第5章 平行四边形 单元测试卷（含解析）2023-2024学年鲁教版（五四制） 数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 第5章 平行四边形 单元测试卷（含解析）2023-2024学年鲁教版（五四制） 数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 280.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-22 16:11:19 | ||
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文档简介
鲁教五四新版八年级上学期《第5章 平行四边形》
一．选择题（共10小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BC边的中点，AB＝4，则OE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
2．如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝32m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．64m B．16m C．32m D．24m
3．如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE、AD相交于点G，下列4个结论：①DF∥GE；②DF：BG＝2：3；③AG＝GD；④S△BGD＝S四边形EFDG；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，线段EF的长（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．不能确定
5．5名同学同台演出，在演出前，每两个同学握一次手，共握手的次数是（ ）
A．5次 B．10次 C．6次 D．8次
6．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．4
7．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，那么下列说法正确的有（ ）
①四边形ABCD是平行四边形，记做“四边形ABCD是 ”；
②BD把四边形ABCD分成两个全等的三角形；
③AD∥BC，且AB∥CD；
④四边形ABCD是平行四边形，可以记做“ ABDC”．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．九根火柴棒排成如图形状，则图中有（ ）个平行四边形．
A．5 B．4 C．6 D．3
9．等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝10，∠DAB＝60°，则此梯形的面积等于（ ）
A．75 B． C．75 D．150
10．已知：在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF＝DE，那么四边形AFCD一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形
二．填空题（共5小题）
11．如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、BD的中点，若EF＝5，则AB的长为 ．
12．在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是 ．
13．若△ABC的周长为a，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为 ．
14．如图，要测量A、B两点间的距离，在O点打桩，分别取OA、OB的中点C、D，测得CD＝30米，则AB＝ ．
15．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，且AE＝3，DE＝2，则平行四边形的周长等于 ．
三．解答题（共7小题）
16．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，且F是BC的中点．
求证：DE＝CF．
17．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：∠BAE＝∠DCF．
18．如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
19．如图，已知四边形纸片ABCD的边AB∥CD，E是边CD上任意一点，沿BE折叠△BCE，点C落在点F的位置．
（1）如图①，点F落在四边形ABED的内部，探索∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，点F落在边CD的上方，设BF与CD交于点N，直接写出∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，不需要说明理由．
20．阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ．
21．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝23，点D在AC上，若BD＝CD＝10，AE平分∠BAC．
（1）求AE的长；
（2）若F是BC中点，求线段EF的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，求∠FEG的度数．
鲁教五四新版八年级上学期《第5章 平行四边形》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BC边的中点，AB＝4，则OE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得AO＝CO，然后判断出OE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AO＝CO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝2cm．
故选：B．
2．如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝32m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．64m B．16m C．32m D．24m
【考点】三角形中位线定理．
【答案】A
【分析】根据M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
【解答】解：∵M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，
∴MN＝AB，
∴AB＝2MN＝2×32＝64（m）．
故选：A．
3．如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE、AD相交于点G，下列4个结论：①DF∥GE；②DF：BG＝2：3；③AG＝GD；④S△BGD＝S四边形EFDG；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】三角形中位线定理．
【答案】D
【分析】根据三角形中位线的定义以及性质定理、平行线分线段成比例定理进行证明．
【解答】解：如图所示，
①∵AD是△ABC中线，
∴D是BC中点，
∵EF＝FC，
∴F是CE中点，
