第1章 三角形 单元测试卷（含解析）2023-2024学年鲁教版（五四制） 数学七年级上册
文档属性
| 名称 | 第1章 三角形 单元测试卷（含解析）2023-2024学年鲁教版（五四制） 数学七年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 219.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-22 16:20:31 | ||
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文档简介
鲁教五四新版七年级上学期《第1章 三角形》
一．选择题（共15小题）
1．如图中三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在△ABC中，AB边上的高为（ ）
A．CG B．BF C．BE D．AD
3．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
4．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
5．若三角形的三边长分别为3，1+2x，8，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜5 B．3＜x＜8 C．4＜x＜7 D．5＜x＜9
6．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝110°，∠B＝30°，这块三角形木板缺少的角是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交△ABC的外角∠ACM的平分线于点E．若∠B＝43°，∠E＝52°，则∠A的度数为（ ）
A．51° B．61° C．65° D．75°
8．下列关于全等图形的说法：①两个正方形一定是全等图形；②所有半径相等的圆都是全等图形；③所有的长方形都是全等图形；④如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同．其中，正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．②④
9．如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．15° B．25° C．35° D．65°
10．如图，∠C＝∠D，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AD＝BC B．AC＝BD C．∠CAB＝∠DBA D．∠ABC＝∠BAD
11．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O，若∠1＝40°，则∠BDE为（ ）度．
A．30° B．40° C．60° D．70°
12．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
13．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
14．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠DOA，作图痕迹中，弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点E为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点C为圆心，DM为半径的弧
15．关于尺规作图，下列语句描述正确的是（ ）
A．延长射线AB
B．画线段等于3cm
C．延长线段AB到C，使BC＝AB
D．画线段AB等于直线CD
二．填空题（共10小题）
16．如图，AB是△ACE的 边上的高，在△AEC中，CD是 边上的高，CD还是△ 的高，EF是△ 边上的高．
17．如图，在四边形ABCD中，连接AC和BD，若AC＝BC，BD＝2AD，∠DAC＝∠DBC＝45°，△ADC的面积为30，则BD＝ ．
18．中国古建筑很多的房顶横截面是三角形，这是利用了三角形具有 ．
19．如图，在△ABC中，AN＝2CN，M是AB的中点，BN、CM相交于O，设△BOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若△ABC的面积为12，则S1﹣S2＝ ．
20．一个三角形的两边长分别是3和7，最长边a为偶数，则这个三角形的周长为 ．
21．已知在△ABC中，∠A＝80°，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BDC的度数为 ．
22．如图，△ABC中，∠A＝x°，∠B＝37°，外角∠ACD＝118°，则x＝ 度．
23．如图中有（1）～（5）5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，图中（2）～（5）由实线围成的图形与（1）全等的有 ．（只填序号即可）
24．如图，AB＝9cm，∠CAB＝∠DBA，AC＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动（当点P运动结束时，点Q运动随之结束），当点Q的运动速度为 cm/s，有△ACP与△BPQ全等．
25．如图，在△ABC与△BAD中，要证明△ABC≌△BAD，（1）若∠ABD＝∠CAB，若以“SAS”为依据，还需添加的条件是 ；（2）若∠ABD＝∠CAB，若以“ASA”为依据，还需添加的条件是 ；（3）若∠ABD＝∠CAB，若以“AAS”为依据，还需添加的条件是 ；（4）若∠ADB＝∠BCA＝90°，若以“HL”为依据，还需添加的条件是 （填一个即可）．
三．解答题（共5小题）
26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠C＝60°，求∠BAC的度数．
27．如图所示，在锐角三角形ABC中，AB＝3，BC＝7，AC＝5，若O是△ABC内的一点，且它到三边的距离相等（设为h）且ABC的面积为12，求h的值．
28．已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|b﹣c﹣a|+|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|．
29．已知一个三角形的三个内角的度数之比为5：6：7，试判断三角形的形状，并说明理由．
30．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠A＝50°，则∠BPC＝ ；
（2）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用含α的代数式表示）
（3）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由．
鲁教五四新版七年级上学期《第1章 三角形》
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如图中三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】三角形．
【答案】C
【分析】图中的三角形有△ABD，△ABC，△BCD，共有3个．
【解答】解：图中的三角形有△ABD，△ABC，△BCD，共有3个．
故选：C．
2．如图，在△ABC中，AB边上的高为（ ）
A．CG B．BF C．BE D．AD
