．如图，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为　
A．6 B．5 C．4 D．3
3．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
4．图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，两直角边，，现将AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，在中，，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（　　）
A．625 B．600 C．175 D．25
8．若的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一达底部的直吸管在罐内部分a的长度x(罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计)范围是（　　）
A．12≤x≤13 B．12≤x≤15 C．5≤x≤12 D．5≤x≤13
10．如图，长为的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升至D点，则橡皮筋被拉长了（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．三角形的三边之比为3：4：5，周长为36，则它的面积是　 　.
12．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝　 　．
13．三角形的三边长a，b，c满足2ab=(a+b)2-c2，则此三角形的形状是　 　三角形.
14．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米.
三、解答题
15．如图，已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．
16．如已知：如图，四边形 中 ， ， ，且 ．试求 的度数．
17．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
四、综合题
18．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）若P为BC上的中点，求证：；
（2）若P为线段BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
19．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
20．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE=AB，连接CE.
（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝　 　度；
（2）若∠AED＝α，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（3）如图2，延长EC到点H，连接BH2+CH2＝2AE2，连接AH与BE交于F，试探究BE与FH的关系.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用勾股定理计算求解即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：设，由翻折的性质可知，则．
是BC的中点，
．
在中，由勾股定理得：，即，
解得：．
∴．
故答案为：B．
【分析】设，则，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由勾股定理得：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，
A、A代表的正方形的面积为；
B、B代表的正方形的面积为；
C、C代表的正方形的面积为；
D、D代表的正方形的面积为.
故答案为：A.
【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：，，，
则，
即该竹竿的顶端A离地竖直高度为，
故答案为：C．
【分析】直角利用勾股定理计算即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，
∴AB＝（cm），
由折叠的性质得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，
∴BE＝10cm 6cm＝4cm，∠BED＝90°，
设CD＝x，则BD＝BC CD＝8 x，
在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，
即42＋x2＝（8 x）2，
解得：x＝3，
∴CD＝3cm，
故答案为：A．
【分析】设CD＝x，则BD＝BC CD＝8 x，利用勾股定理可得42＋x2＝（8 x）2，再求出x的值即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，
则S=AC2=225+400=625，
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出AB2+BC2=AC2，再求解即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵，且，
∴，
解得：，
∴，
此时不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，
此时不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、当时，是等边三角形，不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴是直角三角形，故本选项符合题意；
故答案为：D
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得：当吸管垂直处于饮料罐正中心时，吸管在内部的部分最短；
即
当吸管与饮料罐底部的一端重合时，吸管在内部的部分最长，
即
∴x的范围为：
故答案为：A.
【分析】由题意得：当吸管垂直处于饮料罐正中心时，吸管在内部的部分最短；当吸管与饮料罐底部的一端重合时，吸管在内部的部分最长，根据勾股定理计算即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得：CD=8cm，AD=BD，AB=12cm，
∵点C为AB的中点，
∴CD⊥AB，AC=6cm，
∴，
∴橡皮筋被拉长了．
故答案为：C
【分析】利用勾股定理求出AD的长，再计算即可。
11．【答案】54
【解析】【解答】解：设三角形的三边是3x，4x，5x，
∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，
∴此三角形是直角三角形，
∵它的周长是36，
∴3x+4x+5x=36，
∴3x=9，4x=12，
∴三角形的面积= ×9×12=54，
故答案为：54.
【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论.
12．【答案】2
【解析】【解答】解：∵AB⊥AD ，BD=CD=7，AD=5，
∴AB==，
∴CE=AB=，
∵CE⊥BD ，CD=7，CE=，
∴DE==5，
∴BE=BD-DE=2，
故答案为：2.
【分析】由勾股定理先求出AB的长，即得CE的长，再利用勾股定理求出DE的长，根据BE=BD-DE即可求解.
13．【答案】直角
【解析】【解答】解：∵（a+b）2-c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴三角形是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】将已知等式利用完全平方公式展开并整理可得a2+b2=c2，进而根据勾股定理的逆定理可得三角形的形状.