∴DF是△CBE的中位线，
∴DF∥BE，
即DF∥GE，
故此选项正确；
②由①得DF∥GE，
又∵AE＝EF，
∴AE：EF＝AG：DG，
∴AG＝DG，
∴EG是△ADF的中位线，
∴DF＝GE，
由①知DF是△CBE的中位线，
∴DF＝BE，
∴BG＝DF，
∴DF：BG＝2：3，
此选项正确；
③由②知AG＝DG，
此选项正确；
④连接GF，设BE、DF之间的距离是h，
根据题意，得
S△BDG＝BG h，S四边形EFDG＝S△DFG+S△EGF＝DF h+EG h，
又∵DF：BG＝2：3，DF＝GE，
∴S△BDG＝DF h，S四边形EFDG＝DF h，
∴S△BDG＝S四边形EFDG，
此选项正确．
故选：D．
4．如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，线段EF的长（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．不能确定
【考点】三角形中位线定理．
【答案】C
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AR，因此线段EF的长不变．
【解答】解：连接AR．
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF＝AR，
∵AR的长为定值，
∴线段EF的长不改变．
故选：C．
5．5名同学同台演出，在演出前，每两个同学握一次手，共握手的次数是（ ）
A．5次 B．10次 C．6次 D．8次
【考点】多边形的对角线．
【答案】B
【分析】根据每两个人都握手1次，则每个同学参与了4次握手，但每一次握手算了2次，所以这5人握手的总次数是5×4÷2＝10次．
【解答】解：有5名同学，因此每个人握手的次数为5×4＝20次，
由于每两个人握手一次，所以它们握手的总次数为20÷2＝10次．
故选：B．
6．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．4
【考点】多边形内角与外角．
【答案】B
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角为135°，
∴外角是180﹣135＝45°，
∵360÷45＝8，
则这个多边形是八边形，
故选：B．
7．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，那么下列说法正确的有（ ）
①四边形ABCD是平行四边形，记做“四边形ABCD是 ”；
②BD把四边形ABCD分成两个全等的三角形；
③AD∥BC，且AB∥CD；
④四边形ABCD是平行四边形，可以记做“ ABDC”．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】平行四边形的性质．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的基本性质和基本表示方法进行判断即可．
【解答】解：根据有关概念和性质可知：
①四边形ABCD是平行四边形，记做“四边形ABCD是 ”，错误．
②BD把四边形ABCD分成两个全等的三角形，正确．
③AD∥BC，且AB∥CD，正确
④四边形ABCD是平行四边形，可以记做“ ABDC”，应该为：记做“ ABCD”，错误．
故选：B．
8．九根火柴棒排成如图形状，则图中有（ ）个平行四边形．
A．5 B．4 C．6 D．3
【考点】平行四边形的判定．
【答案】D
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判断即可．
【解答】解：图中有3个平行四边形，判断的根据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故选：D．
9．等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝10，∠DAB＝60°，则此梯形的面积等于（ ）
A．75 B． C．75 D．150
【考点】等腰梯形的性质．
【答案】C
【分析】首先根据题意画出图形，然后过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，易得四边形CDEF是平行四边形，即可得EF＝CD＝10，又由等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝60°，易求得AE，BF，DE的长，继而求得此梯形的面积．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∴DE∥CF，
∵等腰梯形ABCD中，AB∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形，AD＝BC＝10，
∴EF＝CD＝10，
∵∠DAB＝60°，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADE＝∠BCF＝30°，
∴AE＝AD＝5，BF＝BC＝5，
∴AB＝AE+EF+BF＝5+10+5＝20，DE＝＝5，
∴S梯形ABCD＝（CD+AB） DE＝×（10+20）×5＝75．
故选：C．
10．已知：在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF＝DE，那么四边形AFCD一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【考点】等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；菱形的判定；矩形的判定；直角梯形．
【答案】A
【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC＝DF即可．
【解答】解：∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，
∴DF＝BC，
∵CA＝CB，
∴AC＝DF，
∴四边形ADCF是矩形；
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、BD的中点，若EF＝5，则AB的长为 10 ．
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形的对边相等的性质推知AB＝CD；然后根据三角形中位线的定义知EF是△BCD的中位线，所以由中位线定理以及等量代换求得AB＝2EF＝10．
【解答】解：∵E、F分别为BC、BD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝CD；
又∵AB＝CD（平行四边形的对边相等），EF＝5，
∴AB＝2EF＝10．
故答案为：10．
12．在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是 2.5 ．
【考点】三角形中位线定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的中位线定理得到DE＝BC，代入求出即可．
【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC＝5，
∴DE＝BC＝×5＝2.5，
故答案为：2.5．
13．若△ABC的周长为a，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为 ．
【考点】三角形中位线定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】由三角形的中位线定理，易得新三角形的周长是原三角形周长的一半．
