专题28.7锐角三角函数值与锐角关系 专项练习（含解析）2023-2024学年九年级数学下册人教版专项讲练

专题28.7 锐角三角函数值与锐角关系（专项练习）
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB的值是(　　)
A． B． C． D．
2．已知：，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．以上结论都不对
3．在，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则tanA·tanB等于(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．不确定
5．如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．则sinA的值为（ ）

A． B． C． D．
6．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（ ）
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB的值为(　　)
A． B． C． D．
8．在中，，，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC=1，tan∠BOC=，则k2的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
10．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
二、填空题
11．已知为锐角，且，则 ．
12．已知：∠A+∠B＝90°，若sinA=，则cosB＝ .
13．如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是 ．
14．已知：tanx=2，则＝ .
15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D.给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有 .
16．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是 ．
17．如图，在中．，点是边上一动点．连接，将沿折叠，点落在处，当点在内部（不含边界）时，长度的取值范围是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为 ．
三、解答题
19．求值：
(1)；
已知，求的值．
20．（1）已知3tanα﹣2cos30°=0，求锐角α；
（2）已知2sinα﹣3tan30°=0，求锐角α．
21．如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的长．
22．如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）如果sinA＝，求的值．
23．如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
24．如图所示，已知正方形的顶点为正方形对角线的交点，连接．
（1）求证：；
（2）若，正方形的边长为2，线段与线段相交于点，，求正方形的边长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
【详解】利用三角函数的定义及勾股定理求解．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinA＝＝，tanB＝，a2＋b2＝c2．
∵sinA＝，设a＝3x，则c＝5x，结合a2＋b2＝c2得b＝4x．
∴tanB＝＝＝．
故选C．
【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键．
2．A
【详解】∵sin2α+cos2α=1，α是锐角，
∴α=32°．
故选A．
3．B
【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答．
【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90，
∴∠A+∠B=90，
∴sin2A+sin2B=1，sinA>0，
∵sinB=，
∴sinA==.
故选B.
【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系.
4．B
【分析】根据正切函数的定义，利用△ABC的边表示出两个三角函数，即可求解．
【详解】解：
故选B．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5．A
【分析】根据勾股定理逆定理推出∠C=90°，再根据进行计算即可；
【详解】解：∵AB=25，BC=7，CA=24，
又∵，
∴，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴=；
故选A.
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理是解题的关键.
6．D
【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．
【详解】解：如下图所示
在Rt中，=，故A不符合题意；
在Rt中，=，故B不符合题意；
∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°
∴∠A=∠BCD
∴=tan∠BCD=，故C不符合题意；
≠，故D符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．
7．D
【分析】根据互为余角的两个角的三角形函数之间的关系求解．
【详解】因为∠A＋∠B＝90°，
所以sinB＝cosA，
所以sinB＝．
故选D
【点睛】本题考查了互为余角的三角函数间的关系，如果∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，sinB＝cosA
8．A
【分析】根据∠A+∠B=90°得出cosB=sinA，代入即可．
【详解】∵∠C=90°，sinA=．
又∵∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=．
故选A．
【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，注意：已知∠A+∠B=90°，能推出sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB．
9．D
【详解】试题分析：先求得直线y=k1x+2与y轴交点C的坐标为（0，2），然后根据△BOC的面积求得BD的长为1，然后利用∠BOC的正切求得OD的长为3,，从而求得点B的坐标为（1，3），代入y=求得k2=3．故答案选D.
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
10．C
【分析】由题意易得，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴，则，
∵OF∥BE，
∴△DGF∽△DCE，
∴，
∴，故①正确；
∴点G是CD的中点，
∴OG⊥CD，
∵∠ODC=45°，
∴△DOC是等腰直角三角形，
∴，故②正确；
∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，故④错误；
过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，如图所示：
∵点F是CD的中点，
∴CF=DF，
∴∠CDE=∠DCF，
∴，
设，则，
在Rt△DHC中，，
解得：，
∴，故⑤正确；
∴正确的结论是①②③⑤；
故选C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
11．
【分析】根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值．
【详解】∵，，
∴，
又∵为锐角，
∴.
故答案为：.
【点睛】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
12．
【分析】根据∠A+∠B＝90°，判定三角形ABC为直角三角形，则根据互余两角的三角函数的关系求解即可.
