第2章 直角三角形的边角关系 单元测试卷（含解析）2023-2024学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

鲁教五四新版九年级上学期《第2章 直角三角形的边角关系》
一．选择题（共10小题）
1．在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．2
2．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（　　）
A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
3．在Rt△ABC中，，那么tanA的值是（　　）
A． B． C． D．
4．小杰在学完了《锐角三角比》知识后回家整理笔记，写下了下列四句活：
（1）锐角A的正弦的值的范围是0＜sinA＜1；
（2）根据正切和余切的意义，可以得到tanA＝；
（3）在Rt△ABC中，如∠C＝90°，则cosB＝sinA；
（4）在Rt△ABC中，如∠C＝90°，则cotB＝tanA；
请你判断上述语句正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝，则∠2的度数为（　　）
A．120° B．135° C．145° D．150°
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB＝60°，OA＝OB＝14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（　　）
A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm
9．下图是河堤的横断面，若堤高BC＝5cm，迎水坡AB的长为13m．那么斜坡AB的坡度是（　　）
A．1：2 B．1：2.4 C．1：2.6 D．1：3
10．如图，小亮用一个两个锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知他与树之间的距离AE＝8.0m，∠DAE＝30°，眼睛与地面的距离AB为1.5m，那么这棵树的高度CD（精确到0.1m）大约为（　　）
A．4.5m B．5.5m C．6.1m D．15.4m
二．填空题（共5小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，P是∠1的边OA上一点，点P的坐标为（3，4），则tan∠1的值为　 　．
12．比较大小：sin65°　 　sin55°（用“＞”或“＜”填空）．
13．已知A为锐角，且cosA＝，则sinA＝　 　．
14．如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°﹣α）的值为　 　．
15．1＝sin　 　＝cos　 　．
三．解答题（共8小题）
16．如图，你认为AB、DE哪一段山坡更陡一些？为什么？
17．已知α为锐角，且，求的值．
18．
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，BC＝，AB＝4，tanC＝，求四边形ABCD的面积．
20．如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF（EF＝DC），可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC＝12km，∠A＝45°，∠B＝30°，桥DC和AB平行．
（1）求桥DC与直线AB的距离；
（2）现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（以上两问中的结果均精确到0.1km，参考数据：≈1.41，≈1.73）
21．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
22．如图所示，两个建筑物AB和CD的水平距离为30m，张明同学住在建筑物AB内10楼P室，他观测建筑物CD楼的顶部D处的仰角为30°，测得底部C处的俯角为45°，求建筑物CD的高度．（取1.73，结果保留整数．）
23．如图，海事救援指挥中心A接到海上SOS呼救：一艘渔船B在海上碰到暗礁，船体漏水下沉，5名船员需要援救．经测量渔船B到海岸最近的点C的距离BC＝20km，∠BAC＝22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案（如图1）：
①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B．
已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h．
（sin22°37′＝，cos22°37′＝，tan22°37′＝）
（1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
（2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC＝（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．请你说明理由！
如果你反复探索没有解决问题，可以选取①、②、③两种研究方法：
方案①：在线段上AP任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．
方案②：在线段上AP任取一点M；设AM＝x；然后用含有x的代数式表示出所用时间t；
方案③：利用现有数据，根据cos∠BPC＝计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的时间．
鲁教五四新版九年级上学期《第2章 直角三角形的边角关系》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．2