【解答】解：∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∵DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DF＝AC，FE＝AB，
∴△DEF的周长是△ABC的周长的一半，
∵△ABC的周长为a
∴△DEF的周长为×a＝．
故答案为．
14．如图，要测量A、B两点间的距离，在O点打桩，分别取OA、OB的中点C、D，测得CD＝30米，则AB＝ 60米 ．
【考点】三角形中位线定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的中位线定理可得CD＝AB，再由CD＝30米，可得AB＝60米．
【解答】解：∵C、D是OA、OB的中点，
∴CD＝AB，
∵CD＝30米，
∴AB＝60米．
故答案为：60米．
15．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，且AE＝3，DE＝2，则平行四边形的周长等于 16 ．
【考点】平行四边形的性质；平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】由平行四边形ABCD得到AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，再和已知BE平分∠ABC，进一步推出∠ABE＝∠AEB，即AB＝AE＝3，即可求出AB、AD的长，就能求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AE＝3，
∴AB＝AE＝3，
∴AD＝AE+DE＝3+2＝5，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5
∴平行四边形的周长是2（AB+BC）＝16．
故答案为：16．
三．解答题（共7小题）
16．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，且F是BC的中点．
求证：DE＝CF．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形BDEF是平行四边形；再根据平行四边形的对边相等可得DE＝BF；由中点的定义可得BF＝CF；由等量代换可得DE＝CF．
【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形．（2分）
∴DE＝BF．（3分）
∵F是BC的中点，
∴BF＝CF．（4分）
∴DE＝CF．（5分）
17．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：∠BAE＝∠DCF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】要证明∠BAE＝∠DCF，只需证明两个角所在的三角形△ABE、△CDF全等即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF；
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°；
∴Rt△ABE≌Rt△CDF．
∴∠BAE＝∠DCF．
18．如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用平行线的性质与判定方法得出∠DAE＝∠BCF，进而利用AAS得出△ADE≌△CBF，即可得出ADBC，即可得出答案．
【解答】证明：∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中
∵，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
19．如图，已知四边形纸片ABCD的边AB∥CD，E是边CD上任意一点，沿BE折叠△BCE，点C落在点F的位置．
（1）如图①，点F落在四边形ABED的内部，探索∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，点F落在边CD的上方，设BF与CD交于点N，直接写出∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，不需要说明理由．
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质；三角形内角和定理．
【答案】（1）∠FED+∠ABF＝∠C，理由见解答．
（2）∠ABF﹣∠FED＝∠C．
【分析】（1）数量关系：∠FED+∠ABF＝∠C．理由：过点F作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N，由平行线的性质可得∠FED＝∠EFN，根据平行公理的推论可得MN∥AB，继而得到∠NFB＝∠ABF，再结合折叠的性质可得数量关系．
（2）过点F作GH∥CD，由平行线的性质可得∠FED＝∠HFE，根据平行公理的推论可得GH∥AB，继而得到得∠ABF＝∠HFB，再结合折叠的性质可得数量关系．
【解答】解：（1）∠FED，∠ABF，∠C 之间的数量关系：∠FED+∠ABF＝∠C．
理由如下：如图①，过点F作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N
则∠FED＝∠EFN，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB，
∴∠NFB＝∠ABF，
∴∠FED+∠ABF＝∠EFN+∠NFB＝∠EFB，
由折叠的性质得，△BCE≌△BFE，
∴∠EFB＝∠C，
∴∠FED+∠ABF＝∠C，
∴∠FED，∠ABF，∠C 之间的数量关系是：∠FED+∠ABF＝∠C．
（2）如图②，过点F作GH∥CD
则∠FED＝∠HFE，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB，
∴∠ABF＝∠HFB＝∠HFE+∠BFE＝∠FED+∠BFE，
由折叠的性质得，△BCE≌△BFE，
∴∠BFE＝∠C，
∴∠ABF＝∠FED+∠C，即∠ABF﹣∠FED＝∠C，
∴∠FED，∠ABF，∠C 之间的数量关系是：∠ABF﹣∠FED＝∠C．
20．阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ∠A+∠B＝∠C+∠D ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 25° ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ∠P＝ ．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝ α+β﹣180° （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ∠P＝ ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 2∠P﹣∠B﹣∠D＝180° ．
【考点】多边形内角与外角；列代数式；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【答案】探索一：∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：25°；
探索三：∠P＝．
应用一：α+β﹣180°，；
应用二：；
拓展一：∠P＝；
拓展二：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；