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】A
【分析】利用三角形高的定义可得答案．
【解答】解：在△ABC中，AB边上的高为CG，
故选：A．
3．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【考点】三角形的面积．
【答案】B
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解．
【解答】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得
∵F是BE的中点，
S△CFE＝S△CFB＝5，
∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，
∵E是AD的中点，
∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，
∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE
∴S△BDE+S△CDE＝10
∴S△AEB+S△AEC＝10
∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20
故选：B．
4．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
【考点】三角形的稳定性．
【答案】B
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
5．若三角形的三边长分别为3，1+2x，8，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜5 B．3＜x＜8 C．4＜x＜7 D．5＜x＜9
【考点】三角形三边关系．
【答案】A
【分析】首先根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边可得8﹣3＜1+2x＜3+8，解不等式即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：8﹣3＜1+2x＜3+8，
解得：2＜x＜5．
故选：A．
6．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝110°，∠B＝30°，这块三角形木板缺少的角是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】三角形内角和定理．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理计算即可．
【解答】解：根据三角形的内角和定理第三个角＝180°﹣110°﹣30°＝40°，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交△ABC的外角∠ACM的平分线于点E．若∠B＝43°，∠E＝52°，则∠A的度数为（ ）
A．51° B．61° C．65° D．75°
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理．
【答案】B
【分析】根据DE∥BC，得∠ADE＝∠B＝43°，再根据三角形内角和定理，得∠A+∠ADE＝∠ACE+∠E，由此解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，∠B＝43°，
∴∠ADE＝∠B＝43°，
∵△ABC的外角∠ACM的平分线于点E．
∴∠ACM＝∠B+∠A＝43°+∠A，
∴∠ACE＝，
∵∠A+∠ADE＝∠ACE+∠E，
∵，
∴∠A＝61°，
故选：B．
8．下列关于全等图形的说法：①两个正方形一定是全等图形；②所有半径相等的圆都是全等图形；③所有的长方形都是全等图形；④如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同．其中，正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．②④
【考点】全等图形．
【答案】D
【分析】要根据全等形的概念进行判定，与之相符合的是正确的．
【解答】解：①两个正方形不一定是全等图形，说法错误；
②所有半径相等的圆都是全等图形，说法正确；
③所有的长方形不一定都是全等图形，说法错误；
④如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同，说法正确．
故选：D．
9．如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．15° B．25° C．35° D．65°
【考点】全等三角形的性质．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DCE，求出∠BCE＝∠ACD＝65°，根据直角三角形的性质得出∠CAF＝90°﹣∠ACD，代入求出答案即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠ACD＝25°，
故选：B．
10．如图，∠C＝∠D，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AD＝BC B．AC＝BD C．∠CAB＝∠DBA D．∠ABC＝∠BAD
【考点】全等三角形的判定．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：A、SSA无法判断三角形全等，故本选项符合题意；
B、根据ASA即可判断△ACO≌△BDO，得OC＝OD，OA＝OB，再用SAS可得三角形全等，故本选项不符合题意；
C、根据AAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
D、根据AAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：A．
11．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O，若∠1＝40°，则∠BDE为（ ）度．
A．30° B．40° C．60° D．70°
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED，可知：EC＝ED，∠C＝∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数．
【解答】解：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝40°，
∴∠C＝∠EDC＝70°，
∴∠BDE＝∠C＝70°．
故选：D．
12．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【考点】全等三角形的应用．
【答案】D
【分析】根据题意找到条件，利用全等三角形的判定方法确定正确的选项即可．
【解答】解：观察图形发现：AC＝DC，BC＝BC，∠ACB＝∠DCB，
所以利用了三角形全等中的SAS，
故选：D．
13．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【考点】直角三角形的性质．
【答案】D
【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可得到结论．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
