专题28.6锐角三角函数值与锐角关系 知识讲解（含解析）2023-2024学年九年级数学下册人教版专项讲练

专题28.6锐角三角函数值与锐角关系（知识讲解）
【学习目标】
会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．
【要点梳理】
锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）互余关系：，；
（2）平方关系：；
（3）倒数关系：或；
（4）商数关系：．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【典型例题】
类型一、求证同角三角函数关系式
1．①sin2A+cos2A= ，②tanA cotA= ．
举一反三：
【变式1】
2．下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号）
①；②；③当时，；④．
【变式2】
3．已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ．
类型二、利用同角三角函数关系求值
4．已知，求的值．
举一反三：
【变式1】
5．计算：
（1）； （2）．
【变式2】
6．求证：若为锐角，则．要求：
(1)如图，锐角和线段，用尺规作出一个以线段为直角边，为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)根据（1）中所画图形证明该命题．
类型三、互余两角的三角函数的关系
7．如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）如果sinA＝，求的值．
举一反三：
【变式1】
8．在中，，与有什么关系？
【变式2】
9．已知△ABC中，∠A＝90°，sinB和cosC是方程9x2－mx＋1＝0的两个根，m= ．
类型四、三角函数综合
10．如图，在中，．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的周长为，先化简，再求的值．
举一反三：
【变式1】
11．如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求AC和AB的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin34°≈0.56；cos34°≈0.83；tan34°≈0.67）
【变式2】
12．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：（sin67°≈；cos67°≈；tan67°≈；≈1.73）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 1 1
【详解】如图，设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为，
则sinA= ，cosA=，tanA=，cotA=，，
∴（1）sin2A+cos2A=；
（2）tanA cotA=.
点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.
2．①③④
【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：①如图，在中，
∵，，
∴，故①正确；
②若，则，
，
∴
∴，故②错误；
③当时，，
∴越大，对边越大，且越接近斜边，
∴越大，
∴当时，，故③正确；
④∵，，，
∴，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
3．
【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．
【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，
规律为：.
故答案为.
【点睛】本题考点：同角三角函数的关系.
4．
【分析】首先根据同角的三角函数关系进行变形，得到，然后对原式进行替换求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查同角的三角函数关系，锐角三角函数的混合运算，理解基本定义，熟练运用整体代入思想是解题关键．
5．（1）；（2）2.
【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；
(2)根据直角三角形中tanA=，sin2A+cos2A=1，sinA=cosB计算.
【详解】原式；
原式
.
故答案为（1）；（2）2.
【点睛】本题考查了三角函数值的计算.
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求；
（2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：，
，
，，
．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键．
7．（1）见解析；（2）
【分析】（1）先求证，得到，再根据，即可求证；
（2）根据三角函数的定义以及关系，求得的值，即可求解．
【详解】解：（1）∵BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高
∴
又∵
∴
∴，即
又∵
∴
（2）在，，
由锐角三角函数关系可得：，即
由（1）得，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键．
8．
【分析】利用锐角三角函数关系得出，，进而求出即可．
【详解】解：在中，，
∴，，
∴，
答：．
【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，解题的关键是正确记忆一个角的正弦等于它余角的余弦．
9．
【分析】根据中，，可得，即有,则方程有两个相等的实数根，是一个完全平方式，据此求解即可．
【详解】解：中，，
∴
∴,
则方程有两个相等的实数根，
∴是一个完全平方式，
∴
∴，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的性质，完全平方公式的应用，一元二次方程的性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
10．（1）作图见解析；（2）.
【分析】（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；
（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度．
【详解】解：（1）如图所示：
（2），
∵，
∴，
∴，
∴
．
11．AC= 6.0km，AB= 1.7km；
【分析】在Rt△AOC, 由∠的正切值和OC的长求出OA, 在Rt△BOC, 由∠BCO的大小和OC的长求出OA,而AB=OB-0A,即可得到答案．
【详解】由题意可得：∠AOC=90°，OC=5km．
在Rt△AOC中，
∵AC=，
∴AC=≈6.0km，
∵tan34°=，
∴OA=OC tan34°=5×0.67=3.35km，
在Rt△BOC中，∠BCO=45°，
∴OB=OC=5km，
∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km．
答：AC的长为6.0km，AB的长为1.7km．
【点睛】本题主要考查三角函数的知识．
12．地到地之间高铁线路的长约为．
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．
【详解】解：如解图，过点作于点，
∵地位于地北偏东方向，距离地，
∴，
∴，
．
∵地位于地南偏东方向，
∴，
∴，
∴．
答：地到地之间高铁线路的长约为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页