【详解】由∠A+∠B＝90°，sinA＝，得：cosB＝sinA＝，
故答案为．
【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系的应用，注意：在△ACB中，∠A+∠B＝90°，则∠C=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB．
13．
【分析】根据的坐标求得的长度,， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得的长度，即点的横坐标，易得轴，则的纵坐标即的纵坐标．
【详解】的坐标分别是
轴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．
14．
【详解】试题解析：分子分母同时除以cosx，原分式可化为：，
当tanx=2时，原式=．
故答案为．
15．①②③④
【分析】根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【详解】∵∠A=90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠α=∠B，∠β=∠C，
∴sinα=sinB，故①正确；
sinβ=sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB=，cosC=，
∴sinB=cosC，故③正确；
∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，
∴sinα=cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
16．
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小
∵菱形中，
∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°
∴在直角△PBH中，∠PBH=30°
∴PH=
∴此时得到最小值，
∵AC=10，AM=3,
∴MC=7
又∠MPC=60°
∴MH=MCsin60°=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
17．
【分析】分别求出当落在AC和BC上时的长度即可.
【详解】∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，
∴，
当点落在AC上时，如图，
∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，
∴∠ADB==90°，
∵，
∴，
当点落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，
∴∠ABD=∠DBC=45°，
∵DH⊥AB，
∴∠HDB=∠HBD=45°，
∴BH=DH，
∵，
∴HD=2AH=BH，
∵AB=AH+BH=2AH+AH=2，
∴，，
∴，
∴当点在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围为．
【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况．还可以利用相似来解题．
18．
【分析】利用的正切可以求出C点坐标，再利用C、M在上，设M的坐标，最后通过可以求出M点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，
由题意可知，
则，C在上，
设
即 解得（不符合题意，舍去）
所以
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C点的坐标是解决问题的关键．
19．（1）0；（2）.
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．
（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．
【详解】（1）原式（）2﹣11=0；
（2）∵tanA=2，∴=2，∴sinA=2cosA，∴原式===．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
20．（1）α=30°；（2）α=60°．
【分析】（1）先求出tanα的值，然后求出角的度数；
（2）先求出sinα的值，然后求出角的度数．
【详解】解：（1）解得：tanα=，
则α=30°；
（2）解得：sinα=，
则α=60°．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由菱形的判定定理即可得到结论；
（2）先求出 ，由勾股定理得出BD的长度，解直角三角形求出AF的长度，再由菱形的性质即可求解．
【详解】（1） BA=BC，BD平分∠ABC
DE=DF
四边形AECF是菱形；
（2），BA⊥AF
，BA=BC
AD=4
在 中，
四边形AECF是菱形
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）先求证，得到，再根据，即可求证；
（2）根据三角函数的定义以及关系，求得的值，即可求解．
【详解】解：（1）∵BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高
∴
又∵
∴
∴，即
又∵
∴
（2）在，，
由锐角三角函数关系可得：，即
由（1）得，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键．
23．（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
【详解】解：（1）∵点P纵坐标为4，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
设，则，
当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得：，（舍去），
当时，，
∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：，，均舍去．
综上，M点的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
24．(1)见解析;(2).
【分析】（1）由正方形与正方形，对角线，可得，
，即可证得，因，则可利用“边角边”即可证两三角形全等
（2）方法一：过点作交于点，由于，由可得长，从而求得，即可求得，再通过，易证得，则有，求得即为正方形的边长;
方法二：因为DG⊥BD，利用同旁内角互补证DG∥OA，进而得△DMG∽△AMO。由DM和AM的长得相似比，再由OA的长求DG.最后在△ODG中根据勾股定理求OG.
【详解】解：（1）∵正方形与正方形，对角线，
∴，，,,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴.
（2）方法一：如图，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得:
，
∵，
∴，
∴，
∴，得，
则正方形的边长为.
方法二：
∵，
∴，
∴
∵DG⊥BD，
∴，
又∵,
∴,
∴DG∥OA，
∴,
又∵,
∴，
∴，
∴GD=，
∴在中，由勾股定理得:
∴，
∴正方形的边长为.
【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，比例的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，解决问题的关键是正确的运用相似三角形的性质和判定．
答案第1页，共2页
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