专题27.38相似三角形几何模型-双垂线等角 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年九年级数学下册人教版专项讲练

专题27.38 相似三角形几何模型-双垂线等角（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将矩形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转得矩形AEFG，连接BE，当EF刚好经过点D时，线段BE的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在等腰直角△ABC中，，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且，DE交OC于点P．给出下列结论：
（1）AD=CE；
（2）；
（3）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；
（4）．
其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝6，DB＝2，则CD的长为（　　）
A．3 B． C． D．4
4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，且BD＝2CD，连接AD，将△ABD沿AD翻折，得到△ADE，DE与AC交于点F．若△DCF，△AEF的面积分别为1和16，则＝（　　）
A． B．3 C． D．
5．如图，正方形的边长为，点O是对角线、的交点，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，、交于点G，中点为H．给出下列结论：
①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④；⑤H点经过的路程为其中正确的是（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①④⑤
6．在中，，，点为线段上一点，以为一边构造，，，下列说法正确的个数是（ ）
①图中和相等的角有2个（不含）；②若不添加线段，图中共有5对相似三角形；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，矩形纸片ABCD中，，，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为，，连接并延长，交CD于点G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形：①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．成立的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．如图，等边三角形△ABC的边长为2，点O是△ABC的重心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②BD＋BE＝2；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．若AB=3，AD=2BD，则AF= ．
12．如图，中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，①∠A+∠B=90°；②AB2=AC2+BC2；③；④CD2=AD BD．能证明是直角三角形的有 （多选、错选不得分）．
13．图，正方形ABCD的边长为2，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD边上，且DE=2CE，过点C作于点F，连接OF，则 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD=8，那么CD的长是 ．
15．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转一定的角度得，且点D恰好落在边上，与交于点F．
（1）求 ；
（2）当时， ．
16．如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使△ABC∽△ADE，则这个条件可以是 （填一个即可）．
17．如图，在△ABC与△AED中， ,添加一个条件，使△ABC与△AED相似，这个条件可以是 ．
18．已知：如图，在中，，，垂足是，，BD=1．则 ．
19．如如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，AC与BD相交于O，E为DC上的一点，过点O作OF⊥OE交BC于F，记d=，则d的最小值为 ．
20．如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①；②；③若，，则；④，正确的是 ．
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且，．
(1)求证：．
(2)若，求∠CBD的度数．
22．在△ABC和△ADE中，点E在BC上，已知∠B＝∠D，∠DAB＝∠EAC．
(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)若AC∥DE，∠AEC＝45°，求∠C的度数．
23．如图，在△ABC和△BED中，．
(1)若△ABC与△BED的周长差为10cm，求△ABC的周长；
(2)若△ABC与△BED的面积之和为170，求△BED的面积．
24．将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N．
(1)求证：△AMD∽△CND；
(2)如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF∥BC，且E，A，F共线，判断是否成立，并给出证明．
25．如图1，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，直线BD和直线CE交于点F．
(1)线段BD与CE具有怎样的数量关系？写出证明过程；
(2)若AC=BC=3，AE＝DE=，将△ADE绕着点A在平面内旋转，当点D落在线段AC上时，在图2中补全图形，并求CF的长度．
26．如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE=AF．
(1)求证：DE⊥DF；
(2)如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为8，求四边形DEBF的面积；
(3)如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝3，直接写出AG的长．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】连接DG．由矩形的性质和旋转可得出，，，．利用勾股定理可求出，从而可求出，进而再次利用勾股定理可求出．由，即易证，得出，即可求出BE的长．
【详解】如图，连接DG．
由旋转和矩形性质可知，
∴在中，，
∴，
∴在中，．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．正确的作出辅助线构造相似三角形是解题关键．
2．A
【分析】由等腰直角三角形和同角的余角相等，易证，再由勾股定理即可判断（1）（2）正确，再用面积割补法即可整除（3）正确，再证得，即可判断（4）正确．
【详解】解： ， ，O是斜边AB的中点，
，，
，
，
，
，
，
在和 中
，
，
，AD=CE，
故（1）正确；
，
，
，
，
故（2）正确；
，
S四边形CDOE= ，
