13.2.2 用坐标表示轴对称同步练习 （含答案）

13.2画轴对称图形
13.2.2用坐标表示轴对称
【知识重点】
知识点1 平面直角坐标系中的轴对称
1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律
(1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数.
特别解读
●关于坐标轴对称的点的规律可简记为：横对称，横不变，纵相反；纵对称，纵不变，横相反.
●关于坐标轴对称的点的坐标只有符号不同，其绝对值相同.
2. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律
(1)点(a，b)关于直线x＝m对称的点为(2m－a，b)；
(2)点(a，b)关于直线y＝n对称的点为(a，2n－b)；
(3)点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b).
知识点2 平面直角坐标系中的轴对称变换
在坐标系中画由轴对称变换得到的图形的方法
(1)计算——计算已知图形特殊点的对称点的坐标；
(2)描点——根据对称点的坐标描点；
(3)连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形.
特别提醒
所找的特殊点一定要能确定原图形，否则画出的图形与原图形不一定对称.
【经典例题】
【例1】已知点A(2a＋b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b).
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋4b)2 024的值.
解题秘方：根据关于坐标轴对称的点的坐标规律列出方程组求解即可.
【例2】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A，B，C三点在格点上，
请分别画出与△ABC 关于x轴和y轴对称的图形，并写出对称图形顶点的坐标.
解题秘方：利用关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，作出△ABC三个顶点关于x轴、y轴的对称点，然后连接各对称点即可.
【同步练习】
一、选择题
1．【2021·成都】在平面直角坐标系xOy中，点M(－4，2)关于x轴对称的点的坐标是(　　)
A．(－4，2) B．(4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2)
2．已知点P(a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，且a为正整数，则P点的坐标是(　　)
A．(2，1) B．(2，－1) C．(－2，1) D．(－2，－1)
3．已知点A(a－b，2)和点B(5，2a＋b)关于y轴对称，则点M(a，b)在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．【2021·贵港】在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5．【2021·荆州】若点P(a＋1，2－2a)关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为(　　)
6．△ABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标均乘－1后得到△DEF，则△DEF(　　)
A．与△ABC关于x轴对称 B．与△ABC关于y轴对称
C．与△ABC关于原点对称 D．向x轴的负方向平移了一个单位长度
7．【2021·兰州】在平面直角坐标系xOy中，点A(－3，4)关于y轴对称的点B的坐标是(　　)
A．(3，－4) B．(－3，－4) C．(－3，4) D．(3，4)
8．【2021·泸州】在平面直角坐标系中，将点A(－3，－2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B′的坐标为(　　)
A．(2，2) B．(－2，2) C．(－2，－2) D．(2，－2)
9．在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1(1,2)，则点A2的坐标是(　　)
A．(－2,1) B．(－2，－1) C．(－1,2) D．(－1，－2)
10．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(4，4)，B(2，1)，C(5，2)，沿某一直线作△ABC的对称图形，得到△A′B′C′，若点A的对应点A′的坐标是(3，5)，则点B的对应点B′的坐标是(　　)
A．(0，3) B．(1，2) C．(0，2) D．(4，1)
第10题图　 第11题图 第16题图
11．【2021·丽水】四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是(－1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是(　　)
A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
12．若点A(－2，4)，B(2，4)，C(－1，2)，D(1，2)，E(－4，1)，F(4，1)是平面直角坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形．若这两个三角形关于y轴对称，称为一组对称三角形，则可找出的对称三角形有(　　)
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
二、填空题
13．点(x，y)关于x轴对称的点的坐标的特征是：__________相等，__________互为相反数，其坐标是__________．
14．点(x，y)关于y轴对称的点的坐标的特征是：________互为相反数，纵坐标________，其坐标是__________
15．已知点P(x，y)，Q(m，n)，如果x＋m＝0，y－n＝0，那么点P，Q关于 对称．
16．【2021·宜昌】如图，在平面直角坐标系中，将点A(－1，2)向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是__________．
17．已知＋(y－2)2＝0，则点P(x，y)关于x轴的对称点的坐标为 .
18．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－1，2)，作点A关于y轴的对称点，得到点A′，再将点A′向下平移4个单位长度，得到点A″，则点A″的坐标是 .
19．如图，△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(3，1)，点C的坐标为(4，3)，如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 .
20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是(a，b)，经过第1次变换后得到点A1的坐标是(a，－b)，则经过第100次变换后所得的点A100的坐标是_______________.
