专题28.9解直角三角形 基础篇 专项练习（含解析）2023-2024学年九年级数学下册人教版专项讲练

专题28.9 解直角三角形（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，有一斜坡的长米，坡角，则斜坡的铅垂高度为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（ ）
A． B．24
C． D．
4．如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（ ）
A．km B．km C．km D．km
6．已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角为（ ）
A．120°和60° B．45°和135° C．30°和150° D．90°
7．如图，在四边形纸片中，，，．将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为．若，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为
A． B．2 C． D．3
9．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为(　　)
A．( ,1) B．(1, ) C．( +1,1) D．(1,+1)
10．如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（ ）米（参考数据：，，）
A．43 B．45 C．47 D．49
二、填空题
11．一个小球由地面沿着坡度1：2的坡面向上前进了10米，此时小球距离地面的高度为 米．
12．如图，在△中，，,.则边的长为 .
13．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝ ．
14．如果等腰△ABC中，，，那么 ．
15．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= ．
16．如图， ，点P在OA上， PC=PD，若CO=5cm，OD=8cm ，则 OP的长是 ．
17．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值 .
18．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为 ；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 ．
三、解答题
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
20．如图，从高楼C点测得地面A，B两点的俯角分别为、，如果此时高楼C点的高度CD 为100米，点A，D，B在同一直线上，求AB两点的距离．（结果保留根号）
21．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证：；
（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
22．如图，在四边形中，，点在上，，垂足为．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，求和的长．
23．某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）.
24．如图，某拦河坝横截面原设计方案为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC=72°，为了提高拦河坝的安全性，现将坝顶宽度水平缩短10m，坝底宽度水平增加4m，使∠EFC=45°，请你计算这个拦河大坝的高度．（参考数据：sin72°≈，cos72°≈，tan72°）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据三角函数的定义，结合题意，即可得到答案．
【详解】结合题意，得：
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，从而完成求解．
2．A
【分析】先利用互余的性质证出∠ACD＝∠B，然后利用勾股定理求出BC的长，再求出∠B的余弦，即可得出答案.
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠A +∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A +∠B＝90°，
∴∠B＝∠ACD＝α，
在Rt△ABC中，
∵，
∴cos∠B＝
∴cosα＝.
故选A
【点睛】本题考查了求三角函数——余弦的值.在图形中找到α的等角是解题的关键.
3．D
【分析】画出图形，利用三角函数求出BC边上的高，再计算面积即可.
【详解】根据题意作△ABC如图所示，过A作AD⊥BC于D，
∵在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=6，
∴sin∠B=，
∴AD=，
∴S△ABC=
故选D.
【点睛】本题考查特殊角度的三角函数值的应用，熟记特殊角度的三角函数值是关键.
4．C
【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．
【详解】∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．
5．C
【分析】首先由题意可证△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°，即可求得答案．
【详解】解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点，
根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=3km，
在Rt△CBD中，
CD=BC×sin60°=3×=(km)，
故选择：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形，直角三角形以及特殊角的正弦值，应熟练运用图形的性质，熟记特殊角的正弦余弦正切值．
6．C
【分析】作梯形的另一高，得到一个矩形和一个直角三角形，根据矩形的对边相等得该高等于9，则直角三角形中，斜边是18，一条直角边是9，所以较长的腰与一底所成的角是30度．根据平行线的性质，得与另一底所成的角是150°．
【详解】作DE⊥BC，
∵AD∥BC，AB⊥BC
∴四边形ABED为平行四边形
∴AB=DE=9
∴sinC
∴∠C=30°
∴∠ADC=150°
∴较长的腰与底所成的角为30°或150°
故选C．
【点睛】考查了三角函数，解题关键是作直角梯形的另一高，组成了一个矩形和一个30°的直角三角形．
7．C
【分析】过点A作 于H，由折叠知识得： ，再由锐角三角函数可得，然后根据，可证得四边形AHFG是矩形，即可求解．
【详解】解：过点A作 于H，
由折叠知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，
，
，
在 中，，，
，
，
，
，
四边形AHFG是矩形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠变换，解直角三角形，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
8．C
【分析】由已知可知△ADC是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得AD=4，在Rt△ABD中，由∠B=60°，可得BD==，再由BE平分∠ABC，可得∠EBD=30°，从而可求得DE长，再根据AE=AD-DE即可
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AC=8，
∴AD=4，
在Rt△ABD中，∠B=60°，
∴BD===，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD=30°，
∴DE=BD tan30°==，
∴AE=AD-DE=，
故选C.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.
9．C
【分析】根据菱形的性质，作轴，先求点坐标，然后求得点的坐标．
【详解】解：作轴于点，
四边形是菱形，，
，
又
为等腰直角三角形，
，
，
则点的坐标为，
又，
的横坐标为，
的纵坐标为，
则点的坐标为，．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，锐角三角函数，解题的关键是掌握菱形的性质，综合性较强．
10．B
【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解.
