专题27.16相似三角形的判定 基础篇 专项练习（含解析）2023-2024学年九年级数学下册人教版专项讲练

专题27.16 相似三角形的判定（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、两角对应相等，两三角形相似
1．如图，在中，高、相交于点F．图中与一定相似的三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（　　　）
A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．
3．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
类型二、两边对应成比例，两三角形相似
4．如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOC
C．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD
5．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CD B．
C． D．
6．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
类型三、三边对应成比例，两三角形相似
7．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A． B． C． D．
8．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
9．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A． B． C． D．
类型四、添加条件证明两三角形相似
10．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
11．如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，则添加下面的条件后，不能判断△AED∽△ABC的是（　　）
A．＝ B．＝ C．∠AED＝∠B D．∠ADE＝∠C
二、填空题
类型一、两角对应相等，两三角形相似
13．如图，的高AD，BE相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ．
14．如图，、相交于点，与不平行，当满足条件 时，．
15．如图，已知，则 ，理由是 ．
类型二、两边对应成比例，两三角形相似
16．如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是 ．
17．如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为 ，可证明△AOB∽△DOC．
18．如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过 秒时与相似．
类型三、三边对应成比例，两三角形相似
19．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示 ．
20．如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC △DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．
21．如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①；②；③；其中能与相似的是 ．（除外）
类型四、添加条件证明两三角形相似
22．如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件 ，使ΔACD∽ΔABC．
23．如图，在 中，，过 上一点 D 作直线交于点 F，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作出的条数为 ．
24．如图，∠ACB=∠BDC=Rt∠，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似．请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是 ．
三、解答题
25．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC
26．已知：D、E是的边、上的点，，求证：．
27．如图，在的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
(1)如图1，作一条线段，使它是向右平移一格后的图形；
(2)如图2，作一个轴对称图形，使和是它的两条边；
(3)如图3，作一个与相似的三角形，相似比不等于1．
28．如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；
（1）证明：△ABC∽△ADE．
（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为：　 　．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用相似三角形的判定方法可得，，，可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
即与一定相似的三角形有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
2．C
【分析】利用等边三角形的性质可得再利用公共角可得答案．
【详解】解： △ABC与△BDE都是等边三角形，
故选C．
【点睛】本题考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
3．B
【分析】由垂线的定义得出∠ADC＝∠BDA＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，得出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA；
【详解】解：∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
同理：△ADB∽△CAB，
∴△ADC∽△BAC∽△BDA，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
4．D
【分析】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB∽△COD．
【详解】解：∵四边形的对角线相交于点，
∴∠AOB=∠COD，
在△AOB和△COD中，
∴△AOB∽△COD．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键．
5．D
【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
6．B
【分析】
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．
A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键．
7．B
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
8．A
【分析】分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：①三角形的三边的长度为：2，2，2；
②三角形的三边的长度为：，2，；
③三角形的三边的长度为：，3，；
④三角形的三边的长度为：，，3；
∵，
∴相似三角形的是①和②，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9．B
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
10．D
【详解】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
11．C
【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案．
【详解】解：，，∽，故选项A不符合题意；
，，∽，故选项B不符合题意；
，但无法确定与是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C符合题意；