探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；
拓展一：运用探索一的结论可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【解答】解：探索一：如图1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°，
故答案为25°；
探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，
由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，
①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B＝2∠P+∠B．
∴∠P＝．
故答案为：∠P＝．
应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，
∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，
故答案为：α+β﹣180°，；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，
∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，
∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，
由应用一得：∠P＝∠A＝，
故答案为：；
拓展一：如图6，由探索一可得：
∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，
∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，
∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，
∴∠P＝，
故答案为：∠P＝；
拓展二：如图7，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，
∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，
故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
21．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝23，点D在AC上，若BD＝CD＝10，AE平分∠BAC．
（1）求AE的长；
（2）若F是BC中点，求线段EF的长．
【考点】三角形中位线定理；勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得DE＝5，根据勾股定理计算AE的长即可；
（2）根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：（1）∵AC＝23，CD＝10，
∴AD＝23﹣10＝13，
∵AB＝13，
∴AB＝CD，
∵AE平分∠BAC，
∴DE＝BE，AE⊥BD，
∵BD＝10，
∴DE＝5，
∴AE＝＝＝12；
（2）∵E是BD的中点，F是BC中点，
∴EF＝CD＝＝5．
22．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，求∠FEG的度数．
【考点】三角形中位线定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．
【解答】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
又∵AD＝BC，
∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝66°，
∴∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝20°+（180°﹣66°）＝134°，
∴∠FEG＝（180°﹣∠FGE）＝23°．
一．选择题（共10小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BC边的中点，AB＝4，则OE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
2．如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝32m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．64m B．16m C．32m D．24m
3．如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE、AD相交于点G，下列4个结论：①DF∥GE；②DF：BG＝2：3；③AG＝GD；④S△BGD＝S四边形EFDG；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，线段EF的长（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．不能确定
5．5名同学同台演出，在演出前，每两个同学握一次手，共握手的次数是（ ）
A．5次 B．10次 C．6次 D．8次
6．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．4
7．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，那么下列说法正确的有（ ）
①四边形ABCD是平行四边形，记做“四边形ABCD是 ”；
②BD把四边形ABCD分成两个全等的三角形；
③AD∥BC，且AB∥CD；
④四边形ABCD是平行四边形，可以记做“ ABDC”．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．九根火柴棒排成如图形状，则图中有（ ）个平行四边形．
A．5 B．4 C．6 D．3
9．等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝10，∠DAB＝60°，则此梯形的面积等于（ ）
A．75 B． C．75 D．150
10．已知：在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF＝DE，那么四边形AFCD一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形
二．填空题（共5小题）
11．如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、BD的中点，若EF＝5，则AB的长为 ．
12．在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是 ．
13．若△ABC的周长为a，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为 ．
14．如图，要测量A、B两点间的距离，在O点打桩，分别取OA、OB的中点C、D，测得CD＝30米，则AB＝ ．
15．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，且AE＝3，DE＝2，则平行四边形的周长等于 ．
三．解答题（共7小题）