【详解】作AH⊥EB于H，延长DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如图所示：
∵∠ACD=135°
∴∠ACN=45°
在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45°
∴AN=CN=18
在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2，
设
∴
解得或（不符合题意，舍去）
∴AH=45
∴HN=AH-AN=45-18=27
∵四边形DGHN是矩形
∴DG=HN=27
在Rt△DEG中，
∴
故选：B.
【点睛】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.
11．2
【分析】根据坡度比，用未知数设出坡面的铅直高度和水平宽度，再运用勾股定理列方程求解．
【详解】解：如图．
Rt△ABC中，tanA＝，AB＝10．
设BC＝x，则AC＝2x，
∴x2+（2x）2＝102，
解得x＝2（负值舍去）．
即此时小球距离地面的高度为2米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是对坡度坡角的掌握及勾股定理的运用能力．
12．
【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题
【详解】过A作AD⊥BC于D点，
∵，AC=2
∴CD=
在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=
又∵∠B=30°
∴AB=2AD=.
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题.
13．
【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．
【详解】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝＝＝10，
∴cos∠ADC＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长．
14．；
【分析】过点作于点，过点作于点，由于，所以，，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义可求出的长度．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
，
，，
AB=AC=3，
BE=EC=1，BC=2，
又∵，
∴BD=,
，
∵ ，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．
15．105°．
【分析】连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．
【详解】连接OQ，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠B=45°，
由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，
∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，
∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠OQC=45°，
∵BO：OA=1：，
设BO=1，OA=，
∴AQ=1，则tan∠AQO==，
∴∠AQO=60°，
∴∠AQC=105°．
故答案为105°．
16．13cm
【分析】过点P作PE⊥OB，利用等腰三角形三线合一的性质求得CE的长，从而就得OE，然后解直角三角形求解即可．
【详解】解：过点P作PE⊥OB
∵CO=5cm，OD=8cm ，
∴CD=OD-CO=3
又∵PC=PD，PE⊥OB
∴CE=
∴OE=OC+CE=
∴在Rt△POE中，
故答案为：13cm．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．
17．
【详解】如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB= ，
∴ ，
∴设AD=5x，则AB=3x，
∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴= ，
∴CE= ，DE=，
∴AE=，
∴tan∠CAD== ，
故答案为．
【点睛】本题考查三角形函数，相似等知识，解题的关键是恰当添加辅助线．
18．
【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解.
【详解】解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，
∴AE=EB=AB=3，
在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，
tan60°=，
∴EF=3；
当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，
由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，
∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，
过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形，
∴FM=DG，
在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，
∴DG=DCsin60°=3，
∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，
故答案为：3；6-3．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
19．sinA=，cosA=，tanA=．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】由勾股定理得，，
则，，．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长.
20．AB两点的距离是米．
【分析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠BCD与∠ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论．
【详解】解：从高楼C点测得地面A，B两点的俯角分别为，，
，，
，米，
是等腰直角三角形，
米，
在中，
米，，
，
米，
答：AB两点的距离是米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
21．（1）详见解析；（2）2．
【分析】（1）利用菱形的性质，由SAS证明即可；
（2）证是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AF＝AE，
在和中，
，
∴（SAS）；
（2）解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，
∴是等边三角形，
∵点E是边AD的中点，
∴BE⊥AD，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，
∴AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
22．（1）见详解；（2），
【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴AD∥CE，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，
∴，
∵，平分，，
∴，
∴EF=CE=AD，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．
23．建筑物的高度为.
【分析】过点作，根据坡度的定义求出AB，BD,AD，再利用三角函数的定义列出方程求解.
【详解】解：过点作，垂足为.过点作，垂足为.
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，.
∵，
∴，
∴设，，
∴，
∴，
∴，.
根据题意，，，
在中，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，.
又∵，
∴，解得，
∴.
答：建筑物的高度为.
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义.
24．拦河大坝的高度为24m．
【分析】过点A作AM⊥CF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，设拦河大坝的高度为xm，在Rt△ABM和Rt△EFN中分别求出BM和FN的长度，然后根据已知AE=10m，BF=4m，EN-AE=BF+BM，列方程求出x的值即可．
【详解】解：过点A作AM⊥CF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，
设拦河大坝的高度为xm，
在Rt△ABM和Rt△EFN中，
∵∠ABM=72°，∠EFC=45°，
∴BM===，FN=x，
∵AE=10m，BF=4m，FN-AE=BF+BM，
∴x-10=4+，
解得：x=24，
答：拦河大坝的高度为24m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，在直角三角形中利用三角函数求解，难度一般．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页