故选：D．
14．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠DOA，作图痕迹中，弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点E为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点C为圆心，DM为半径的弧
【考点】作图—基本作图．
【答案】B
【分析】根据作一个角等于已知角的方法判断即可．
【解答】解：由作图可知，弧FG是以E为圆心，DM为半径的弧．
故选：B．
15．关于尺规作图，下列语句描述正确的是（ ）
A．延长射线AB
B．画线段等于3cm
C．延长线段AB到C，使BC＝AB
D．画线段AB等于直线CD
【考点】作图—复杂作图；直线、射线、线段．
【答案】C
【分析】根据直线、射线、线段的定义对各选项的描述矩形判断．
【解答】解：A．射线向一端无线延伸，所以A选项不符合题意；
B．画线段，使它的长度为3cm，所以B选项不符合题意；
C．延长线段AB到C，使BC＝AB，所以C选项符合题意；
D．线段有长度，直线不能度量，所以D选项不符合题意．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
16．如图，AB是△ACE的 CE 边上的高，在△AEC中，CD是 AE 边上的高，CD还是△ DCE或△ACD 的高，EF是△ EFC 边上的高．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】CE，AE，DCE或△ACD，EFC．
【分析】根据三角形中高的定义可得答案．
【解答】解：AB是△ACE的CE边上的高，
在△AEC中，CD是AE边上的高，CD还是△DCE或△ACD的高，EF是△EFC边上的高．
故答案为：CE，AE，DCE或△ACD，EFC．
17．如图，在四边形ABCD中，连接AC和BD，若AC＝BC，BD＝2AD，∠DAC＝∠DBC＝45°，△ADC的面积为30，则BD＝ 4 ．
【考点】三角形的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，推出△ADE∽△BDF，得到＝＝，根据已知条件推出A，B，C，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA，根据全等三角形的性质得到DF＝CE，得到CE＝DF＝2DE，设AE＝DE＝x，则CE＝DF＝2x，AC＝3x，根据三角形的面积列方程即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∵∠DAC＝∠DBC＝45°，
∴△ADE与△BDF是等腰直角三角形，
∴△ADE∽△BDF，
∴＝＝，
∵∠DAC＝∠DBC＝45°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠CBA＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠ABC﹣45°，∠CDF＝∠BDC﹣45°，
∴∠ABD＝∠CDF，
∴∠CDF＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠CFD＝90°，CD＝DC，
∴△CDE≌△DCF（AAS），
∴DF＝CE，
∴CE＝DF＝2DE，
设AE＝DE＝x，则CE＝DF＝2x，
∴AC＝3x，
∵△ADC的面积为30，
∴AC DE＝×3x x＝30，
∴x＝2，
∴DF＝2x＝4，
∴BD＝DF＝4．
故答案为：4．
18．中国古建筑很多的房顶横截面是三角形，这是利用了三角形具有 稳定性 ．
【考点】三角形的稳定性．
【答案】稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：中国古建筑很多的房顶横截面是三角形，这是利用了三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
19．如图，在△ABC中，AN＝2CN，M是AB的中点，BN、CM相交于O，设△BOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若△ABC的面积为12，则S1﹣S2＝ 2 ．
【考点】三角形的重心；三角形的面积．
【答案】2．
【分析】由于AN＝2CN，△ABC的面积为12，由此可以求出△ABN的面积为8，△BNC的面积为4，然后利用已知条件可以分别用S1、S2表示△CBM 的面积、△ACM的面积，最后利用中点的性质即可求解．
【解答】解：在△ABC中，AN＝2CN，△ABC的面积为12，
∴△ABN的面积为8，△BNC的面积为4，
∵△BOM的面积为S1，△CON的面积为S2，
∴四边形AMON的面积8﹣S1，△BOC的面积为4﹣S2，
∵M是AB的中点，
∴△CBM 的面积为＝△ACM的面积，
∴S1+4﹣S2＝8﹣S1+S2，
∴2S1﹣2S2＝8﹣4，
∴2（S1﹣S2）＝4，
∴S1﹣S2＝2．
故答案为：2．
20．一个三角形的两边长分别是3和7，最长边a为偶数，则这个三角形的周长为 18 ．
【考点】三角形三边关系．
【答案】18．
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和．求得相应范围后，根据最长边a为偶数舍去不合题意的值即可．
【解答】解：∵7﹣3＝4，7+3＝10，
∴4＜a＜10．
又∵最长边a为偶数，
∴a＝8．
∴周长为7+3+8＝18．
故答案为：18．
21．已知在△ABC中，∠A＝80°，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BDC的度数为 130° ．
【考点】三角形内角和定理．
【答案】130°．
【分析】根据三角形的内角和等于180°列式求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠DBC+∠DCB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：如图，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°，
∵BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×100°＝50°，
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
22．如图，△ABC中，∠A＝x°，∠B＝37°，外角∠ACD＝118°，则x＝ 81 度．
【考点】三角形的外角性质．
【答案】81．
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算．
【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B，
∵∠B＝37°，∠ACD＝118°，
∴∠A＝118°﹣37°＝81°，
∴x＝81．
故答案为：81．
23．如图中有（1）～（5）5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，图中（2）～（5）由实线围成的图形与（1）全等的有 （2）（4）（5） ．（只填序号即可）
【考点】全等图形．
【答案】（2）（4）（5）．
【分析】本题可通过旋转，看后边四个实线图形能和（1）中图形完全重合的便是（1）的全等形．
