专题27.17相似三角形的判定 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年九年级数学下册人教版专项讲练

专题27.17 相似三角形的判定（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在△中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知的一边，另两边长分别是3，4，若是边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有（ ）条
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定和相似的是（ ）
A． B．是的平分线
C． D．
6．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　）
A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE
7．如图，，交于点O，有下列三个结论：①，②，③．则一定成立的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中和的顶点都在小正方形的顶点上，则与一定相似的图形是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（　　）
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG
10．将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ）
A．△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC
11．如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（ ）
A． B． C．是的中点 D．
二、填空题
12．如图，⊿ABC中，∠C = ，CD是斜边AB上的高,AD = 9，BD = 4，那么 CD= ,AC = .
13．如图，AC、BD相交于点O，分别联结AB、DC，如果，，，，那么 ．
14．如图，在中，已知，，P是BC边上的一动点（P不与点B，C重合），连接AP，，边PE与AC交于点D，当为等腰三角形时，PB的长为 .
15．如图，F是△ABC内一点，BF平分∠ABC且AF⊥BF，E是AC中点，AB=6，BC=8，则EF的长等于 ．
16．如图，矩形ABCD中，点E为AD的中点，连结BE，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在AC上的点A处，若AB＝2，则AC的长度为 ．
17．如图，在 ABCD中，M、N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB与点E，连接EN并延长交CD于点F，则DF：AB= ．
18．如图，在正方形网格上画有梯形，则的度数为 .
19．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为 ．
20．如图，，，在、、、、、中写出一对相似三角形 ．
21．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写正确结论的序号）．
22．如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过 秒时与相似．
三、解答题
23．如图，．
（1）求，，的值；
（2）证明与相似．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC．
25．已知菱形中，是边上一点．
(1)在的右侧求作，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求证：．
26．如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、，且．
(1)证明：；
(2)若，，当点D在上运动时（点D不与B、C重合），且是等腰三角形，求此时的长．
27．如图，在中，，，BD为角平分线，，垂足为E．
(1)证明；
(2)证明．
28．如图，在中，，，CD是AB边上的高，点E为线段CD上一点（不与点C，点D重合），连接BE，作与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连接BF．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由图可知，∠B是△ABC与△ABD的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹∠B的两边成比例即可判断．
【详解】解：A．∵AB2=BD BC，
∴ ，
∵∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
故A不符合题意；
B．∵∠BDA=∠BAC，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
故B不符合题意；
C．∵∠ADC=∠C+∠B，∠ADC=∠BAD+∠B，
∴∠C=∠BAD，
∵∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
故C不符合题意；
D．∵AD BC=AB AC，
∴，
∵∠B≠∠BAD，
∴不能判定△ABC与△ABD相似，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，结合图形分析并熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
2．C
【分析】先说明，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断判定即可．
【详解】解：∵，
∴，
A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
C．若添加，已知角不是成比例的两边的娇娇，不能证明，故本选项符合题意；
D．若添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，灵活运用相似三角形的判定定理判定两三角形相似是解题的关键．
3．C
【分析】如果△BAD∽△CBD，可得∠ADB=∠BDC=90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【详解】当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB =∠BDC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，BD不与AC垂直，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
4．B
【分析】由，另两边长分别是3，4，可知△ABC是直角三角形，过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【详解】解：如图，
∵，另两边长分别是3，4，
又∵，
∴，即△ABC是直角三角形，
∵过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
∴只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
∴过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其运用，解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．
