专题27.44《相似》全章复习与巩固 基础篇 专项练习（含解析）2023-2024学年九年级数学下册人教版专项讲练

专题27.44《相似》全章复习与巩固（基础篇）
一、单选题
1．在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（　　）
A．50cm B．500cm C． D．
2．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝6，BD＝2，若△ADE的面积是27，则△ABC的面积是（　　）
A．24 B．36 C．48 D．52
3．已知，点P是线段的黄金分割点（），若线段，则线段的长是（　　）
A．cm B．（）cm C．（）cm D．（）cm
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列结论不正确的是 （ ）
A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正五边形都相似
6．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，E是BC的中点，ADBC，AEDC，EF⊥CD于点F．下列结论错误的是（ ）
A．四边形AECD的周长是20 B．△ABC∽△FEC
C．∠B＋∠ACD＝90° D．EF的长为
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心画△OA′B′，使它与△OAB的相似比为1：4，则点A的对应点的坐标是（　　）
A．（，1） B．（，﹣1）
C．（，1）或（，﹣1） D．（8，16）或（﹣8，﹣16）
8．如图，斜边和矩形ABCD边AD重合，AG、DG分别交BC于E、F，，，，则AB的长为（ ）
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.4
9．数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度（如图），点为沙坑底面所在圆的圆心，为其顶点，甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，当他位于时，其视线恰好经过沙坑坑沿圆周上一点看到坑底（甲同学的视线起点与点，点三点共线），为了求得圆锥形坑的深度（圆锥的高），该同学列出了如下表达式，其中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．8cm
二、填空题
11．若，则的值为 ．
12．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF= ．
13．如图，已知点F在上，且，点D是延长线上一点，，连接与交于点N，则 ．
14．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加条件 ，能确定△ABC和△ADE相似．
15．如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接与交于点，则的值是 ．
16．如图，是等边三角形的边上一点，且：：，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点、分别在和上，且：的值为 ．
17．如图，BD是△ABC的中线，点E在线段BC上，连接AE交BD于点F，点G为AE中点，连接DG，若，则 ．
18．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°），则BD长 cm．
三、解答题
19．如图，在等边△ABC中，点E在边AB上，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接CE，以点E为顶点、CE为腰作等腰△ECD，使其底边CD落在射线CB上．
求证：△DEB≌△ECF．
20．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1；
(2)以点M为位似中心，在网格中作出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使其位似比为2：1；
(3)点A2的坐标______；△ABC与△A2B2C2的周长比是______．
21．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
22．如图，在中，于点E，点F在的延长线上，且，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求的值
23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）直线BD和CE的位置关系是　 　；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）设直线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，直接写出PB的长．
24．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．
（1）求证：AB=GD；
（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据成比例线段的性质求解即可．
【详解】解：∵1：50=10:500，
∴长度为10cm的线段实际长为500cm，
故选B．
【点睛】本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．
2．C
【分析】先根据DE∥BC证明△ADE∽△ABC，则，其中AD＝6，AB＝6+2＝8，S△ADE＝27，通过适当变形求出S△ABC的值即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD＝6，BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝6+2＝8，
∴，
∵S△ADE＝27，
∴S△ABCS△ADE27＝48，
∴△ABC的面积是48，
故选：C．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”列出等式再求出△ABC的面积是解题的关键．
3．B
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，则，代入数据即可得出的长度．
【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段，
则．
故选：B
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．熟记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的是解题的关键．
4．C
【分析】要使△ACD∽△CBD，则∠ADC=∠CDB，即可推出∠ADC=∠CDB=90°，则CD是AB边的垂线即可，由此求解即可．
【详解】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．
5．B
【分析】利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．
【详解】解：、所有的正方形都相似，故A正确，不合题意；
、菱形的内角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，故B不正确；符合题意；
、所有的等腰直角三角形都相似，故C正确，不合题意；
、所有的正五边形边都相似，故D正确，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似，比较简单．
6．B
【分析】根据平行四边形和菱形的判定即可证明A选项；根据菱形的性质和三角形的面积公式即可证明C选项和D选项；根据△ABC与△FEC的三边长的比即可证明B选项．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC10，