∴△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍，
故（3）正确．
，
，
，
，
，
，
故（4）正确；
四个答案都正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及相似三角形的判定与性质，掌握各项性质和判定以及面积的割补法是解题的关键．
3．B
【分析】证明△ACD∽△CBD，根据相似三角形的性质列出比例式，从而求出CD的长度．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴，
∴，
∵，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴，
∴；
故选：B
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是正确判定△ACD∽△CBD，得到，从而进行解题．
4．C
【分析】根据已知易证△AFE∽△DFC，从而求出对应边的比，然后设CD＝a，DF＝x，表示出EF与CF的长，再根据EF＝4CF，求出x＝a，最后进行计算即可解答．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
由折叠得：∠B＝∠E，AB＝AE，BD＝DE，
∴∠C＝∠E，
∵∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△DFC，
∵△DCF，△AEF的面积分别为1和16，
∴，
∵BD＝2CD，
∴设CD＝a，BD＝2a，
∴AE＝4CD＝4a，DE＝BD＝2a，
∴AB＝AC＝4a，
设DF＝x，
则AF＝4DF＝4x，
∴CF＝AC﹣AF＝4a﹣4x，EF＝DE﹣DF＝2a﹣x，
∵EF＝4CF，
∴2a﹣x＝4（4a﹣4x），
∴x＝a，
∴AF＝4x＝a，
EF＝2a﹣x＝a，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换， 解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
5．C
【分析】①由正方形证明OC=OD，∠ODF=∠OCE=45°，∠COM=∠DOF，可得结论；②由全等三角形得OE=OF，得∠OEG=∠FCG=45°，再利用对顶角相等，证得△OGE∽△FGC；③先证明S△COE=S△DOF，可得S四边形CEOF=S△OCD=S正方形ABCD；④证明△OEG∽△OCE，得OG OC=OE2，再证明BE2+DF2=EF2，由EF＞OE，可得结论；⑤由CH=OH，则点H在OC的垂直平分线上，可得点H的轨迹是PQ，通过证明△CPQ∽△CDB，可求PQ=2，即可得结论．
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，AC⊥BD，∠ODF=∠OCE=45°，
∵∠MON=90°，
∴∠COM=∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴OE=OF，
∵∠MON=90°，
∴∠OEG=45°=∠FCG，
∵∠OGE=∠FGC，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
③∵△COE≌△DOF，
∴S△COE=S△DOF，
∴S四边形CEOF=S△OCD=S正方形ABCD，故③正确；
④∵△COE≌△DOF，
∴OE=OF，
又∵∠EOF=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEG=45°=∠OCE，
∵∠EOG=∠COE，
∴△OEG∽△OCE，
∴OE：OC=OG：OE，
∴OG OC=OE2，
∵CE=DF，BC=CD，
∴BE=CF，
又∵Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，
∴BE2+DF2=EF2，
∵EF2＞OE2，
∴BE2+DF2＞OG OC，故④错误；
⑤如图，连接OH，CH，作OC的垂直平分线交BC于Q，交CD于点P，
∵△EOF是等腰直角三角形，点H是EF的中点，
∴OH=EF，
∵∠BCD=90°，点H是EF的中点，
∴CH=EF，
∴CH=OH，
∴点H在OC的垂直平分线上，
∴点H的轨迹是PQ，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD=4，
∵PQ⊥AC，BD⊥AC，
∴PQ∥BD，
∴△CPQ∽△CDB，
∴，
∴PQ=BD=2，
∴H点经过的路程为2，故⑤错误，
故选：C．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的综合运用．灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
6．D
【分析】根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理进行证明即可得出答案．
【详解】在中，，，在，，，
，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，故图中和相等的角有2个（不含），①正确；
，
，
，
，故若不添加线段，图中共有5对相似三角形，②正确；
，即，故③正确；
连接CD，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上，说法正确的由①②③④；
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．B
【分析】过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，利用两角对应相等求证△ADG∽△FHE，即可求出的值．
【详解】解：过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示：
由折叠A与A'对应易知：∠AOE=90°，
∵∠EAO+∠AEO=90°，
∠EAO+∠AGD=90°，
∴∠AEO=∠AGD，即∠FEH=∠AGD，
又∵∠ADG=∠FHE=90°，
∴△ADG∽△FHE，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形性质以及相似三角形判定与性质，本题通过翻折变换推出∠AOE=90°进而利用角进行转化求出△ADG∽△FHE是解题的关键．
8．D
【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵将以点为中心逆时针旋转得到，
∴，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
平分，故②正确；
，
，
，
，
，
，
故③正确
故选D
【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．D
【分析】根据等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质定理进行推理即可．
【详解】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=∠CAB=60°，∠EDB=∠DBE=∠DEB=60°，
∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD，
∴∠CBD=∠ABE，
∴△BCD∽△BEO，
故①正确；
∵∠AOD=∠BOE，∠DAB=∠DEB=60°，
∴△AOD∽△EOB，
故②正确；
∵△AOD∽△EOB，
∴，
∵∠AOE=∠DOB，
∴△AOE∽△DOB，
故③正确；
∵∠DBA=∠DBO，∠DAB=∠ODB=60°，
∴△BOD∽△BDA，
故④正确，
