二次函数复习(广东省佛山市南海区)
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文档简介
二次函数复习
编写：叶钧联
【重点难点提示】
重点：二次函数的解析式
难点：从实际问题中抽象出二次函数
考点：二次函数的解析式的求法是中考命题的重中之重，它可以填空题、选择题出现，更多的是通常以综合题的形式出现在中考试卷的压轴题中，占10~12分左右。
【经典范例】
例1 已知函数y=x2+kx－3图象的顶点为C并与x轴相交于两点A、B且AB=4
（1）求实数k的值；（2）若P为上述抛物线上的一个动点（除点C外），求使S△ABC=S△ABP成立的点P的坐标。
解 （1）设A(x1,0)B(x2,0)
则AB2=|x2－x1|2=(x1+x2)2－4x1x2=k2+12=16
∴k=±2
(2)由y=x2±2x－3= (x±1)2－4得点C1(1,－4),C2(－1,－4)
∴S△ABC=×4×4=8
设点P(x,4)在抛物线上，则有x2±2x－3=4,即x2±2x－7=0
得：x=－1±2或x=1±
∴P点坐标为（－1+2，4）（－1－2，4）（1+2，4）（1－2，4）
例2 阅读下面的文字后，解答问题
有这样一道题目：
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a),B(1,－2)求证这个二次函数图象的对称轴是直线x=2，题目中的横线部分是被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式，若能，写出求解过程？若不能，说明理由
（2）请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
解 （1）能：根据题意有：
又∵二次函数图象的对称轴为x=2 ∴－=2
解方程组
∴能求出二次函数解析式，解析式为y=x2－4x+1
（2）可供补充的内容有：（任选一个）
①满足y=x2－4x+1的任一点的坐标
②a=1或b=－4或c=1
③与y轴交点坐标为（0，1）
④与x轴交点坐标为（2－，0）或(2+,0)
⑤最值为－3
⑥顶点为（2，－3）等
【解题技巧点拨】
解此题的关键是把直线x=2作为已知条件来用，从而确定二次函数的解析式。
【同步达纲练习】
一、填空题
1.有一个抛物线拱桥形，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中（如图），则此抛物线解析式为 。
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（0，1），B（－1，0），C（1，0），那么函数解析式是 如果y随x的增大而减少，那么x的变化范围是 。
3.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－7x+12形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为，则此抛物线解析式为 。
4.已知抛物线y=x2－(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，同a= 。
二、选择题
5.已知抛物线y=ax2+bx+c，经过A(4，－2),B(12,－2)两点，那么它的对称轴是（ ）
A.直线x=7 B.直线x=8 C.直线x=9 D.无法确定
6.把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）
A.y=3(x+3)2－2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x－3)2－2 D.y=3(x－3)2+2
7.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么函数解析式为（ ）
A.y=－x2+2x+3 B.y=x2－2x－3 C.y=－x2－2x+3 D.y=－x2－2x－3
8.关于x的二次函数y=x2－2mx+m2和一次函数y=－mx+n(m≠0)，在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ）
三、解答题
9.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，有最大值2，其图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
10.如图在平面直角坐标系中A、B是x轴上两点，C是y轴上一点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AO、BO 为直径的半圆，分别交AC、BC于E、F点，若点C坐标为（0，）。
（1）求图象过A、B、C三点的二次函数的解析式
（2）求图象过点E、F的一次函数的解析式。
11.已知：二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围
（3）若二次函数的图象截直线y=－x+1所得线段长为2，求m的值。
12.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A(1,0),B(5,0)两点，与y轴交于M，抛物线顶点为P，且PB=2
（1）求这条抛物线的顶点P的坐标和它的解析式
（2）△MOP（O为坐标原点）的面积。
13.已知抛物线y=x2－(2m－1)x+m2－m－2
（1）证明抛物线与x轴有两个不同的交点
（2）分别求出抛物线与x轴的交点A、B的横坐标xA,xB,以及与y轴的交点C的纵坐标yC（用含m的代数式表示）
（3）设△ABC的面积为6，且A、B两点在y轴的同侧，求抛物线的解析式。