∵ADBC，AEDC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝CEBC＝5，
∴四边形AECD是菱形，
∴菱形AECD的周长是20，
故A选项正确，不符合题意；
∵四边形AECD是菱形，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵∠B＋∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠ACD＝90°，
故C选项正确，不符合题意；
如图，过A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABCBC AHAB AC，
∴AH，
∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE＝5，
∵S AECD＝CE AH＝CD EF，
∴EF＝AH．
故D选项正确，不符合题意；
在Rt△EFC中，EF，EC＝5，
∴FC，
在Rt△CAB中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∵，，，
∴△ABC与△FEC不相似，故B选项错误，符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、菱形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
7．C
【分析】根据位似变换的性质解答即可得．
【详解】解：∵以原点O为位似中心画△OA′B′，使它与△OAB的相似比为1：4，点A（2，4），
∴点A的对应点的坐标为（2，4）或（2×（），4×（）），即（，1）或（，﹣1），
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的概念和性质，解题的关键是掌握这些知识点．
8．B
【分析】根据矩形的性质得到∠B=90°，证明△ABE∽△DGA即可求出AB的长．
【详解】解：∵矩形ABCD
∴，∠B=90°
∴∠DAG=∠AEB，∠B=∠G=90°
∴△ABE∽△DGA
∴
∴
∴
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形相似的判定与性质，解题的关键是找出三角形相似．
9．D
【分析】根据已知条件先证明，根据相似三角形的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵点O为沙坑底面所在圆的圆心，S为其顶点，
∴，
∵甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，
∴，
∴，
∵视线起点C与点A，点S三点共线，
∴，
∴，
∴，
即，，，故ABC正确，不符合题意；
无法判断，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据题目中的已知条件得出，是解题的关键．
10．C
【分析】首先证明△BOF≌△DOE，得出OE＝OF，再证明△BOF∽△BAD，得出，然后再根据勾股定理，得出BD的长，进而得出BO的长，再结合相似比，算出FO的长，即可得出EF的长，从而得出选项．
【详解】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，
∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴OE＝OF，
∵∠OBF＝∠ABD，
∴△BOF∽△BAD，
∴＝，
∵BD＝＝10cm，
∴BO＝5cm，
∴FO＝5×＝cm，
∴EF＝2FO＝cm．
故选：C
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，根据勾股定理求BD的长是解本题的关键．
11．
【分析】由，设，然后再代入求解即可；
【详解】解：∵，设，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查比例的性质，设是解题关键．
12．．
【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，
∵AC：CE=3：5，
∴AC：AE=3：8，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴BD=，
∴DF=，
考点：平行线分线段成比例．
13．##
【分析】过点F作，交AC于点E，求出，得出，根据已知推出，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可．
【详解】解：过点F作，交AC于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但也是比较容易出错的题目，解题关键求出线段之间的关系．
14．(答案不唯一)
【分析】根据相似三角形的判定方法结合已知添加条件即可．
【详解】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴，
即，
又∵，
∴
故答案为：(答案不唯一)
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法才能灵活根据题意添加适当的条件．
15．##0.5
【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质得出，结合题意即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，AB=CD
∴ ABF~ CEF，
∴，
∵DE=DC，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
16．
【分析】设AD＝k，则DB＝2k，得到AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，进而证明△AED∽△BDF，得到△AED与△BDF的相似比为4：5，即可求出CE：CF＝DE：DF＝4：5，问题得解．
【详解】解：设AD＝k，则DB＝2k，
∵△ABC为等边三角形，△CEF折叠得到△DEF，
∴AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠EDA+∠FDB＝120°，∠EDA+∠AED＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∴△AED∽△BDF，
由△CEF折叠得到△DEF，得
CE＝DE，CF＝DF，
∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，
∴△AED与△BDF的相似比为4：5，
∴CE：CF＝DE：DF＝4：5．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似的性质与判定、等边三角形的性质、翻折变换的性质及其应用等知识，熟知等边三角形、翻折变换的性质，借助相似三角形的判定与性质（用含有k的代数式表示）将两条线段的比转化为相似比是解题的关键．
17．##0.4
【分析】由三角形中位线可知DG∥BC，，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵BD是△ABC的中线，点G为AE中点，
∴DG∥BC，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
18．2
【分析】已知△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．
【详解】解：将△ABC作旋转相似变换A（，90°），则cm，∠BAD=90°，
由勾股定理得：BD＝＝2（cm）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的性质及勾股定理，理解题目中的旋转相似是解题的关键．
19．详见解析.