所以，相似三角形成立的有4对．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
10．D
【分析】根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂心的意义，垂线段最短计算判断即可．
【详解】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°
∴∠BOC＝120°，即∠BOE＋∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE＋∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，且BO＝CO，∠OBD＝∠OCE，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，
所以①正确；
∴BD＋BE＝CE＋BE＝BC＝2，
所以②正确；
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE的面积＝＝，
所以③正确；
作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，
∴DE＝OE，
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD＋BE＋DE＝CE＋BE＋DE＝BC＋DE＝2＋DE＝2＋OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，
∴△BDE周长的最小值＝2＋1＝3，
∴④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂心的意义，垂线段最短，熟练掌握等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．
11．
【分析】先计算出BD，AD＝2，BC＝3，∠B＝∠BAC＝45°，再根据旋转的性质得到∠DCE＝90°，CD＝CE，则可判断△CDE为等腰直角三角形，所以∠EDC＝45°，然后证明△ADF∽△BCD，则利用相似比可计算出AF．
【详解】解：∵AB＝3，AD＝2BD，
∴BD，AD＝2，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴BCAB＝3，∠B＝∠BAC＝45°，
∵CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴△CDE为等腰直角三角形，∠EDC＝45°，
∵∠ADC＝∠B+∠BCD，
即∠ADF+∠EDC＝∠B+∠BCD，
∴∠ADF＝∠BCD，
而∠DAF＝∠B，
∴△ADF∽△BCD，
∴，即，
∴AF．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．
12．①②④
【分析】利用直角三角形的判定直接进行判断即可．
【详解】解：①∵三角形内角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．故选项①正确．
②AB，AC，BC分别为△ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，②正确．
③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明△ACB与△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③错误；
④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，
∴，
又∵CD2=AD BD，（即 ），
∴△ACD∽△CBD，
∴∠ACD=∠B，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°，
△ABC是直角三角形，
∴故选项④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质的知识，解题的关键是了两锐角互余的三角形是直角三角形、勾股定理逆定理、相似三角形的判定和性质，难度不大．
13．##
【分析】在BE上截取BG=CF，连接OG，证明△OBG≌△OCF，则OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在Rt△BCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得OF的长．
【详解】：如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，
∵Rt△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG与△OCF中
∴△OBG≌△OCF（SAS）
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在Rt△BCE中，BC=DC=2，DE=2EC，
∴EC=，
∴，
∵∠BFC=∠BCE，∠FBC=∠CBE，
∴△BFC∽△BCE，
∴
∴BC2=BF BE，
则，解得：BF=，
∴EF=BE-BF=，
∵∠BFC=∠EFC，∠FBC=∠FCE，
∴△BFC∽△CFE，
∴
∴CF2=BF EF=，
∴CF=，
∴GF=BF-BG=BF-CF=，
在等腰直角△OGF中
OF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及相似三角形的性质及判定、勾股定理的应用．
14．
【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴，
，
∴，即，
解得，CD＝，
故答案为：
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．
【分析】（1）过点A作于点G，由旋转的性质知，设，则，，，由，可得，可求结论；
（2）过A点作交于点M，由可解．
【详解】（1）如图，过点A作于点G．
设，则．
由旋转的性质知，
∴．
在中，．
∵，∠B=∠B
∴．
∴，即，
得．
∵，
∴．
∴，
故答案为：
（2）如图，过A点作交于点M．
由（1）知．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
即，
解得，
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
16．∠B=∠D 或∠C=∠AED或 =（答其中一个即可）
【分析】要使△ABC∽△ADE，在这两三角形中，由∠1=∠2可知∠BAC=∠DAE，还需的条件可以是∠B=∠D或∠C=∠AED或 =
【详解】解：这个条件为：∠B=∠D
∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE
（或∠C=∠AED或 =也可）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
17．∠B=∠E（答案不唯一）．
【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得添加条件：∠B=∠E．
【详解】添加条件：∠B=∠E；
∵，∠B=∠E，
∴△ABC∽△AED，
故答案为：∠B=∠E（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理．
18．
【分析】根据勾股定理可求出CD的长，由∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°可证明∠A=∠BCD，即可证明△BCD∽△ACD，根据相似三角形的性质求出AD即可.