16．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，且F是BC的中点．
求证：DE＝CF．
17．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：∠BAE＝∠DCF．
18．如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
19．如图，已知四边形纸片ABCD的边AB∥CD，E是边CD上任意一点，沿BE折叠△BCE，点C落在点F的位置．
（1）如图①，点F落在四边形ABED的内部，探索∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，点F落在边CD的上方，设BF与CD交于点N，直接写出∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，不需要说明理由．
20．阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ．
21．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝23，点D在AC上，若BD＝CD＝10，AE平分∠BAC．
（1）求AE的长；
（2）若F是BC中点，求线段EF的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，求∠FEG的度数．
鲁教五四新版八年级上学期《第5章 平行四边形》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BC边的中点，AB＝4，则OE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得AO＝CO，然后判断出OE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AO＝CO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝2cm．
故选：B．
2．如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝32m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．64m B．16m C．32m D．24m
【考点】三角形中位线定理．
【答案】A
【分析】根据M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
【解答】解：∵M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，
∴MN＝AB，
∴AB＝2MN＝2×32＝64（m）．
故选：A．
3．如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE、AD相交于点G，下列4个结论：①DF∥GE；②DF：BG＝2：3；③AG＝GD；④S△BGD＝S四边形EFDG；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】三角形中位线定理．
【答案】D
【分析】根据三角形中位线的定义以及性质定理、平行线分线段成比例定理进行证明．
【解答】解：如图所示，
①∵AD是△ABC中线，
∴D是BC中点，
∵EF＝FC，
∴F是CE中点，
∴DF是△CBE的中位线，
∴DF∥BE，
即DF∥GE，
故此选项正确；
②由①得DF∥GE，
又∵AE＝EF，
∴AE：EF＝AG：DG，
∴AG＝DG，
∴EG是△ADF的中位线，
∴DF＝GE，
由①知DF是△CBE的中位线，
∴DF＝BE，
∴BG＝DF，
∴DF：BG＝2：3，
此选项正确；
③由②知AG＝DG，
此选项正确；
④连接GF，设BE、DF之间的距离是h，
根据题意，得
S△BDG＝BG h，S四边形EFDG＝S△DFG+S△EGF＝DF h+EG h，
又∵DF：BG＝2：3，DF＝GE，
∴S△BDG＝DF h，S四边形EFDG＝DF h，
∴S△BDG＝S四边形EFDG，
此选项正确．
故选：D．
4．如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，线段EF的长（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．不能确定
【考点】三角形中位线定理．
【答案】C
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AR，因此线段EF的长不变．
【解答】解：连接AR．
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF＝AR，
∵AR的长为定值，
∴线段EF的长不改变．
故选：C．
5．5名同学同台演出，在演出前，每两个同学握一次手，共握手的次数是（ ）
A．5次 B．10次 C．6次 D．8次
【考点】多边形的对角线．
【答案】B
【分析】根据每两个人都握手1次，则每个同学参与了4次握手，但每一次握手算了2次，所以这5人握手的总次数是5×4÷2＝10次．
【解答】解：有5名同学，因此每个人握手的次数为5×4＝20次，
由于每两个人握手一次，所以它们握手的总次数为20÷2＝10次．
故选：B．
6．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．4
【考点】多边形内角与外角．
【答案】B
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角为135°，
∴外角是180﹣135＝45°，
∵360÷45＝8，
则这个多边形是八边形，
故选：B．
7．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，那么下列说法正确的有（ ）
①四边形ABCD是平行四边形，记做“四边形ABCD是 ”；
②BD把四边形ABCD分成两个全等的三角形；
③AD∥BC，且AB∥CD；
④四边形ABCD是平行四边形，可以记做“ ABDC”．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】平行四边形的性质．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的基本性质和基本表示方法进行判断即可．
【解答】解：根据有关概念和性质可知：
①四边形ABCD是平行四边形，记做“四边形ABCD是 ”，错误．
②BD把四边形ABCD分成两个全等的三角形，正确．
③AD∥BC，且AB∥CD，正确
④四边形ABCD是平行四边形，可以记做“ ABDC”，应该为：记做“ ABCD”，错误．
故选：B．
8．九根火柴棒排成如图形状，则图中有（ ）个平行四边形．
A．5 B．4 C．6 D．3
【考点】平行四边形的判定．
【答案】D
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判断即可．
【解答】解：图中有3个平行四边形，判断的根据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故选：D．
9．等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝10，∠DAB＝60°，则此梯形的面积等于（ ）
A．75 B． C．75 D．150
【考点】等腰梯形的性质．
【答案】C