【解答】解：（2）以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合，
（3）中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和（1）中图形完全重合，
（4）可上下反转成（2）的情况，然后旋转可和（1）中图形完全重合，
（5）可旋转180°后可和（1）中图形完全重合，
故答案为（2）（4）（5）．
24．如图，AB＝9cm，∠CAB＝∠DBA，AC＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动（当点P运动结束时，点Q运动随之结束），当点Q的运动速度为 2或 cm/s，有△ACP与△BPQ全等．
【考点】全等三角形的性质．
【答案】2或．
【分析】根据全等三角形的性质得出方程解答即可．
【解答】解：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
可得：7＝9﹣2t，2t＝xt，
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xt，2t＝9﹣2t
解得：x＝，t＝．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
故答案为：2或．
25．如图，在△ABC与△BAD中，要证明△ABC≌△BAD，（1）若∠ABD＝∠CAB，若以“SAS”为依据，还需添加的条件是 AC＝BD ；（2）若∠ABD＝∠CAB，若以“ASA”为依据，还需添加的条件是 ∠ABC＝∠BAD ；（3）若∠ABD＝∠CAB，若以“AAS”为依据，还需添加的条件是 ∠C＝∠D ；（4）若∠ADB＝∠BCA＝90°，若以“HL”为依据，还需添加的条件是 AC＝BD或BC＝AD （填一个即可）．
【考点】全等三角形的判定．
【答案】（1）AC＝BD；（2）∠ABC＝∠BAD；（3）∠C＝∠D；（4）AC＝BD或BC＝AD．
【分析】本题要判定△ABC≌△BAD，已知∠ABD＝∠CAB，AB是公共边，具备了一边、一角对应相等，故添加AC＝BD、∠ABC＝∠BAD、∠C＝∠D，可分别根据SAS、ASA、AAS判定全等．若∠ADB＝∠BCA＝90°，以“HL”为依据，还需添加的条件是AC＝BD或BC＝AD．
【解答】解：（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是AC＝BD；
（2）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是∠ABC＝∠BAD；
（3）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是∠C＝∠D；
（4）∠ADB＝∠BCA＝90°，若以“HL”为依据，还需添加的条件是AC＝BD或BC＝AD．
故答案为：（1）AC＝BD；（2）∠ABC＝∠BAD；（3）∠C＝∠D；（4）AC＝BD或BC＝AD．
三．解答题（共5小题）
26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠C＝60°，求∠BAC的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】∠BAC的度数是70°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形内角和求出∠CAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD＝5°，
∴∠AED＝85°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝180°﹣∠AED﹣∠C＝35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠CAE＝70°，
答：∠BAC的度数是70°．
27．如图所示，在锐角三角形ABC中，AB＝3，BC＝7，AC＝5，若O是△ABC内的一点，且它到三边的距离相等（设为h）且ABC的面积为12，求h的值．
【考点】三角形的面积．
【答案】．
【分析】根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵AB＝3，BC＝7，AC＝5，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC
＝AB h+BC h+AC h
＝×3h+×7h+×5h＝12，
∴h＝．
28．已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|b﹣c﹣a|+|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|．
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【答案】（1）△ABC为等边三角形；
（2）3a﹣3b+c．
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，然后去绝对值符号后化简即可．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴原式＝﹣b+c+a+a﹣b+c+a﹣b﹣c＝3a﹣3b+c．
29．已知一个三角形的三个内角的度数之比为5：6：7，试判断三角形的形状，并说明理由．
【考点】三角形内角和定理．
【答案】锐角三角形，理由详见解答过程．
【分析】运用方程的思想以及三角形内角和定理解决此题．
【解答】解：这个三角形是锐角三角形，理由如下：
根据题意，设这个三角形的三个内角的度数分别为5x、6x、7x．
∴5x+6x+7x＝180°，
∴x＝10°．
∴5x＝50°，6x＝60°，7x＝70°．
∴这个三角形是锐角三角形．
30．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠A＝50°，则∠BPC＝ 115° ；
（2）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ 2α﹣180° ；（用含α的代数式表示）
（3）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【答案】（1）115°；
（2）2α﹣180°；
（3）∠P+∠Q＝180°，见解答过程．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠P即可解决问题；
（2）结合（1）进行求解即可；
（3）由角平分线的定义可得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∠QBC＝∠MBC，∠QCB＝∠QCB，结合平角的定义可求得∠PBQ＝∠PCQ＝90°，利用四边形的内角和为360°，可求得∠Q与∠BPC的关系．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°+∠A，
∵∠A＝50°，
∴∠BPC＝115°，
故答案为：115°；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°+∠A，
∵∠BPC＝α，
∴α＝90°+∠A，
则∠A＝2α﹣180°，
故答案为：2α﹣180°；
（3）∠P+∠Q＝180°，理由如下：
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∠QBC＝∠MBC，∠QCB＝∠QCB，