【详解】∵，．
∴CD= =，
∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠BDC=∠CDA=90°，
∴△BCD∽△ACD，
∴AD：CD=CD：BD，
∴AD==5.
故答案为5.
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
19．10
【分析】延长EO交AB于G，根据ASA可证△DOE≌△BOG，可得BG=DE，则d=，即为FG的长；过O点作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OIF，设BG=x，用x表示出BF，再根据函数的最值即可求解．
【详解】解：延长EO交AB于G，连接GF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠OBG=∠ODE，
在△DOE与△BOG中，
，
∴△DOE≌△BOG（ASA），
∴BG=DE，
∴d==FG，
过O点作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，
∴四边形HBIO是矩形，
∴∠OHG=∠OIB=∠HOI=90°，
∴∠OIF=90°=∠OHG，
∵∠EOF=90°，
∴∠GOF=180°-90°=90°，
∴∠HOG=∠IOF，
∴△OHG∽△OIF，
∴，
∵O为AC的中点，HO∥BC，
∴HO=BC，
同理IO=AB，
∵AB=12，BC=16，
∴，
设BG=x，则HG=6-x，
IF=，
BF=，
d=，
∵0≤x≤6，
∴当x=6时，d最小为10，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是设BG=x，用x表示出BF．
20．②③##③②
【分析】先证明 再证明若 可得平分 与题干信息不符，可判断①不符合题意；再证明 可得 而 可判断②符合题意；如图，连接EH，求解 设 再建立方程组 可判断③符合题意；证明 可得 若，则 与题干信息不符，可判断④不符合题意；从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，
∴
∴
∵
∴
若
∴
∴平分 与题干信息不符，故①不符合题意；
∵
∴
∴
∴ 而
∴，故②符合题意；
如图，连接EH，
由
∴
∵
∴
设
解得： 即BD=3，故③符合题意；
∵
若，则 与题干信息不符，故④不符合题意；
故答案为：②③
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解本题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．
（2）根据（1）中，得出，再根据对顶角相等，，证得，得出，即可求解．
【详解】（1）∵
∴，
∴，
，
∵在和中，
，
∴．
（2）∵，
∴，
又∵，对顶角相等，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22．(1)见详解
(2)67.5°
【分析】（1）根据∠DAB＝∠EAC，得∠DAE＝∠BAC，从而证明结论；
（2）根据平行线的性质得∠AED＝∠EAC，利用△ABC∽△ADE，得∠AED＝∠C，从而有∠EAC＝∠C，再利用三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）证明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠AED＝∠EAC，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠C，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠AEC＝45°，
∴∠C＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴∠C的度数为67.5°．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，证明∠EAC＝∠C是解题的关键．
23．(1)25cm
(2)
【分析】（1）先证，利用相似三角形周长比等于相似比得，设△ABC的周长为5kcm，△BED的周长为3kcm．再根据两三我周长差为10cm，列方程求解得出k值，即可求解；
（2）根据，得，设，，再根据两三角形面积之和为170，列方程求解得出p值，即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
设△ABC的周长为5kcm，△BED的周长为3kcm．
∴，解得，
∴△ABC的周长为．
（2）解：由（1）知：，
∴，
设，，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)成立，证明见解析
【分析】（1）由直角三角形的性质证出∠CDN=∠ADM，∠MAD=∠ACD，由相似三角形的判定可得出结论；