即，，∽，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
12．A
【分析】根据相似三角形的判定方法，一一判断即可．
【详解】解：A、不能判断，△AED∽△ABC．
B、由＝，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故能判断相似．
C、∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故能判断相似．
D、∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故能判断相似．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解此题的关键，相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出基本图形．
13．（答案不唯一）
【分析】根据已知条件得到，，推出；同理，根据相似三角形的性质得到，又，于是得到．
【详解】解：本题答案不唯一；
与相似的三角形有：，，，
选择求证：．
证明：的高，交于点，
．
，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相似．
14．∠B
【分析】由相似三角形的判定可直接进行求解．
【详解】解：当满足条件∠C=∠B时，△AEC∽△DEB，理由如下：
∵∠AEC=∠DEB，∠C=∠B，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
15． ABC 两角分别对应相等的两个三角形相似
【分析】结合相似三角形的判定即可求解．
【详解】解：
（两角分别对应相等的两个三角形相似）
故答案是：①ABC；②两角分别对应相等的两个三角形相似．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，属于基础知识理解题型，难度不大．相似三角形的判定可以和全等三角形的判定类比学习；全等强调边相等，而相似强调边成比例．
16．
【分析】根据DE∥BC，可得 ，从而得到,即可求解．
【详解】解：∵DE∥BC，
，
∴，
∴，
∵，DE＝1，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
17．∠AOB＝∠DOC
【分析】根据相似三角形的判定，两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似解答．
【详解】解：∵，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．
故答案为：∠AOB＝∠DOC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟记“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”是解题的关键．
18．或##或
【分析】设经过t秒时，与相似，则,,,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时，与相似，
则,,,
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上所述：经过或秒时，与相似，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
19．
【分析】根据网格寻找相等的角度以及成比例的线段，即可得出结果．
【详解】解：根据题意可得：，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
20．一定相似
【分析】分别计算两个三角形的三边长，看三边是否成比例，即可判定这两个三角形是否相似．
【详解】根据图示知：
AB＝2，BC＝1，AC＝；
DE＝2，EF＝，DF＝5，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
故答案为：一定相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，关键是熟悉相似三角形的判定．
21．③（）
【分析】分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：根据网格可知：AB=1，AC=，BC=，△ABC的三边之比是AB：AC：BC＝1：：，
同理可求：②△CDB的三边之比是CD：BC：BD＝1：：2；
③△DEB中DE：BD：BE＝2：2：＝1：：．
∴③（△DEB）与△ABC相似，
故答案为：③△DEB．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键．
22．AC＝AB AD（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定添加适当的条件即可．
【详解】解： 添加：AC＝AB AD
∵AC＝AB AD
∴
∵∠A＝∠A
∴ΔACD∽ΔABC．
故答案为：AC＝AB AD（答案不唯一）．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
23．2
【分析】作，则，因此符合所求直线的要求．过D作，那么符合所求直线的要求．
【详解】解：如图
作，则；
过D作，则，
所以，这样的直线可作2条．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
24．∠A=∠CBA（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定可求解．
【详解】解：添加∠A=∠CBA，
∵∠A=∠CBA，∠ACB=∠BDC=Rt∠，
∴△ACB∽△BDC，
故答案为：∠A=∠CBA（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
25．见解析
【分析】根据AD⊥AB，BE⊥AB，有∠DAC=90°=∠EBC，∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，再根据∠DCE=90°，有∠DCA+∠ECB=90°，即有∠D=∠ECB，则结论得证．
【详解】证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，
∴∠DAC=90°=∠EBC，
∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCA+∠ECB=90°，
∴∠D=∠ECB，
∵∠DAC=90°=∠EBC，
∴△ACD∽△BEC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．
26．见解析
【分析】根据已知线段长度求出，再根据推出相似即可．
【详解】证明：在和中，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
27．(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】（1）分别确定A，B平移后的对应点C，D，从而可得答案；
（2）确定线段AB，AC关于直线BC对称的线段即可；
（3）分别计算的三边长度，再利用相似三角形的对应边成比例确定的三边长度，再画出即可．
【详解】（1）解：如图，线段CD即为所求作的线段，
（2）如图，四边形ABDC是所求作的轴对称图形，
（3）如图，如图，即为所求作的三角形，
由勾股定理可得： 而
同理： 而
【点睛】本题考查的是平移的作图，轴对称的作图，相似三角形的作图，掌握平移轴对称的性质，相似三角形的判定方法是解本题的关键．
28．(1)证明见解析；(2)见解析.
【分析】(1)由∠1=∠2,证出∠BAC=∠DAE.再由∠C=∠E,即可得出结论;
(2)由AAS证明△ABC≌△ADE即可.
【详解】(1)∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠C=∠E，
∴△ABC∽△ADE．
(2)补充的条件为：AB=AD（答案不唯一）；理由如下：
由(1)得：∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中， ，
∴△ABC≌△ADE；
故答案为AB=AD（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及相似三角形的判定.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页