【分析】根据全等三角形的判定证明即可．
【详解】证明：∵EF∥BC，AB=AC=BC，
∴，∠FEC=∠ECD
即得：AE=AF=EF，
∴△AEF是等边三角形
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEC
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，
∴△DEB≌△ECF（AAS）．
【点睛】此题考查全等三角形的判定，关键是根据AAS证明△DEB≌△ECF．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可；
（2）延长M A1到A2使MA2=2MA1，延长MB1到B2使MB2=2MB1，延长MC1到C2使MC2=2MC1，则可得到△A2B2C2，
（3）根据（2）可写出点A2的坐标；然后根据位似的性质可得△ABC与△A2B2C2的周长比
【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所作；
（2）如图，△A2B2C2即为所作；
（3）由（2）得，点的坐标，
由作图得，
∵与周长比为1:2
∴△ABC与△A2B2C2的周长比是1:2
故答案为：，1:2
【点睛】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换．
21．证明见解析
【分析】由四边形是正方形可知，，由，可得，由是的中点，可得，可得，进而结论得证．
【详解】证明：∵四边形是正方形
∴，
∵
∴
∵是的中点
∴
∵，
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定．解题的关键在于找出相似所需的条件．
22．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）利用对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，再通过进行证明即可．
（2）证明后得出面积比即可．
【详解】（1）证明：，
．
即．
在中，且，
且．
四边形是平行四边形．
，
．
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
，．
．
．
．
．
．
．
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及矩形的判定，能够熟练判定矩形并利用矩形的性得到角度的关系来证明三角形相似是解题关键．
23．（1）BD⊥CE；（2）BD＝CE，证明见解析；（3）或．
【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到AB＝AC，AD＝AE，依据同角的余角相等得到∠DAB＝∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）分为点E在AB上和点E在BA的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△BPE∽△BAD，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．
【详解】解：（1）BD⊥CE，
理由：延长CE交BD于P，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∵∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝∠ABP+∠ABC+∠PCB＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD⊥CE；
（2）BD和CE的数量是：BD＝CE；
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE；
（3）①当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝1．
∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∵∠AEC＝∠BEP，
∴∠BPE＝∠EAC＝90°，
∵∠PBE＝∠ABD，
∴△BPE∽△BAD，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝．
②当点E在BA延长线上时，BE＝3，
∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝，
由△BPE∽△BAD，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝，
综上所述，PB的长为或．
【点睛】本题通过旋转图形的引入，综合考查了三角形全等、三角形相似、直角三角形性质知识点.
24．（1）见解析；（2）CE=.
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥AB，AB=2DE，根据平行线的性质得到∠ABF=∠DGF，证明△ABF≌△DGF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）证明△GEC∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵D，E是AC，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB=2DE，
∴∠ABF=∠DGF，
∵F为AD中点，
∴AF=DF，
在△ABF和△DGF中，
∴△ABF≌△DGF（AAS），
∴AB=GD；
（2）∵AB=2，
∴CD=2，DE=1，
∴GE=3，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵CG=EG，
∴∠GEC=∠GCE，
∵DE∥AB，
∴∠GEC=∠CBA，
∴△GEC∽△CBA，
设CE=x，
则BC=2x，
∴，即，
解得：，（负值舍去）
∴CE=.
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似三角形的性质定理是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页