14.已知抛物线y=－x2－(n+1)x－2n(n<0)经过A(x1、0),B(x2、0)，D（0、y1），其中x1（1）求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标
（2）如果点C（2，y2）在这条抛物线上，点P在y轴正半轴上，且△BCP为等腰三角形，求直线BP的解析式。
15.某化工材料经销公司购进了一种化工原料，共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克，单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要交出其他费用500元。（天数不足一天时，按整天计算）设销售为x元，日均获利为y元。
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a(x－h)2+k的形式，写出顶点坐标、画出草图、观察图像，指出单价定为多少元时，日均获利最多，是多少？
16.已知二次函数y=x2－(2m+4)x+m2－4（x为自变量）的图象与y轴的交点在原点的下方，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，且A、B两点到原点的距离AO、OB，满足3（OB－AO）=2AO·OB，直线y=kx+k与这个二次函数图象的一个交点为P，且锐角∠POB的正切值为4。
（1）求这个二次函数解析式 （2）确定直线y=kx+k的解析式
17.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点在第一象限，顶点的横坐标是纵坐标的2倍，对称轴与x轴的交点在一次函数y=x－c的图象上，求b、c的值。
18.今有网球从斜坡点O处抛出（如图），已知网球的运动路线方程是y=4x－x2，斜坡的方程是y=，其中y是垂直高度（米），x是与点O的水平距离（米）
（1）网球在斜坡的落点为A，写出点A的垂直高度，以及点A与点O的水平距离；
（2）在图象中，标出网球所能达到的最高点B，并求出OB与水平线OX之间夹角的正切。
19.已知抛物线y=x2－2x+m与x轴有两个不同的交点A、B，其坐标为A(x1,0),B(x2,0)，其中x1（1）求这条抛物线，（2）设所求抛物线顶点为C，P是此抛物线上的一点，且∠PAC=90°，求P点的坐标。
20.已知二次函数y1=ax2+2bx+c与y2=(a－1)x2+2(b－2)x+c－3的图象如图所示，C点坐标为（－1，0），B点的横坐标为－3，D点与C点关于y轴对称，线段AB与线段BC等长，求这两条抛物线的解析式。
【创新备考训练】
21.已知点A（1，2）和B（－2，5），试写出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点
22.如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。
（1）一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；
（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板。除掉系木板用去的绳子后，两边的绳子长正好各为2米，木板与地面平行，求这时木板到地面的距离（供选用数据：≈1.8，≈1.9，≈2.1）.
参考答案
【同步达纲练习】
1.y= － x2+x (0≤x≤40) 2.y= －x2+1 (x>0) 3.y= －x2+2x－1－或y= －x2+2x－1+ 4.a= －2或4或－8（顶点可能在x轴上，也可以在y轴上） 5.B 6.D 7.A 8.B 9.y= －2x2+8x－6 10.(1)y= －x+x+,(2)y= －x+ 11.(1)y=x2－x+m(m≠－1),(2)△=(m－1)2,∴m的取值范围是m≠±1 （3）m=－5或 12.(1)P(3,－4)，解析式y=x2－6x+5 (2)S△MOP=7.5 13.(1)△=9>0,∴抛物线与x轴有两个不同的交点，（2）yc=m2－m－2,(3)y=x2－5x+4或y=x2+5x+4 14.(1)y= －x2+x+4，顶点(1,)，（2）BP为y=－ 15.(1)y= －2x2+260x－6500 (30≤x≤70),(2)y= －2(x－65)2+1950，顶点(65,1950)图略，当单价是65元时，日均获利最多是1950元 16.(1)y2=x2－2x－3,(2)y=2x+2或y= －2x－2 17.b=－1,c= 18.(1)垂直高度为3.5米，水平距离为7米，（2）B（4，8），且tanx==2(∠BOX=x) 19.①y=x2－2x,②P(3,3) 20.y1=x2－,y2= －x2－4x－ 21.本题答案不唯一，解法（1）：抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，2），B(－2,5)两点得 ②－①得3a－3b=3,a－b=1，设a=2,得b=1，代入①得c=－1，得y=2x2+x－1 设a=1，得b=0，代入①得 c=1，得y=x2+1解法（2）：抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,2),B(－2,5)和(0,0)三点 依题意得 解得 得y=x2+x用同样的方法可得另一函数。 22.（1）如图建立平面直角坐标系，设二次函数解析式为y=ax2+c ∵D(－0.4,0.7)B(0.8,2.2) ∴ ∴ ∴绳子最低点到地面上距离为0.2米 （2）分别作EG⊥AB于G，FH⊥AB于H，AG=（AB－EF）=（1.6－0.4）=0.6 在Rt△AGE中,AE=2，EG===≈1.9 ∴2.2－1.9=0.3（米）
编写：叶钧联
【重点难点提示】