（2）证明△AEM∽△ADN，由相似三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）解：证明：∵AD为Rt△ABC中BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADN+∠CDN=90°，
∵∠ADN+∠ADM=90°，
∴∠CDN=∠ADM，
又∵∠BAC=90°，
∴∠MAD+∠DAC=90°，
∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠MAD=∠ACD，
∴△AMD∽△CND；
（2）解：成立．
证明：∵EF∥BC，
∴∠EAD=∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAM=∠DAN，
∵△EDF为等腰直角三角形，
∴∠E=45°，
∴∠ADE=∠ADF=45°，
∴△AEM∽△ADN，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，证明△AEM∽△ADN是解题的关键．
25．(1)BD=CE，证明见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）由∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，得到∠BAC=∠DAE=45°，，进一步证得△ABD∽△ACE，得到，得到答案；
（2）当点D落在线段AC上时，如图3，先求得AD=AE=2，得到CD＝1，BD＝，再证明△BAD∽△CAE，进一步证得△ABD∽△FCD，，由勾股定理求得AB＝，即可求得CF=．
【详解】（1）BD＝CE．
证明：∵∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，
∴∠BAC=∠DAE=45°，．
∴∠BAD=∠CAE．
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴BD＝CE．
（2）解：当点D落在线段AC上时，如图3，
则AD=AE=2，
∴CD=AC－AD=3-2=1，
∴BD=，
∵∠BAD=∠CAE=45°，，
∴△BAD∽△CAE.
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BDA＝∠CDF，
∴△ABD∽△FCD，
∴，
∵AB=，
∴，
∴CF=.
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)16
(3)
【分析】（1）利用SAS证明△ADF≌△CDE，则∠ADF＝∠CDE，得∠FDE＝∠ADC＝90°；
（2）由∠BGE＝2∠BFE，∠BGE＝∠BFE+∠GEF，得∠GFE＝∠GEF，则GF＝GE，可求出AB＝4，从而得出答案；
（3）过点H作HP⊥HC交CB的延长线于点P，证明，进而得出∠HCD=∠HPE=45°，过点H作MN//AD，交AB于M，CD于N，则是等腰直角三角形，即可得出HN＝CN＝3，MH＝1，得HD，再根据MH//AD，得，则GD，从而解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE＝90°，
∵CE＝AF，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠ADF＝∠CDE，
∴∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴DE⊥DF；
（2）解：∵∠BGE＝2∠BFE，∠BGE＝∠BFE+∠GEF，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴GF＝GE，
∴BE+BG+EG＝BE+AB+CE＝2AB＝8，
∴AB＝4，
∴S正方形ABCD＝4×4＝16，
∵△ADF≌△CDE，
∴S△ADF＝S△CDE，
∴四边形DEBF的面积＝S正方形ABCD＝16；
（3）解：过点H作HP⊥HC交CB的延长线于点P，
∵DE⊥DF，DF＝DE，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵GE＝GF，DF＝DE，
∴DG垂直平分EF，
∴∠DHE＝∠DCE＝90°，
∴∠DHE-∠EHC=∠PHC-∠EHC，
即∠DHC=∠EHP，
∵在四边形DHEC中，
∠HDC+∠HEC=180°，∠HEC+∠HEP=180°,
∴∠HEP=∠HDC，
∴，∠HCD=∠HPE，
是等腰直角三角形，
∠HCD=∠HPE=45°，
过点H作MN//AD，交AB于M，CD于N，则是等腰直角三角形，
∵CH＝3，
∴HN＝CN＝3，MH＝1，
∴HD，
∵MH//AD，
∴△GHM∽△GDF，
∴，
∴GD，
∴AG．
∴AG的长为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
答案第1页，共2页
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