∴∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠MBC），
∠PCB+∠QCB＝（∠ACB+∠MCB），
∵∠ABC+∠MBC＝180°，∠ACB+∠MCB＝180°，
∴∠PBQ＝∠PCQ＝90°，
∴∠P+∠Q＝360°﹣∠PBQ﹣∠PCQ＝180°．
一．选择题（共15小题）
1．如图中三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在△ABC中，AB边上的高为（ ）
A．CG B．BF C．BE D．AD
3．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
4．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
5．若三角形的三边长分别为3，1+2x，8，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜5 B．3＜x＜8 C．4＜x＜7 D．5＜x＜9
6．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝110°，∠B＝30°，这块三角形木板缺少的角是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交△ABC的外角∠ACM的平分线于点E．若∠B＝43°，∠E＝52°，则∠A的度数为（ ）
A．51° B．61° C．65° D．75°
8．下列关于全等图形的说法：①两个正方形一定是全等图形；②所有半径相等的圆都是全等图形；③所有的长方形都是全等图形；④如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同．其中，正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．②④
9．如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．15° B．25° C．35° D．65°
10．如图，∠C＝∠D，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AD＝BC B．AC＝BD C．∠CAB＝∠DBA D．∠ABC＝∠BAD
11．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O，若∠1＝40°，则∠BDE为（ ）度．
A．30° B．40° C．60° D．70°
12．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
13．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
14．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠DOA，作图痕迹中，弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点E为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点C为圆心，DM为半径的弧
15．关于尺规作图，下列语句描述正确的是（ ）
A．延长射线AB
B．画线段等于3cm
C．延长线段AB到C，使BC＝AB
D．画线段AB等于直线CD
二．填空题（共10小题）
16．如图，AB是△ACE的 边上的高，在△AEC中，CD是 边上的高，CD还是△ 的高，EF是△ 边上的高．
17．如图，在四边形ABCD中，连接AC和BD，若AC＝BC，BD＝2AD，∠DAC＝∠DBC＝45°，△ADC的面积为30，则BD＝ ．
18．中国古建筑很多的房顶横截面是三角形，这是利用了三角形具有 ．
19．如图，在△ABC中，AN＝2CN，M是AB的中点，BN、CM相交于O，设△BOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若△ABC的面积为12，则S1﹣S2＝ ．
20．一个三角形的两边长分别是3和7，最长边a为偶数，则这个三角形的周长为 ．
21．已知在△ABC中，∠A＝80°，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BDC的度数为 ．
22．如图，△ABC中，∠A＝x°，∠B＝37°，外角∠ACD＝118°，则x＝ 度．
23．如图中有（1）～（5）5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，图中（2）～（5）由实线围成的图形与（1）全等的有 ．（只填序号即可）
24．如图，AB＝9cm，∠CAB＝∠DBA，AC＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动（当点P运动结束时，点Q运动随之结束），当点Q的运动速度为 cm/s，有△ACP与△BPQ全等．
25．如图，在△ABC与△BAD中，要证明△ABC≌△BAD，（1）若∠ABD＝∠CAB，若以“SAS”为依据，还需添加的条件是 ；（2）若∠ABD＝∠CAB，若以“ASA”为依据，还需添加的条件是 ；（3）若∠ABD＝∠CAB，若以“AAS”为依据，还需添加的条件是 ；（4）若∠ADB＝∠BCA＝90°，若以“HL”为依据，还需添加的条件是 （填一个即可）．
三．解答题（共5小题）
26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠C＝60°，求∠BAC的度数．
27．如图所示，在锐角三角形ABC中，AB＝3，BC＝7，AC＝5，若O是△ABC内的一点，且它到三边的距离相等（设为h）且ABC的面积为12，求h的值．
28．已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|b﹣c﹣a|+|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|．
29．已知一个三角形的三个内角的度数之比为5：6：7，试判断三角形的形状，并说明理由．
30．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠A＝50°，则∠BPC＝ ；
（2）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用含α的代数式表示）
（3）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由．
鲁教五四新版七年级上学期《第1章 三角形》
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如图中三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】三角形．
【答案】C
【分析】图中的三角形有△ABD，△ABC，△BCD，共有3个．
【解答】解：图中的三角形有△ABD，△ABC，△BCD，共有3个．
故选：C．
2．如图，在△ABC中，AB边上的高为（ ）
A．CG B．BF C．BE D．AD
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】A
【分析】利用三角形高的定义可得答案．
【解答】解：在△ABC中，AB边上的高为CG，
故选：A．
3．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【考点】三角形的面积．