三、解答题
21．已知点A(a＋2b,1)，B(－2,2a－b)．
(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
(2)若点A、B关于y轴对称，求a＋b的值．
22．已知点M(2a－b，5＋a)，N(2b－1，－a＋b)．
(1)若点M，N关于x轴对称，试求a，b的值；
(2)若点M，N关于y轴对称，试求(b＋2a)99的值．
23．在平面直角坐标系中，已知点P关于y轴的对称点Q在第四象限，且m为整数．
(1)求整数m的值；
(2)求△OPQ的面积．
24．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是(－1，1)，(0，0)和(1，0)．
(1)如图①，添加棋子C，四颗棋子A，O，B，C成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；
(2)如图②，在其他格点位置添加一颗棋子P，使四颗棋子A，O，B，P成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标(写出2个即可)．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2，－1)，B(1，－2)，C(3，－3)．
(1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
(3)请写出A1，A2的坐标．
26．已知点A1，A2，A3，…，An中，A1与A2关于x轴对称，A2与A3关于y轴对称，A3与A4关于x轴对称，A4与A5关于y轴对称……
(1)如果A1在第二象限，那么点A100在第几象限？
(2)如果A1在第二象限，那么点A2 022在第几象限？
(3)如果A1在第一象限，那么点A2 023在第几象限？
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M(3,0)，且平行于y轴．
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(－2,0)、B(－1，0)、C(－1,2)，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
(2)如果点P的坐标是(－a,0)，其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
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参考答案
【经典例题】
【例1】已知点A(2a＋b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b).
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋4b)2 024的值.
解题秘方：根据关于坐标轴对称的点的坐标规律列出方程组求解即可.
(1)解：∵点A，B关于x轴对称，
∴解得
(2)解：∵点A，B关于y轴对称，
∴ 解得
∴(4a＋4b)2 024＝(－7＋6)2 024＝(－1)2 024＝1.
【例2】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A，B，C三点在格点上，
请分别画出与△ABC 关于x轴和y轴对称的图形，并写出对称图形顶点的坐标.
解题秘方：利用关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，作出△ABC三个顶点关于x轴、y轴的对称点，然后连接各对称点即可.
解：△ABC关于x轴和y轴对称的图形分别为△A′B′C′和△A″B″C″，如图13.2-6 所示.
∵△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，－1)，∴根据关于坐标轴对称的点的坐标特征可得A′(－3，－1)， B′(－1，0)，C′(－2，1)，A″(3，1)，B″(1，0)，C″(2，－1).
【同步练习】
一、选择题
1．【2021·成都】在平面直角坐标系xOy中，点M(－4，2)关于x轴对称的点的坐标是(　C　)
A．(－4，2) B．(4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2)
2．已知点P(a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，且a为正整数，则P点的坐标是(　B　)
A．(2，1) B．(2，－1) C．(－2，1) D．(－2，－1)
3．已知点A(a－b，2)和点B(5，2a＋b)关于y轴对称，则点M(a，b)在(　B　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．【2021·贵港】在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是(　C　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5．【2021·荆州】若点P(a＋1，2－2a)关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为(　C　)
6．△ABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标均乘－1后得到△DEF，则△DEF(　A　)
A．与△ABC关于x轴对称 B．与△ABC关于y轴对称
C．与△ABC关于原点对称 D．向x轴的负方向平移了一个单位长度
7．【2021·兰州】在平面直角坐标系xOy中，点A(－3，4)关于y轴对称的点B的坐标是(　D　)
A．(3，－4) B．(－3，－4) C．(－3，4) D．(3，4)
【提示】考查关于坐标轴对称的点的坐标特征．解题时可以利用关于坐标轴对称的点的坐标变化规律直接写出对称点的坐标，也可以在直角坐标系中先画出图形，再确定对称点的坐标.
8．【2021·泸州】在平面直角坐标系中，将点A(－3，－2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B′的坐标为(　C　)
A．(2，2) B．(－2，2) C．(－2，－2) D．(2，－2)
9．在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1(1,2)，则点A2的坐标是(　D　)
A．(－2,1) B．(－2，－1) C．(－1,2) D．(－1，－2)
10．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(4，4)，B(2，1)，C(5，2)，沿某一直线作△ABC的对称图形，得到△A′B′C′，若点A的对应点A′的坐标是(3，5)，则点B的对应点B′的坐标是(　A　)
A．(0，3) B．(1，2) C．(0，2) D．(4，1)
第10题图　 第11题图 第16题图
11．【2021·丽水】四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是(－1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是(　C　)
A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
12．若点A(－2，4)，B(2，4)，C(－1，2)，D(1，2)，E(－4，1)，F(4，1)是平面直角坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形．若这两个三角形关于y轴对称，称为一组对称三角形，则可找出的对称三角形有(　C　)
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
二、填空题
13．点(x，y)关于x轴对称的点的坐标的特征是：__________相等，__________互为相反数，其坐标是__________．
【答案】横坐标 纵坐标 (x，－y)
14．点(x，y)关于y轴对称的点的坐标的特征是：________互为相反数，纵坐标________，其坐标是__________
【答案】横坐标 相等 (－x，y)
15．已知点P(x，y)，Q(m，n)，如果x＋m＝0，y－n＝0，那么点P，Q关于 对称．
【答案】y轴
16．【2021·宜昌】如图，在平面直角坐标系中，将点A(－1，2)向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是__________．
【答案】(1，－2)
17．已知＋(y－2)2＝0，则点P(x，y)关于x轴的对称点的坐标为 .