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【答案】A
【分析】在直角△ABD中，利用勾股定理即可求得AB的长，然后根据余弦函数的定义即可求解．
【解答】解：在直角△ABD中，BD＝2，AD＝4，则AB＝＝＝2，
则cosB＝＝＝．
故选：A．
2．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（　　）
A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
【考点】锐角三角函数的增减性．
【答案】D
【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；
只需比较sin70°和cos70°，又cos70°＝sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较．
【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知
sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．
又cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin70°＞cos70°＝sin20°．
故选：D．
3．在Rt△ABC中，，那么tanA的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数的关系．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义得出cosA＝＝，设AC＝a，AB＝3a，根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】解：
∵在Rt△ABC中，cosA＝＝，
∴设AC＝a，AB＝3a，
由勾股定理得：BC＝＝2a，
∴tanA＝＝＝2，
故选：C．
4．小杰在学完了《锐角三角比》知识后回家整理笔记，写下了下列四句活：
（1）锐角A的正弦的值的范围是0＜sinA＜1；
（2）根据正切和余切的意义，可以得到tanA＝；
（3）在Rt△ABC中，如∠C＝90°，则cosB＝sinA；
（4）在Rt△ABC中，如∠C＝90°，则cotB＝tanA；
请你判断上述语句正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】互余两角三角函数的关系．
【答案】D
【分析】根据正弦、余弦、正切和余切的函数定义逐一判断可得．
【解答】解：（1）锐角A的正弦的值的范围是0＜sinA＜1，此结论正确；
（2）根据正切和余切的意义，可以得到tanA＝，此结论正确；
（3）在Rt△ABC中，如∠C＝90°，则cosB＝sinA，此结论正确；
（4）在Rt△ABC中，如∠C＝90°，则cotB＝tanA，此结论正确；
故选：D．
5．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝，则∠2的度数为（　　）
A．120° B．135° C．145° D．150°
【考点】特殊角的三角函数值；平行线的性质．
【答案】B
【分析】首先根据特殊角的三角函数值即可求得∠1的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余，以及平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵sin∠1＝，
∴∠1＝45°，
∵直角△EFG中，∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣45°＝45°，
∴∠4＝180°﹣∠3＝135°，
又∵AB∥CD，
∴∠2＝∠4＝135°．
故选：B．
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】计算器—三角函数．
【答案】D
【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠A＝，根据计算器的应用，可得答案．
【解答】解：由tan∠A＝，得
tan∠A＝．
故选：D．
7．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形．
【答案】D
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sinB的值．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA cosC＝1，
∴AD＝＝；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，
∴AB＝＝2，
∴sinB＝＝．
故选：D．
8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB＝60°，OA＝OB＝14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（　　）
A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】D
【分析】根据OA＝OB，可知△AOB是等腰三角形，作OG⊥AB于点G，从而可以得到AG＝BG，∠AOB＝2∠AOG，从而可以得到OG的长．
【解答】解：作OG⊥AB于点G，
∵OA＝OB＝14厘米，∠AOB＝60°，
∴∠AOG＝∠BOG＝30°，AG＝BG，
∴OG＝OA cos30°＝7厘米，
故选：D．
9．下图是河堤的横断面，若堤高BC＝5cm，迎水坡AB的长为13m．那么斜坡AB的坡度是（　　）
A．1：2 B．1：2.4 C．1：2.6 D．1：3
