专题27.27相似三角形几何模型-A型图 基础篇 专项练习（含解析）2023-2024学年九年级数学下册人教版专项讲练

专题27.27 相似三角形几何模型-A型图（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的是（　　）
A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，连接DE，下列条件不能使得△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D．
3．如图，点P在的边AC上，如果添加一个条件后可以得到，那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是BC上一点，BE＝5，DE⊥AB，垂足为D，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在中，D、E分别是边AB、AC上的点，且，连接CD，过点E作，交AB于点F，则下列比例式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，等腰△ABC，BA=BC，点P是腰AB上一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
10．如图，在中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：
嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．
淇淇说：．
对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误
二、填空题
11．如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件 ，使．
12．如图，在中，D为AB边上的一点，要使成立，还需要添加一个条件，你添加的条件是
13．图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是 （写出一个条件即可）．
14．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．若△ABC的面积为3，则的面积为 ．
15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=2，BD=3，则AC的长为　　　　．
16．如图，在中，D是边上的点，如果 或 ，则.
17．如图，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时，△ACD∽△ABC．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个．
19．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，不能得出和相似的是： （填序号）．
20．如图，在 中，，过 上一点 D 作直线交于点 F，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作出的条数为 ．
三、解答题
21．如图，在中，，D是边上一点，．求证．
22．如图，在中，，于D．
求证：．
23．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：．
24．已知：如图，点D在三角形ABC的AB上，DE交AC于点E，，点F在AD上，且．求证：
(1)；
(2)∽．
25．已知：如图，在中，是边上的中线，，分别交、、于点、、．求证：．
26．如图，，E为与的交点，F在上，求证：．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．D
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可．
【详解】解：∵∠ADE＝∠B，
∴
故A能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
∠AED＝∠C，
∴
故B能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
，
∴
故C能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
，条件未给出，不能判定△ADE与△ABC相似，故D符合题意
故选D
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
2．C
【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：A.∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故此选项不符合题意；
B.∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
故此选项不符合题意；
C.∵，∠AED≠∠ABC，
∴△ABC与△ADE不相似，
故此选项符合题意；
D.∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
3．D
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A.当时，又∵，∴，故此选项不符合题意；
B.当时，又∵，∴，故此选项不符合题意；
C.当，即时，又∵，∴，故此选项不符合题意；
D.无法得到，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
4．C
【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案．
【详解】解：，，∽，故选项A不符合题意；
，，∽，故选项B不符合题意；
，但无法确定与是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C符合题意；
即，，∽，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
5．C
【分析】由勾股定理可求AC＝6，通过证明△DEB∽△CAB，可得，即可求解．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC6，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠C＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△DEB∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
6．D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵DE∥BC，EF∥CD，
∴,，,，
△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，
∴，，，
∴成立的是ABC，不成立的是D，
故选：D.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
7．B
【分析】由垂线的定义得出∠ADC＝∠BDA＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，得出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA；
【详解】解：∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
同理：△ADB∽△CAB，
∴△ADC∽△BAC∽△BDA，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
8．B
【分析】
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．
A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键．
9．C
【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与∠A相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．
【详解】解：∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．
②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．
③作∠APG=∠A，可得∠AGP∽△ABC，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．B
【分析】根据，可以判定，与不一定相等，不能判定PQ//BC．
【详解】解：∵，，
∴，即淇淇的结论正确；
∴，，
∵不能得出或，
∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉的结论不正确．
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定方法是解题的关键．
11．∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解∶∵∠A=∠A，
∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似．
故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
12．或
【分析】根据图形可以看出两个三角形有一个公共角，相似证明中，有两个角对应相等即可证明两三角形相似，即添加对应角相等即可．
【详解】解：由图可知，在中，
∴添加的条件为：或
故答案为：或
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，掌握判定相似的条件是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可．
【详解】解：添加，可以使两个三角形相似．
∵，，
∴．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键．
14．##0.75
【分析】由于在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线的性质，可得，又由有三边对应成比例的三角形相似，即可证得△DEF∽△CAB，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△DEF的面积．
【详解】解：∵在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴，
∴△DEF∽△CAB，
∴，
∵S△ABC＝3，
∴S△DEF＝S△ABC＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，注意掌握数形结合思想的应用．
15．
【分析】证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵AD=2，BD=3，
∴AB=AD+BD=2+3=5，
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，即，
解得，AC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
16．
【分析】利用三角形相似的判定求解即可.
【详解】由图可知,根据相似三角形的判定，再加一个对应角相等即可，
所以，可以为：或使得
故答案为或
【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定定理的理解和掌握.
17． ACD B
【解析】略
18．4
【分析】根据等角或同角的余角相等，证明三角形相似即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，
∴
又
又
，
又
与△ABC相似的三角形有，，，，共计4个
故答案为：4
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的的判定定理是解题的关键．
19．③
【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．
【详解】解：①，时，，故①不符合题意；
②，时，，故②不符合题意；
③，时，不能推出，故③符合题意；
④，时，，故④不符合题意，
故答案为：③
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．
20．2
【分析】作，则，因此符合所求直线的要求．过D作，那么符合所求直线的要求．
【详解】解：如图
作，则；
过D作，则，
所以，这样的直线可作2条．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
21．详见解析
【分析】由题中线段长度得出，结合相似三角形的判定定理即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
22．见解析
【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．
【详解】证明：∵于D．
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．
23．证明见解析
【分析】由，∠B=90°可得出，再由公共角相等，即可证得．
【详解】∵，∠B=90°，
∴．
又∵∠C=∠C，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据，可得，从而得到，即可求证；
（2）根据，可得，从而得到．即可求证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
又，
∴∽．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定定理是解题的关键．
25．见解析
【分析】由得到，，根据相似三角形的性质列出比例式，，从而推出，结合由三角形中线的定义得出，即可证出结论．
【详解】证明：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵为的边上的中线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形的中线，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26．见解析
【分析】根据已知条件可得，根据相似三角形的性质列出比例式，即可证明结论
【详解】
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，将线段比转化为之间的关系是解题的关键．
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