【分析】首先根据题意画出图形，然后过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，易得四边形CDEF是平行四边形，即可得EF＝CD＝10，又由等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝60°，易求得AE，BF，DE的长，继而求得此梯形的面积．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∴DE∥CF，
∵等腰梯形ABCD中，AB∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形，AD＝BC＝10，
∴EF＝CD＝10，
∵∠DAB＝60°，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADE＝∠BCF＝30°，
∴AE＝AD＝5，BF＝BC＝5，
∴AB＝AE+EF+BF＝5+10+5＝20，DE＝＝5，
∴S梯形ABCD＝（CD+AB） DE＝×（10+20）×5＝75．
故选：C．
10．已知：在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF＝DE，那么四边形AFCD一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【考点】等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；菱形的判定；矩形的判定；直角梯形．
【答案】A
【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC＝DF即可．
【解答】解：∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，
∴DF＝BC，
∵CA＝CB，
∴AC＝DF，
∴四边形ADCF是矩形；
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、BD的中点，若EF＝5，则AB的长为 10 ．
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形的对边相等的性质推知AB＝CD；然后根据三角形中位线的定义知EF是△BCD的中位线，所以由中位线定理以及等量代换求得AB＝2EF＝10．
【解答】解：∵E、F分别为BC、BD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝CD；
又∵AB＝CD（平行四边形的对边相等），EF＝5，
∴AB＝2EF＝10．
故答案为：10．
12．在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是 2.5 ．
【考点】三角形中位线定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的中位线定理得到DE＝BC，代入求出即可．
【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC＝5，
∴DE＝BC＝×5＝2.5，
故答案为：2.5．
13．若△ABC的周长为a，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为 ．
【考点】三角形中位线定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】由三角形的中位线定理，易得新三角形的周长是原三角形周长的一半．
【解答】解：∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∵DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DF＝AC，FE＝AB，
∴△DEF的周长是△ABC的周长的一半，
∵△ABC的周长为a
∴△DEF的周长为×a＝．
故答案为．
14．如图，要测量A、B两点间的距离，在O点打桩，分别取OA、OB的中点C、D，测得CD＝30米，则AB＝ 60米 ．
【考点】三角形中位线定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的中位线定理可得CD＝AB，再由CD＝30米，可得AB＝60米．
【解答】解：∵C、D是OA、OB的中点，
∴CD＝AB，
∵CD＝30米，
∴AB＝60米．
故答案为：60米．
15．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，且AE＝3，DE＝2，则平行四边形的周长等于 16 ．
【考点】平行四边形的性质；平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】由平行四边形ABCD得到AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，再和已知BE平分∠ABC，进一步推出∠ABE＝∠AEB，即AB＝AE＝3，即可求出AB、AD的长，就能求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AE＝3，
∴AB＝AE＝3，
∴AD＝AE+DE＝3+2＝5，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5
∴平行四边形的周长是2（AB+BC）＝16．
故答案为：16．
三．解答题（共7小题）
16．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，且F是BC的中点．
求证：DE＝CF．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形BDEF是平行四边形；再根据平行四边形的对边相等可得DE＝BF；由中点的定义可得BF＝CF；由等量代换可得DE＝CF．
【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形．（2分）
∴DE＝BF．（3分）
∵F是BC的中点，
∴BF＝CF．（4分）
∴DE＝CF．（5分）
17．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：∠BAE＝∠DCF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】要证明∠BAE＝∠DCF，只需证明两个角所在的三角形△ABE、△CDF全等即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF；
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°；
∴Rt△ABE≌Rt△CDF．
∴∠BAE＝∠DCF．
18．如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用平行线的性质与判定方法得出∠DAE＝∠BCF，进而利用AAS得出△ADE≌△CBF，即可得出ADBC，即可得出答案．
【解答】证明：∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中
∵，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
19．如图，已知四边形纸片ABCD的边AB∥CD，E是边CD上任意一点，沿BE折叠△BCE，点C落在点F的位置．
（1）如图①，点F落在四边形ABED的内部，探索∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，点F落在边CD的上方，设BF与CD交于点N，直接写出∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，不需要说明理由．