14．【答案】9
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9.
【分析】分别在Rt△ABC、Rt△ACD中，根据勾股定理可得AB、AD的值，然后根据BD=AB-AD进行计算.
15．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，
根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，
设CE＝xcm，则DE＝EF＝CD﹣CE＝8﹣x，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），
在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，
即（8﹣x）2＝x2+42，
∴64﹣16x+x2＝x2+16，
∴x＝3（cm），
即CE＝3cm．
【解析】【分析】 根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE， 得出 ∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，设CE＝xcm，则DE＝EF＝CD﹣CE＝8﹣x，在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2， 代入数值求解即可。
16．【答案】解：如图，连接AC
∵ ，
∴ ，∠BAC=45°
又∵ ， ，
∴△ACD为直角三角形
∴∠CAD=90°
∴ =135°
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理可得 ，再由勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形，即可求得．
17．【答案】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：，解得：x=12（尺），芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺）．
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
【解析】【分析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，利用勾股定理列出方程求出x的值即可。
18．【答案】（1）证明：连接AP，
∵AB＝AC，P是BC中点，∴AP⊥BC，BP＝CP，在Rt△ABP中，；
（2）解：成立． 如图，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，，同理，，∴又∵BP＝BD＋DP，CP＝CD－DP＝BD－DP，∴BP CP＝（BD＋DP）（BD－DP）＝，∴；
（3）解：． 如图，P是BC延长线任一点，连接AP，并作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，，在Rt△ADP中，，∴ 又∵BP＝BD＋DP，CP＝DP－CD＝DP－BD，∴BP CP＝（BD＋DP）（DP－BD）＝，∴．
【解析】【分析】（1）连接AP，根据等腰三角形的性质可得AP⊥BC，BP＝CP，再利用勾股定理和等量代换可得；
（2）连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，再利用勾股定理和等量代换可得；
（3）P是BC延长线任一点，连接AP，并作AD⊥BC，交BC于D，再利用勾股定理和等量代换可得。
19．【答案】（1）解：学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝ ＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）解：当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝ =50（m），
∴EF＝50×2=100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间。
20．【答案】（1）45
（2）解：猜想：∠AEC-∠AED=45°，
理由如下：∵∠AED=∠ABE=α，
∴∠BAE=180°-2α，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2α，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，且∠ACE=∠AEC，
∴∠AEC=45°+α，
∴∠AEC-∠AED=45°；
（3）解：BE⊥FH，BE=2FH.理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC2=AB2+AC2=2AB2，
∵AE=AB，BH2+CH2=2AE2，
∴BH2+CH2=2AB2=BC2，
∴∠BHC=90°，
由（2）得：∠DEC=45°，
∴∠HBE=45°，
∴BH=EH，
∵AB=AE，
∴AH垂直平分BE，
∴BE⊥FH，BE=2FH.
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，AE=AB，
∴AB=AC=AE，
∴∠ABE=∠AEB，∠ACE=∠AEC，
∵∠AED=20°，
∴∠ABE=∠AED=20°，
∴∠BAE=140°，且∠BAC=90°，
∴∠CAE=50°，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，且∠ACE=∠AEC，
∴∠AEC=∠ACE=65°，
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=45°.
故答案为：45；
【分析】（1）由已知条件可得AB=AC=AE，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠AEB=20°，∠ACE=∠AEC，结合内角和定理可得∠BAE=140°，∠AEC=∠ACE=65°，然后根据∠DEC=∠AEC-∠AED进行计算；
（2）由内角和定理可得∠BAE=180°-2α，∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2α，∠AEC=45°+α，据此解答；
（3）由勾股定理可得BC2=2AB2，结合AE=AB，BH2+CH2=2AE2可得BH2+CH2=2AB2=BC2，由勾股定理逆定理知∠BHC=90°，由（2）得：∠DEC=45°，则BH=EH，推出AH垂直平分BE，据此解答.