【答案】B
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解．
【解答】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得
∵F是BE的中点，
S△CFE＝S△CFB＝5，
∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，
∵E是AD的中点，
∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，
∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE
∴S△BDE+S△CDE＝10
∴S△AEB+S△AEC＝10
∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20
故选：B．
4．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
【考点】三角形的稳定性．
【答案】B
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
5．若三角形的三边长分别为3，1+2x，8，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜5 B．3＜x＜8 C．4＜x＜7 D．5＜x＜9
【考点】三角形三边关系．
【答案】A
【分析】首先根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边可得8﹣3＜1+2x＜3+8，解不等式即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：8﹣3＜1+2x＜3+8，
解得：2＜x＜5．
故选：A．
6．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝110°，∠B＝30°，这块三角形木板缺少的角是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】三角形内角和定理．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理计算即可．
【解答】解：根据三角形的内角和定理第三个角＝180°﹣110°﹣30°＝40°，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交△ABC的外角∠ACM的平分线于点E．若∠B＝43°，∠E＝52°，则∠A的度数为（ ）
A．51° B．61° C．65° D．75°
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理．
【答案】B
【分析】根据DE∥BC，得∠ADE＝∠B＝43°，再根据三角形内角和定理，得∠A+∠ADE＝∠ACE+∠E，由此解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，∠B＝43°，
∴∠ADE＝∠B＝43°，
∵△ABC的外角∠ACM的平分线于点E．
∴∠ACM＝∠B+∠A＝43°+∠A，
∴∠ACE＝，
∵∠A+∠ADE＝∠ACE+∠E，
∵，
∴∠A＝61°，
故选：B．
8．下列关于全等图形的说法：①两个正方形一定是全等图形；②所有半径相等的圆都是全等图形；③所有的长方形都是全等图形；④如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同．其中，正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．②④
【考点】全等图形．
【答案】D
【分析】要根据全等形的概念进行判定，与之相符合的是正确的．
【解答】解：①两个正方形不一定是全等图形，说法错误；
②所有半径相等的圆都是全等图形，说法正确；
③所有的长方形不一定都是全等图形，说法错误；
④如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同，说法正确．
故选：D．
9．如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．15° B．25° C．35° D．65°
【考点】全等三角形的性质．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DCE，求出∠BCE＝∠ACD＝65°，根据直角三角形的性质得出∠CAF＝90°﹣∠ACD，代入求出答案即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠ACD＝25°，
故选：B．
10．如图，∠C＝∠D，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AD＝BC B．AC＝BD C．∠CAB＝∠DBA D．∠ABC＝∠BAD
【考点】全等三角形的判定．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：A、SSA无法判断三角形全等，故本选项符合题意；
B、根据ASA即可判断△ACO≌△BDO，得OC＝OD，OA＝OB，再用SAS可得三角形全等，故本选项不符合题意；
C、根据AAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
D、根据AAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：A．
11．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O，若∠1＝40°，则∠BDE为（ ）度．
A．30° B．40° C．60° D．70°
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED，可知：EC＝ED，∠C＝∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数．
【解答】解：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝40°，
∴∠C＝∠EDC＝70°，
∴∠BDE＝∠C＝70°．
故选：D．
12．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【考点】全等三角形的应用．
【答案】D
【分析】根据题意找到条件，利用全等三角形的判定方法确定正确的选项即可．
【解答】解：观察图形发现：AC＝DC，BC＝BC，∠ACB＝∠DCB，
所以利用了三角形全等中的SAS，
故选：D．
13．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【考点】直角三角形的性质．
【答案】D
【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可得到结论．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
故选：D．
14．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠DOA，作图痕迹中，弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点E为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点C为圆心，DM为半径的弧