5．D
【分析】按照相似三角形的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：在和中，，
如果，需满足的条件有：①或是的平分线；②；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
6．D
【分析】由BD⊥AC，AE⊥BC，可得∠BDC＝∠AEC＝90°，由∠EBF=∠DBC，可证△BFE∽△BCD，可判断A；由△BFE∽△BCD，可得∠BFE=∠C，由∠AFD=∠BFE=∠C，和∠ADF=∠BDC=90°可证△ADF∽△BDC可判断B；由∠BDC＝∠AEC＝90°，∠BCD=∠ACE，可证△BDC∽△AEC，可判断C，由，可得，由△BFE∽△BCD，可得可得，由∠BDC=∠AEB=90°，若△ABE∽△BCD， 连结FC，可得△CEF∽△BDC，由∠FEC=∠CDB=90°只要满足∠FCE=∠DBC，应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，已知中没有点E为BD中点条件可判断D．
【详解】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵∠EBF=∠DBC
∴△BFE∽△BCD，故选项A正确；
∴∠BFE=∠C，
∵∠AFD=∠BFE=∠C，
又∵∠ADF=∠BDC=90°，
∴△ADF∽△BDC，故选项B正确；
∵∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BDC∽△AEC，
∴∠DBC＝∠EAC，故选项C正确；
∵，
∴，
∵△BFE∽△BCD，
∴，
∴，
∵∠BDC=∠AEB=90°，
若△ABE∽△BCD，
满足条件，
即，
∴满足即，
连结FC，
应有△CEF∽△BDC，
∵∠FEC=∠CDB，
∴只要满足∠FCE=∠DBC，
应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，
已知中没有点E为BD中点条件，
∴△BAE不一定与△BCD相似，
故选项D不正确．
【点睛】本题考查三角形相似的判定，掌握相似的判定定理，结合反证法的思想证明不一定相似的选项是解题关键
7．D
【分析】根据全等三角形的性质可判断①和②，再根据相似三角形的判定判断③即可．
【详解】解：①∵，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠1=∠2，故①成立；
②∵，
∴BC=DE，故②成立，
③∵，
∴AB=AD，AC=AE，
∴，又∠1=∠2，
∴，故③成立，
综上，一定成立的有①②③共3个，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质和相似三角形的判定是解答的关键．
8．A
【分析】由已知根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
【详解】解：已知每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成．
A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠CDE，
BC=DC=，
∴，，
∴△ABC∽△CDE；
B：△ABC为等腰三角形，则△CDE不是等腰三角形，所以不相似；
C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，对应角不相等，所以不相似；
D：，，
∴，所以不相似．
故选：A．
【点睛】此题考查的知识点是相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
9．C
【分析】由正方形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，可以证明△AEF∽△CBF，△CMG∽△BFG，△BDE∽△BCG，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，
∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；
∵∠EBM=∠DCA，∠MGC=∠BGF，
∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；
∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°，
∴∠ABF+∠CBG=45°，
∴∠ABF与∠CBG不一定相等，
∴△ABF与△CBG不一定相似，
故选项C符合题意；
△BDE∽△BCG，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，熟练运用相似三角形的判定方法是本题的关键．
10．C
【分析】根据是直角三角形，而不是直角三角形，即可判断A选项，只有，不能判断B选项中两三角形相似，根据题意可得，进而证明，即可判断，即可判断C选项，D选项中只有一个公共角，根据已知条件找不到另外一对角相等，故不能判断D选项中两三角形相似．
【详解】A.是直角三角形，不是直角三角形，故不能判断△ABC与△ADE相似；
B.只有，不能判断B选项中△ABD与△AEC相似；
D. 只有，不能判断D选项中△AEC与△ADC相似；
C.是等腰直角三角形，则
设，则，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
11．C
【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．
【详解】A．，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意；
B.，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，从而有∽，不合题意；
C．P是BC的中点，无法判断与相似，符合题意；
D． ，根据正方形性质得到，又∵∠B=∠C，则∽，不合题意．
故选：C
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．
12．
【分析】根据相似三角形的判定得到△CBD∽△ACD，根据相似比可求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．
【详解】∵
∴∠A=∠BCD
∵
∴△CBD∽△ACD
∴,
∵AD=9，BD=4
∴,
∴
故答案为:
【点睛】考查相似三角形的判定与性质, 勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
13．3
【分析】由，得到∽DCO，然后列出方程求出OC的长．
【详解】解：，，
∽DCO，
，
，
．
故答案为3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确找出三角形相似列出方程是解题的关键．
14．2或
【分析】分三种情况进行讨论：①当AP=PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD=PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD=AP时，点P与点B重合．
【详解】∵，∴
∵，
∴
①当时，，
则，故．
②当时，∴．
∵，∴，
∴．
如图，过P作于H，过A作于G，
∴，，
∴．
设，
∴，
∴，．
∵，∴，
解得（负值舍去），
∴，∴．
③当时，点P与点B重合，不合题意．
综上所述，PB的长为2或.