【答案】(－2，－2)
18．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－1，2)，作点A关于y轴的对称点，得到点A′，再将点A′向下平移4个单位长度，得到点A″，则点A″的坐标是 .
【答案】(1，－2)
19．如图，△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(3，1)，点C的坐标为(4，3)，如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 .
【答案】(－1，3)或(4，－1)或(－1，－1)
20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是(a，b)，经过第1次变换后得到点A1的坐标是(a，－b)，则经过第100次变换后所得的点A100的坐标是_______________.
【答案】(a，b)
三、解答题
21．已知点A(a＋2b,1)，B(－2,2a－b)．
(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
(2)若点A、B关于y轴对称，求a＋b的值．
解：(1)由题意得，解得a＝－，b＝－；　
(2)由题意得，解得a＝，b＝，∴a＋b＝.
22．已知点M(2a－b，5＋a)，N(2b－1，－a＋b)．
(1)若点M，N关于x轴对称，试求a，b的值；
解：由题意得
解得即a，b的值分别为－8，－5.
(2)若点M，N关于y轴对称，试求(b＋2a)99的值．
解：由题意得
解得∴(b＋2a)99＝(3－2)99＝1.
23．在平面直角坐标系中，已知点P关于y轴的对称点Q在第四象限，且m为整数．
(1)求整数m的值；
(2)求△OPQ的面积．
解：(1)点P关于y轴的对称点Q的坐标为，
∵点Q在第四象限，∴
解得(2)∵m＝1，∴P，Q，
∴PQ＝2，∴S△OPQ＝×2×＝.
24．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是(－1，1)，(0，0)和(1，0)．
(1)如图①，添加棋子C，四颗棋子A，O，B，C成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；
解：如图，直线l即为所求．
(2)如图②，在其他格点位置添加一颗棋子P，使四颗棋子A，O，B，P成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标(写出2个即可)．
解：点P的坐标为(0，－1)或(－1，－1)． (答案不唯一)
25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2，－1)，B(1，－2)，C(3，－3)．
(1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求．
(2)请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
解：如图，△A2B2C2即为所求．
(3)请写出A1，A2的坐标．
解：A1(2，3)，A2(－2，－1)．
26．已知点A1，A2，A3，…，An中，A1与A2关于x轴对称，A2与A3关于y轴对称，A3与A4关于x轴对称，A4与A5关于y轴对称……
(1)如果A1在第二象限，那么点A100在第几象限？
【思路点拨】找出循环的规律是每四个点为一个循环，本题便可得解．
解：∵A1在第二象限，∴A2在第三象限，A3在第四象限，A4在第一象限，A5在A1的位置，A6在A2的位置……如此循环，则A100的位置与A4的位置相同，在第一象限．
(2)如果A1在第二象限，那么点A2 022在第几象限？
解：∵A1在第二象限，2 022÷4＝505……2，
∴点A2 022的位置与A2的位置相同，在第三象限．
(3)如果A1在第一象限，那么点A2 023在第几象限？
解：∵A1在第一象限，2 023÷4＝505……3，
∴点A2 023的位置与点A3的位置相同，在第三象限．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M(3,0)，且平行于y轴．
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(－2,0)、B(－1，0)、C(－1,2)，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
(2)如果点P的坐标是(－a,0)，其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
解：(1)∵△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，△A2B2C2与△A1B1C1关于直线l对称．又点A(－2,0)、B(－1,0)、C(－1,2)，∴点A2、B2、C2的坐标分别为A2(4,0)、B2(5,0)、C2(5,2)；　
(2)如图，由0＜a＜3，则点P1在线OM上，PP2＝PP1＋P1P2＝2OP1＋2P1M＝2OM＝6.