【考点】作图—基本作图．
【答案】B
【分析】根据作一个角等于已知角的方法判断即可．
【解答】解：由作图可知，弧FG是以E为圆心，DM为半径的弧．
故选：B．
15．关于尺规作图，下列语句描述正确的是（ ）
A．延长射线AB
B．画线段等于3cm
C．延长线段AB到C，使BC＝AB
D．画线段AB等于直线CD
【考点】作图—复杂作图；直线、射线、线段．
【答案】C
【分析】根据直线、射线、线段的定义对各选项的描述矩形判断．
【解答】解：A．射线向一端无线延伸，所以A选项不符合题意；
B．画线段，使它的长度为3cm，所以B选项不符合题意；
C．延长线段AB到C，使BC＝AB，所以C选项符合题意；
D．线段有长度，直线不能度量，所以D选项不符合题意．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
16．如图，AB是△ACE的 CE 边上的高，在△AEC中，CD是 AE 边上的高，CD还是△ DCE或△ACD 的高，EF是△ EFC 边上的高．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】CE，AE，DCE或△ACD，EFC．
【分析】根据三角形中高的定义可得答案．
【解答】解：AB是△ACE的CE边上的高，
在△AEC中，CD是AE边上的高，CD还是△DCE或△ACD的高，EF是△EFC边上的高．
故答案为：CE，AE，DCE或△ACD，EFC．
17．如图，在四边形ABCD中，连接AC和BD，若AC＝BC，BD＝2AD，∠DAC＝∠DBC＝45°，△ADC的面积为30，则BD＝ 4 ．
【考点】三角形的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，推出△ADE∽△BDF，得到＝＝，根据已知条件推出A，B，C，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA，根据全等三角形的性质得到DF＝CE，得到CE＝DF＝2DE，设AE＝DE＝x，则CE＝DF＝2x，AC＝3x，根据三角形的面积列方程即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∵∠DAC＝∠DBC＝45°，
∴△ADE与△BDF是等腰直角三角形，
∴△ADE∽△BDF，
∴＝＝，
∵∠DAC＝∠DBC＝45°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠CBA＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠ABC﹣45°，∠CDF＝∠BDC﹣45°，
∴∠ABD＝∠CDF，
∴∠CDF＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠CFD＝90°，CD＝DC，
∴△CDE≌△DCF（AAS），
∴DF＝CE，
∴CE＝DF＝2DE，
设AE＝DE＝x，则CE＝DF＝2x，
∴AC＝3x，
∵△ADC的面积为30，
∴AC DE＝×3x x＝30，
∴x＝2，
∴DF＝2x＝4，
∴BD＝DF＝4．
故答案为：4．
18．中国古建筑很多的房顶横截面是三角形，这是利用了三角形具有 稳定性 ．
【考点】三角形的稳定性．
【答案】稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：中国古建筑很多的房顶横截面是三角形，这是利用了三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
19．如图，在△ABC中，AN＝2CN，M是AB的中点，BN、CM相交于O，设△BOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若△ABC的面积为12，则S1﹣S2＝ 2 ．
【考点】三角形的重心；三角形的面积．
【答案】2．
【分析】由于AN＝2CN，△ABC的面积为12，由此可以求出△ABN的面积为8，△BNC的面积为4，然后利用已知条件可以分别用S1、S2表示△CBM 的面积、△ACM的面积，最后利用中点的性质即可求解．
【解答】解：在△ABC中，AN＝2CN，△ABC的面积为12，
∴△ABN的面积为8，△BNC的面积为4，
∵△BOM的面积为S1，△CON的面积为S2，
∴四边形AMON的面积8﹣S1，△BOC的面积为4﹣S2，
∵M是AB的中点，
∴△CBM 的面积为＝△ACM的面积，
∴S1+4﹣S2＝8﹣S1+S2，
∴2S1﹣2S2＝8﹣4，
∴2（S1﹣S2）＝4，
∴S1﹣S2＝2．
故答案为：2．
20．一个三角形的两边长分别是3和7，最长边a为偶数，则这个三角形的周长为 18 ．
【考点】三角形三边关系．
【答案】18．
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和．求得相应范围后，根据最长边a为偶数舍去不合题意的值即可．
【解答】解：∵7﹣3＝4，7+3＝10，
∴4＜a＜10．
又∵最长边a为偶数，
∴a＝8．
∴周长为7+3+8＝18．
故答案为：18．
21．已知在△ABC中，∠A＝80°，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BDC的度数为 130° ．
【考点】三角形内角和定理．
【答案】130°．
【分析】根据三角形的内角和等于180°列式求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠DBC+∠DCB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：如图，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°，
∵BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×100°＝50°，
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
22．如图，△ABC中，∠A＝x°，∠B＝37°，外角∠ACD＝118°，则x＝ 81 度．
【考点】三角形的外角性质．
【答案】81．
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算．
【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B，
∵∠B＝37°，∠ACD＝118°，
∴∠A＝118°﹣37°＝81°，
∴x＝81．
故答案为：81．
23．如图中有（1）～（5）5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，图中（2）～（5）由实线围成的图形与（1）全等的有 （2）（4）（5） ．（只填序号即可）
【考点】全等图形．
【答案】（2）（4）（5）．
【分析】本题可通过旋转，看后边四个实线图形能和（1）中图形完全重合的便是（1）的全等形．
【解答】解：（2）以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合，
（3）中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和（1）中图形完全重合，
（4）可上下反转成（2）的情况，然后旋转可和（1）中图形完全重合，