【点睛】此题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
15．1.
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=4且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=4，由EF=DE-DF可得答案．
【详解】∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，
∵AB=6，D为AB中点，
∴DF=AB=AD=BD=3，
∴∠ABF=∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即
解得：DE=4，
∴EF=DE-DF=1，
故答案为1．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
16．2
【分析】连接A'D，设BE与AC交于点M，由翻折知，BE垂直平分AA'，证明△ABM≌△CDA'，推出A'C＝AM，再证明△BAM∽△CAB，设AM＝A'M＝A'C＝x，则AC＝3x，通过相似三角形对应边的比相等可求出x的值，进一步求出AC的长度．
【详解】解：如图，连接A'D，设BE与AC交于点M，
由翻折知，BE垂直平分AA'，
∴AB＝A'B＝2，AM＝A'M，AE＝A'E，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE＝A'E，
∴点A，A'，D三点在以AD为直径的圆上，
∴∠DA'A＝∠DA'C＝90°＝∠AMB，
∴△ABM≌△CDA'（AAS），
∴A'C＝AM，
∴AM＝A'M＝A'C，
∵∠ABC＝∠ANB＝90°，∠BAM＝∠BAM，
∴△BAM∽△CAB，
∴，
设AM＝A'M＝A'C＝x，则AC＝3x，
∴，
解得，x＝（取正值），
∴3x＝2，
∴AC＝2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够通过证明三点共圆得到∠AA'D＝90°．
17．1：4
【分析】由题意可得DN=NM=MB，据此可得DF：BE=DN：NB=1：2，再根据BE：DC=BM：MD=1：2，AB=DC，故可得出DF：AB的值．
【详解】由题意可得DN=NM=MB，△DFN∽△BEN，△DMC∽△BME，
∴DF：BE=DN：NB=1：2，BE：DC=BM：MD=1：2
又∵AB=DC
∴可得DF：AB=1：4．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用．
18．135°
【分析】由已知可得△ABD∽△DCB，故∠BAD=∠BDC.
【详解】∵由已知可得
∴△ABD∽△DCB，
∴∠BAD=∠BDC，
又∠BAD=180°-45°=135°，
∴∠BDC=135°，
故答案为135°．
【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.理解判定是关键.