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【答案】B
【分析】如图，在Rt△ABC中，根据坡度的定义知道斜坡AB的坡度＝，然后根据已知条件即可确定斜坡AB的坡度．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，
∵斜坡AB的坡度＝，
而堤高BC＝5cm，迎水坡AB的长为13m，
∴AC＝＝12cm，
∴斜坡AB的坡度是：＝1：2.4．
故选：B．
10．如图，小亮用一个两个锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知他与树之间的距离AE＝8.0m，∠DAE＝30°，眼睛与地面的距离AB为1.5m，那么这棵树的高度CD（精确到0.1m）大约为（　　）
A．4.5m B．5.5m C．6.1m D．15.4m
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【答案】C
【分析】易得CE＝AB，利用30°的正切值可求得DE的长，相加即为树的高度．
【解答】解：∵AE＝8cm，∠DAE＝30°，
∴DE＝AE tan30°＝，
∴CD＝CE+DE＝1.5+≈6.1（ m）．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，P是∠1的边OA上一点，点P的坐标为（3，4），则tan∠1的值为　　．
【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图：
tan∠1＝＝，
故答案为：．
12．比较大小：sin65°　＞　sin55°（用“＞”或“＜”填空）．
【考点】锐角三角函数的增减性．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正弦函数为增函数即可得到sin65°＞sin55°．
【解答】解：∵65°＞55°，
∴sin65°＞sin55°．
故答案为＞．
13．已知A为锐角，且cosA＝，则sinA＝　　．
【考点】同角三角函数的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据公式cosA2+sinA2＝1求解．
【解答】解：∵cosA2+sinA2＝1，
又A为锐角，cosA＝，
∴sinA＝．
14．如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°﹣α）的值为　　．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）求解可得．
【解答】解：∵α是锐角，
∴sinα＝cos（90°﹣α），
则cos（90°﹣α）＝，
故答案为：．
15．1＝sin　90°　＝cos　0°　．
【考点】特殊角的三角函数值．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接根据sin90°＝1，cos0°＝1解答即可．
【解答】解：∵sin90°＝1，cos0°＝1，
∴1＝sin90°＝cos0°．
故答案为：90°、0°．
三．解答题（共8小题）
16．如图，你认为AB、DE哪一段山坡更陡一些？为什么？
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】DE段山坡更陡一些．理由见解答．
【分析】根据锐角三角函数即可比较，进而解决问题．
【解答】解：DE段山坡更陡一些，理由如下：
∵sinA＝＝＝，sinD＝＝＝，
∵＜，
∴DE段山坡更陡一些．
17．已知α为锐角，且，求的值．
【考点】同角三角函数的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】锐角三角函数值是在直角三角形中定义的，将∠α设为直角三角形的一个锐角，根据定义确定∠α的邻边及斜边，运用勾股定理求∠α的对边，再求∠α的其它三角函数值，代入算式计算．
【解答】解：如图，设∠α为直角三角形的一个锐角，
∵cosα＝，
∴设α的邻边为1k，斜边为3k，
由勾股定理，得α的对边为＝2k，
∴tanα＝2，sinα＝，
故＝2+
＝2+3﹣2＝3．
18．
【考点】特殊角的三角函数值．
【答案】见试题解答内容
【分析】答题时要记住特殊角的三角函数值，按照实数运算法则计算．
【解答】解：＝＝3+2．
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，BC＝，AB＝4，tanC＝，求四边形ABCD的面积．
【考点】解直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】过B作BE⊥CD，垂足为E，可判断出四边形ABED为矩形，得到矩形对边相等，在直角三角形BEC中，利用锐角三角函数定义得出BE与EC关系，再利用勾股定理求出BE与EC，进而求出DC的长，利用梯形面积公式求出四边形ABCD面积即可．
【解答】解：过B作BE⊥CD，垂足为E，
∵AB∥DC，∠D＝90°，
∴∠BEC＝∠D＝90°，
∴AD∥BE，
∴四边形ABED为矩形，
∴AB＝DE，AD＝BE，
在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，BC＝，tanC＝，
∴＝，
设BE＝x，则有EC＝3x，
根据勾股定理得：x2+9x2＝10，
解得：x＝1，
∴BE＝1，EC＝3，即DC＝DE+EC＝AB+EC＝4+3＝7，
则S梯形ABCD＝×1×（4+7）＝5.5．
20．如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF（EF＝DC），可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC＝12km，∠A＝45°，∠B＝30°，桥DC和AB平行．