（5）可旋转180°后可和（1）中图形完全重合，
故答案为（2）（4）（5）．
24．如图，AB＝9cm，∠CAB＝∠DBA，AC＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动（当点P运动结束时，点Q运动随之结束），当点Q的运动速度为 2或 cm/s，有△ACP与△BPQ全等．
【考点】全等三角形的性质．
【答案】2或．
【分析】根据全等三角形的性质得出方程解答即可．
【解答】解：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
可得：7＝9﹣2t，2t＝xt，
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xt，2t＝9﹣2t
解得：x＝，t＝．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
故答案为：2或．
25．如图，在△ABC与△BAD中，要证明△ABC≌△BAD，（1）若∠ABD＝∠CAB，若以“SAS”为依据，还需添加的条件是 AC＝BD ；（2）若∠ABD＝∠CAB，若以“ASA”为依据，还需添加的条件是 ∠ABC＝∠BAD ；（3）若∠ABD＝∠CAB，若以“AAS”为依据，还需添加的条件是 ∠C＝∠D ；（4）若∠ADB＝∠BCA＝90°，若以“HL”为依据，还需添加的条件是 AC＝BD或BC＝AD （填一个即可）．
【考点】全等三角形的判定．
【答案】（1）AC＝BD；（2）∠ABC＝∠BAD；（3）∠C＝∠D；（4）AC＝BD或BC＝AD．
【分析】本题要判定△ABC≌△BAD，已知∠ABD＝∠CAB，AB是公共边，具备了一边、一角对应相等，故添加AC＝BD、∠ABC＝∠BAD、∠C＝∠D，可分别根据SAS、ASA、AAS判定全等．若∠ADB＝∠BCA＝90°，以“HL”为依据，还需添加的条件是AC＝BD或BC＝AD．
【解答】解：（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是AC＝BD；
（2）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是∠ABC＝∠BAD；
（3）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是∠C＝∠D；
（4）∠ADB＝∠BCA＝90°，若以“HL”为依据，还需添加的条件是AC＝BD或BC＝AD．
故答案为：（1）AC＝BD；（2）∠ABC＝∠BAD；（3）∠C＝∠D；（4）AC＝BD或BC＝AD．
三．解答题（共5小题）
26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠C＝60°，求∠BAC的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】∠BAC的度数是70°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形内角和求出∠CAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD＝5°，
∴∠AED＝85°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝180°﹣∠AED﹣∠C＝35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠CAE＝70°，
答：∠BAC的度数是70°．
27．如图所示，在锐角三角形ABC中，AB＝3，BC＝7，AC＝5，若O是△ABC内的一点，且它到三边的距离相等（设为h）且ABC的面积为12，求h的值．
【考点】三角形的面积．
【答案】．
【分析】根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵AB＝3，BC＝7，AC＝5，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC
＝AB h+BC h+AC h
＝×3h+×7h+×5h＝12，
∴h＝．
28．已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|b﹣c﹣a|+|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|．
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【答案】（1）△ABC为等边三角形；
（2）3a﹣3b+c．
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，然后去绝对值符号后化简即可．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴原式＝﹣b+c+a+a﹣b+c+a﹣b﹣c＝3a﹣3b+c．
29．已知一个三角形的三个内角的度数之比为5：6：7，试判断三角形的形状，并说明理由．
【考点】三角形内角和定理．
【答案】锐角三角形，理由详见解答过程．
【分析】运用方程的思想以及三角形内角和定理解决此题．
【解答】解：这个三角形是锐角三角形，理由如下：
根据题意，设这个三角形的三个内角的度数分别为5x、6x、7x．
∴5x+6x+7x＝180°，
∴x＝10°．
∴5x＝50°，6x＝60°，7x＝70°．
∴这个三角形是锐角三角形．
30．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠A＝50°，则∠BPC＝ 115° ；
（2）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ 2α﹣180° ；（用含α的代数式表示）
（3）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【答案】（1）115°；
（2）2α﹣180°；
（3）∠P+∠Q＝180°，见解答过程．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠P即可解决问题；
（2）结合（1）进行求解即可；
（3）由角平分线的定义可得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∠QBC＝∠MBC，∠QCB＝∠QCB，结合平角的定义可求得∠PBQ＝∠PCQ＝90°，利用四边形的内角和为360°，可求得∠Q与∠BPC的关系．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°+∠A，
∵∠A＝50°，
∴∠BPC＝115°，
故答案为：115°；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°+∠A，
∵∠BPC＝α，
∴α＝90°+∠A，
则∠A＝2α﹣180°，
故答案为：2α﹣180°；
（3）∠P+∠Q＝180°，理由如下：
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∠QBC＝∠MBC，∠QCB＝∠QCB，
∴∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠MBC），
∠PCB+∠QCB＝（∠ACB+∠MCB），
∵∠ABC+∠MBC＝180°，∠ACB+∠MCB＝180°，
∴∠PBQ＝∠PCQ＝90°，
∴∠P+∠Q＝360°﹣∠PBQ﹣∠PCQ＝180°．