19．
【详解】解：矩形ABCD中，DC=AB=2，AD=BC=1．又∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC，∴AB：AD=BC：DE，∴DE=，∴EC=DC﹣DE=．
点睛：本题考查的是相似三角形的判定和性质，相似三角形的对应边成比例．
20．
【分析】设AP，求得AB=，由相似三角形的判定定理可求解．
【详解】解：设AP，
∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，
∴AP=PB=BC=CD，
∴AB=，
∴，，
∴，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，
故答案为：△ABC∽△DBA．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
21．①③④
【分析】根据SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根据等边对等角推出即可①正确；不正确，采用反证法，假设，可以证明△ACF≌△AFD，即可证明∠DAF=∠CAF，由题意无法得出此结论，判断②错误；根据∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即可判断③正确；根据△AEF≌△ABC，得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根据相似三角形性质得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判断④正确
【详解】解：在△AEF和△ABC中
∵，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴AF＝AC，
∴∠AFC＝∠C，
∴①正确；
不正确，理由是：假设，
∵△AEF≌△ABC
∴∠AFD=∠C，AF=AC，
∴△ACF≌△AFD，
∴∠DAF=∠FAC，
原题中无AF为∠BAC平分线这一条件，
∴②错误；
∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，
∴△ADE∽△FDB，
∴③正确；
∵△AEF≌△ABC，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，
∴∠EAD＝∠CAF，
∵△ADE∽△FBD，
∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，
∴④正确；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，根据条件判定△AEF≌△ABC是解题关键．
22．或##或
【分析】设经过t秒时，与相似，则,,,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时，与相似，
则,,,
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上所述：经过或秒时，与相似，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
23．（1）；（2）见解析
【分析】（1）由图可知、的长度，分别代入，，计算即可得本题答案；
（2）由（1）知和对应边成比例，由可知，，；再根据相似三角形的判定定理，对应边成比例，对应角分别相等的两个三角形相似，即可判定与相似．
【详解】（1）∵，
∴，，，
即．
（2）由（1）知，，
又∵
∴，，，
∴∽（对应边成比例，对应角分别相等的两个三角形相似）．
【点睛】本题主要考查了比例线段及相似三角形的判定定理的知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24．证明见解析．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC．
【详解】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
∵点E为AC的中点，
∴ED＝EC，
∴△ECD是等腰三角形，
∴∠EDC＝∠C，
∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝∠AEF，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．
25．(1)见解析；
(2)见解析.
【分析】（1）连接AC交BD于O，在BC右侧作∠CEF=∠CBD，再在射线EF截取EF=OB，连接AE、AF，即可得△AEF；
（2）延长EF交AD延长线于点G，先证明四边形BEGD是平行四边形，可得EG=BD=2EF，∠G=∠CBD，
【详解】（1）解：如图，连接AC交BD于O，在BC右侧作∠CEF=∠CBD，再在射线EF截取EF=OB，连接AE、AF，则△AEF即为所要求作的三角形，再证，可得，
最后证得结果；
（2）证明：延长EF交AD延长线于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
又∵EF//BD，EF=BD，
∴四边形BEGD是平行四边形，
∴EG=BD=2EF，∠G=∠CBD，
又∵在菱形ABCD中，∠CBD=∠ABC，
，
，
又∵，
，
，
，
；
【点睛】本题考查作图-复杂作图、相似三角形的性质与判定、菱形的性质、平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．(1)详见解析
(2)当是等腰三角形时，的长为3或
【分析】(1)证明即可．
(2)利用分类思想，分三种情况计算求解即可．
【详解】（1）
∵
∴
∵
∴
∴．
（2）
当时
∴
∵
∴
∴
∴点D与B重合，不合题意舍去；
当时，如图1，
∴
∵
∴
∴AD平分
∴AD垂直平分BC
∴；
当时，如图2
∵，
∴∽
∴
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
综上所述，当是等腰三角形时，BD的长为3或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和可求出图中所有角的度数，从而可得到△ADE≌△BDE；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和可求出图中所有角的度数，从而可得到△ABC∽△BCD；
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵BD为角平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴
（2）证明：∵，，
∴，
∵BD为角平分线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和等腰三角形的性质．
28．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】(1)得出∠FCG=∠BEG=90°，∠CGF=∠EGB，则结论得证；
(2)证明△CGE∽△FGB即可；
(3)过点F作FH⊥CD交DC的延长线于点H，证明△FEH≌△EBD（AAS），得出FH=ED，则CH=FH，得出CF=DE，则得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴
又∵
∴
（2）解：由(1)得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即
（3）解：过点作交的延长线于点，如下图所示，
由(2)知，∠EFB=45°，EF⊥BE，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴
在和中
∴（AAS），
∴，
∵，，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴.
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
答案第1页，共2页
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