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质；三角形内角和定理．
【答案】（1）∠FED+∠ABF＝∠C，理由见解答．
（2）∠ABF﹣∠FED＝∠C．
【分析】（1）数量关系：∠FED+∠ABF＝∠C．理由：过点F作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N，由平行线的性质可得∠FED＝∠EFN，根据平行公理的推论可得MN∥AB，继而得到∠NFB＝∠ABF，再结合折叠的性质可得数量关系．
（2）过点F作GH∥CD，由平行线的性质可得∠FED＝∠HFE，根据平行公理的推论可得GH∥AB，继而得到得∠ABF＝∠HFB，再结合折叠的性质可得数量关系．
【解答】解：（1）∠FED，∠ABF，∠C 之间的数量关系：∠FED+∠ABF＝∠C．
理由如下：如图①，过点F作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N
则∠FED＝∠EFN，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB，
∴∠NFB＝∠ABF，
∴∠FED+∠ABF＝∠EFN+∠NFB＝∠EFB，
由折叠的性质得，△BCE≌△BFE，
∴∠EFB＝∠C，
∴∠FED+∠ABF＝∠C，
∴∠FED，∠ABF，∠C 之间的数量关系是：∠FED+∠ABF＝∠C．
（2）如图②，过点F作GH∥CD
则∠FED＝∠HFE，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB，
∴∠ABF＝∠HFB＝∠HFE+∠BFE＝∠FED+∠BFE，
由折叠的性质得，△BCE≌△BFE，
∴∠BFE＝∠C，
∴∠ABF＝∠FED+∠C，即∠ABF﹣∠FED＝∠C，
∴∠FED，∠ABF，∠C 之间的数量关系是：∠ABF﹣∠FED＝∠C．
20．阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ∠A+∠B＝∠C+∠D ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 25° ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ∠P＝ ．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝ α+β﹣180° （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ∠P＝ ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 2∠P﹣∠B﹣∠D＝180° ．
【考点】多边形内角与外角；列代数式；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【答案】探索一：∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：25°；
探索三：∠P＝．
应用一：α+β﹣180°，；
应用二：；
拓展一：∠P＝；
拓展二：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；
探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；
拓展一：运用探索一的结论可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【解答】解：探索一：如图1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°，
故答案为25°；
探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，
由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，
①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B＝2∠P+∠B．
∴∠P＝．
故答案为：∠P＝．
应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，
∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，
故答案为：α+β﹣180°，；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，
∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，
∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，
由应用一得：∠P＝∠A＝，
故答案为：；
拓展一：如图6，由探索一可得：
∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，
∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，
∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，
∴∠P＝，
故答案为：∠P＝；
拓展二：如图7，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，
∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，
故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
21．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝23，点D在AC上，若BD＝CD＝10，AE平分∠BAC．
（1）求AE的长；
（2）若F是BC中点，求线段EF的长．
【考点】三角形中位线定理；勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得DE＝5，根据勾股定理计算AE的长即可；
（2）根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：（1）∵AC＝23，CD＝10，
∴AD＝23﹣10＝13，
∵AB＝13，
∴AB＝CD，
∵AE平分∠BAC，
∴DE＝BE，AE⊥BD，
∵BD＝10，
∴DE＝5，
∴AE＝＝＝12；
（2）∵E是BD的中点，F是BC中点，
∴EF＝CD＝＝5．
22．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，求∠FEG的度数．
【考点】三角形中位线定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．
【解答】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
又∵AD＝BC，
∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝66°，
∴∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝20°+（180°﹣66°）＝134°，
∴∠FEG＝（180°﹣∠FGE）＝23°．