数学人教A版(2019)必修第一册3.2.2奇偶性（共46张ppt）

(共46张PPT)
3.2 函数的奇偶性
不仅生活中有对称美，函数图像也具有对称性。
今天让我们从函数图象的对称性出发，一起探究函数的奇偶性
思考：观察函数的图象,你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗
两个函数的图像都关于y轴对称
思考：类比函数的单调性，如何用符号语言精确地描述“函数图像关于y轴对称”这一特征？
…
思考：类比函数的单调性，如何用符号语言精确地描述“函数图像关于y轴对称”这一特征？
当自变量取一对相反数时，
相应的两个函数值相等。
9 4 1 1 4 9
也具有以上特征吗？
…
1、定义： 一般地，设函数的定义域为 ,如果,都有,且,那么函数就叫做偶函数。
一、偶函数
2、偶函数的图象特征:图象关于轴对称
思考1：是偶函数吗？
思考2：偶函数的定义域有何特征？
定义域关于原点对称
思考3：对于定义在R上的函数，若,那么这个函数是偶函数吗？
不是
不是
类比探究奇函数的定义，观察函数和的图象 问1：你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗
小组活动:完成课本83页探究，类比偶函数的定义给出奇函数的定义。
问2：你能用符号语言精确地描述这一特征吗？
两个函数的图象都关于原点对称.
1、定义：一般地，设函数的定义域为 ,如果,都有,且,那么函数就叫做奇函数。
二、偶函数
2、奇函数的图象特征:图象关于轴对称
定义域关于原点对称
1、判断下列说法是否正确.
(1)对于函数，若存在，使0，则函数一定是奇函数. （ ）
(2)函数是奇函数. （ ）
(3)奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称 （ ）
×
×

思考：我们接触过奇函数、偶函数、既不是奇函数也不是偶函数的函数，那么是否存在既是奇函数又是偶函数的函数呢？
（4）已知奇函数在)有最大值，则在上有最小值. （ ）

题型一：概念理解
2、已知函数是偶函数，奇函数，试将下图补充完整.
x
y
0
x
y
0
例1：观察下列函数图像，并判断它们的奇偶性
偶函数
奇函数
奇函数
非奇非偶
非奇非偶
非奇非偶
图象法
题型二：判断函数的奇偶性
例2：判断下列函数的奇偶性并证明
定义法
(1)
(2)
(3)
(4)
偶函数
奇函数
奇函数
偶函数
一看定义域
二看关系式or图象
不关于原点对称
关于原点对称
非奇非偶函数
f(﹣x)=f(x)
图象关于y轴对称
f(﹣x)=﹣f(x)
图象关于原点对称
偶函数
奇函数
既奇又偶函数
定义法
练习：下列判断不正确的是__________.
①④
是奇函数
例3：已知f(x)，g(x)是R上的奇函数，试判断f(x)+g(x),f(x)g(x)的奇偶性.
解：因为f(-x)+g(-x)=-(f(x)+g(x))
所以y=f(x)+g(x)是R上的奇函数；
因为f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x)
所以y=f(x)g(x)是R上的偶函数；
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)－g(x) f(x)·g(x)
偶 偶 偶 偶 偶
偶 奇 不确定 不确定 奇
奇 偶 不确定 不确定 奇
奇 奇 奇 奇 偶
1、定义法
①确定定义域，并观察定义域是否关于原点对称.
②计算，并比较与的关系.
③若，则为奇函数，其图像关于原点对称；
若，则为偶函数，其图像关于y轴对称.
2、图象法（对称）
3、性质法（不研究的情况）
①奇奇=奇；偶偶=偶；②奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶；
题型二：判断函数的奇偶性
已知奇偶性可代特殊值求参数
4
0
1
-1
1、利用奇偶性反求参数
题型三：函数奇偶性的应用
B
变式：已知是定义在上的奇函数，则_____________.
2
f(x)为奇函数且x=0处有定义，则f(0)=0
题型三：函数奇偶性的应用
2、利用函数的奇偶性求函数的解析式
例题：f(x)是R上的偶函数，且x∈(0,+∞)时，f(x)＝x2＋x－1，
① 求f(-2)的值. ②求x∈(－∞,0)时, f(x)的解析式.
[变式]f(x)是R上的奇函数，且x<0时，f(x)＝x2－2x+3，求f(x)在R上的解析式.
解：①因为f(x)是R上的偶函数，所以f(-2)=f(2)=5
题型三：函数奇偶性的应用
[变式]f(x)是R上的奇函数，且x<0时，f(x)＝x2－2x+3，求f(x)在R上的解析式.
练习：设是偶函数，是奇函数，且+=，求函数，的解析式
例题：已知f(x)=ax3-bx(a,b∈R), f(m)=5, 则f(-m)= .
4
3、利用函数的奇偶性求函数的值
题型三：函数奇偶性的应用
变式：已知f(x)=ax3-bx+4(a,b∈R), f(m)=5, 则f(-m)= .
3
-5
4、函数的奇偶性与单调性
例题：已知是偶函数且在上单调递减，则____
>
偶函数在对称区间上单调性相反
奇函数在对称区间上单调性相同
练习：已知函数的局部图像如图，求函数的单调区间.
为偶函数
为奇函数
单调递增区间：
单调递减区间：
[-1,0]，[1,+∞)
[0,1]，(-∞,-1]
单调递增区间：
单调递减区间：
(-∞,-1]，[1,+∞)
[-1,0]，[0,1]
总结：奇函数与偶函数的性质：
①且 ②
③（若最值存在，则有）
④原点两侧单调性相同
2、若已知是上的奇函数，则可得：
1、若已知是上的偶函数，则可得：
①且
②；
③原点两侧单调性相反
例题：若对于任意实数总有,且在区间上是增函数，则（ ）
解：据题意得：为偶函数，且在区间上是增函数.
∴.
又∵
∴，即.
1、利用函数的性质比较大小
题型四：函数性质的综合应用
B
例题：定义在［-5,5]上的奇函数f(x)部分图象如图，则不等式f(x)>0的解集为_____________.
2、利用函数的性质解不等式
题型三：函数奇偶性的应用
(-5,-2)(0,2)
变式：定义在［-5,5]上的奇函数f(x)部分图象如图，则不等式x f(x)>0的解集为_____________.
(-2，0)∪(0，2)
例2：函数y=f(x)是R上的偶函数, 且在(－∞,0]上为增函数, 若f(a)≤f(2), 则实数a的取值范围是_____________.
变式：函数y=g(x)是定义在[－2,2]上的偶函数，当x≥0时，g(x)单调递增，若g(1－m)练习：函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上单调递减，若f(m)+f(m－1)>0，求实数m的取值范围.
练习：函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上单调递减，若f(m)+f(m－1)>0，求实数m的取值范围.
变式：函数y=g(x)是定义在[－2,2]上的偶函数，当x≥0时，g(x)单调递增，若g(1－m)题型五：抽象函数问题
练习：已知函数的定义域为，且满足条件：①；②；③当时，
（1）求和的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）讨论函数的单调性；
（4）求不等式的解集.
题型五：抽象函数问题
题型六：对称性
思考：若函数是偶函数，则函数的图象有何特征？
思考：若函数是偶函数，则函数的图象有何特征？
思考：若函数的图象关于直线对称，则函数满足什么关系式？
1、若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称；
若函数是奇函数，则函数的图象关于点(,0)中心对称；
2、若对于R上的任意都有或
或，则的图象关于直线对称．
若对于R上的任意都有或
或，则的图象关于点(,0)对称．
题型六：对称性
B
D