（1）求桥DC与直线AB的距离；
（2）现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（以上两问中的结果均精确到0.1km，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）要求桥DC与直线AB的距离，只要作CH⊥AB于点H，求出CH的长度即可，由BC和∠B可以求得CH的长，本题得以解决；
（2）要求现在从A地到达B地可比原来少走多少路程，只要求出AD与BC的和比AB﹣EF的长度多多少即可，由于DC＝EF，有题意可以求得各段线段的长度，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）作CH⊥AB于点H，如图所示，
∵BC＝12km，∠B＝30°，
∴km，BH＝km，
即桥DC与直线AB的距离是6.0km；
（2）作DM⊥AB于点M，如图所示，
∵桥DC和AB平行，CH＝6km，
∴DM＝CH＝6km，
∵∠DMA＝90°，∠B＝45°，MH＝EF＝DC，
∴AD＝km，AM＝DM＝6km，
∴现在从A地到达B地可比原来少走的路程是：（AD+DC+BC）﹣（AM+MH+BH）＝AD+DC+BC﹣AM﹣MH﹣BH＝AD+BC﹣AM﹣BH＝＝6≈4.1km，
即现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．
21．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【答案】19.2m．
【分析】根据AB的坡度和AB的长，先计算出AD，再利用坡角∠ACB在直角△ACD中的边角关系，利用锐角三角函数求出AC即可．
【解答】解：∵扶梯AB的坡度i为1：，
∴AD：DB＝1：即DB＝AD．
在Rt△ADB中，
∵AD2+DB2＝AB2，
∴AD2+3AD2＝102
解得AD＝±5．
因为﹣5不合题意，
所以AD＝5m．
在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，
∴AC＝≈≈19.2（m）
答：改造后的自动扶梯AC的长约为19.2m．
22．如图所示，两个建筑物AB和CD的水平距离为30m，张明同学住在建筑物AB内10楼P室，他观测建筑物CD楼的顶部D处的仰角为30°，测得底部C处的俯角为45°，求建筑物CD的高度．（取1.73，结果保留整数．）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形，得到PE＝BC＝30，在Rt△PDE中，利用∠DPE＝30°，PE＝30，求得DE的长；在Rt△PEC中，利用∠EPC＝45°，PE＝30求得CE的长，利用CD＝DE+CE即可求得结果．
【解答】解：过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形．
∴PE＝BC＝30．
在Rt△PDE中，∵∠DPE＝30°，PE＝30，
∴DE＝PE×tan30°＝30×＝10．
在Rt△PEC中，∵∠EPC＝45°，PE＝30，
∴CE＝PE×tan45°＝30×1＝30．
∴CD＝DE+CE＝30+10＝30+17.3≈47（m）
答：建筑物CD的高约为47 m．
23．如图，海事救援指挥中心A接到海上SOS呼救：一艘渔船B在海上碰到暗礁，船体漏水下沉，5名船员需要援救．经测量渔船B到海岸最近的点C的距离BC＝20km，∠BAC＝22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案（如图1）：
①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B．
已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h．
（sin22°37′＝，cos22°37′＝，tan22°37′＝）
（1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
（2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC＝（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．请你说明理由！
如果你反复探索没有解决问题，可以选取①、②、③两种研究方法：
方案①：在线段上AP任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．
方案②：在线段上AP任取一点M；设AM＝x；然后用含有x的代数式表示出所用时间t；
方案③：利用现有数据，根据cos∠BPC＝计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的时间．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别求出三种方案所需时间，比较后找到最省时的方案即可；
（2）分别有M点向BP作垂线，构造直角三角形利用锐角三角函数的定义求出距离后计算出时间即可．
【解答】解：（1）∵BC＝20km∠BAC＝22°37′，
∴，AC＝48km，
方案①小时＝52分钟，
②小时＝52分钟，
③＝小时＝47分钟，
∴方案③较好；
（2）解：①点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，
用时，汽车开到P放冲锋舟下水，用时，
延长BP过M作MH⊥BP于H，
∵，
∴，
∴汽车行MP的时间＝冲锋舟行PH的时间，
∴，
∵BM＞BH，
∴tM＞tp；
②当点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：tM＞tp
方案②，（当时，tM最小，此时cos∠BPC＝），
方案③小时．