重点：二次函数的解析式
难点：从实际问题中抽象出二次函数
考点：二次函数的解析式的求法是中考命题的重中之重，它可以填空题、选择题出现，更多的是通常以综合题的形式出现在中考试卷的压轴题中，占10~12分左右。
【经典范例】
例1 已知函数y=x2+kx－3图象的顶点为C并与x轴相交于两点A、B且AB=4
（1）求实数k的值；（2）若P为上述抛物线上的一个动点（除点C外），求使S△ABC=S△ABP成立的点P的坐标。
解 （1）设A(x1,0)B(x2,0)
则AB2=|x2－x1|2=(x1+x2)2－4x1x2=k2+12=16
∴k=±2
(2)由y=x2±2x－3= (x±1)2－4得点C1(1,－4),C2(－1,－4)
∴S△ABC=×4×4=8
设点P(x,4)在抛物线上，则有x2±2x－3=4,即x2±2x－7=0
得：x=－1±2或x=1±
∴P点坐标为（－1+2，4）（－1－2，4）（1+2，4）（1－2，4）
例2 阅读下面的文字后，解答问题
有这样一道题目：
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a),B(1,－2)求证这个二次函数图象的对称轴是直线x=2，题目中的横线部分是被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式，若能，写出求解过程？若不能，说明理由
（2）请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
解 （1）能：根据题意有：
又∵二次函数图象的对称轴为x=2 ∴－=2
解方程组
∴能求出二次函数解析式，解析式为y=x2－4x+1
（2）可供补充的内容有：（任选一个）
①满足y=x2－4x+1的任一点的坐标
②a=1或b=－4或c=1
③与y轴交点坐标为（0，1）
④与x轴交点坐标为（2－，0）或(2+,0)
⑤最值为－3
⑥顶点为（2，－3）等
【解题技巧点拨】
解此题的关键是把直线x=2作为已知条件来用，从而确定二次函数的解析式。
【同步达纲练习】
一、填空题
1.有一个抛物线拱桥形，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中（如图），则此抛物线解析式为 。
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（0，1），B（－1，0），C（1，0），那么函数解析式是 如果y随x的增大而减少，那么x的变化范围是 。
3.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－7x+12形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为，则此抛物线解析式为 。
4.已知抛物线y=x2－(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，同a= 。
二、选择题
5.已知抛物线y=ax2+bx+c，经过A(4，－2),B(12,－2)两点，那么它的对称轴是（ ）
A.直线x=7 B.直线x=8 C.直线x=9 D.无法确定
6.把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）
A.y=3(x+3)2－2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x－3)2－2 D.y=3(x－3)2+2
7.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么函数解析式为（ ）
A.y=－x2+2x+3 B.y=x2－2x－3 C.y=－x2－2x+3 D.y=－x2－2x－3
8.关于x的二次函数y=x2－2mx+m2和一次函数y=－mx+n(m≠0)，在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ）
三、解答题
9.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，有最大值2，其图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
10.如图在平面直角坐标系中A、B是x轴上两点，C是y轴上一点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AO、BO 为直径的半圆，分别交AC、BC于E、F点，若点C坐标为（0，）。
（1）求图象过A、B、C三点的二次函数的解析式
（2）求图象过点E、F的一次函数的解析式。
11.已知：二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围
（3）若二次函数的图象截直线y=－x+1所得线段长为2，求m的值。
12.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A(1,0),B(5,0)两点，与y轴交于M，抛物线顶点为P，且PB=2
（1）求这条抛物线的顶点P的坐标和它的解析式
（2）△MOP（O为坐标原点）的面积。
13.已知抛物线y=x2－(2m－1)x+m2－m－2
（1）证明抛物线与x轴有两个不同的交点
（2）分别求出抛物线与x轴的交点A、B的横坐标xA,xB,以及与y轴的交点C的纵坐标yC（用含m的代数式表示）
（3）设△ABC的面积为6，且A、B两点在y轴的同侧，求抛物线的解析式。
14.已知抛物线y=－x2－(n+1)x－2n(n<0)经过A(x1、0),B(x2、0)，D（0、y1），其中x1
（2）如果点C（2，y2）在这条抛物线上，点P在y轴正半轴上，且△BCP为等腰三角形，求直线BP的解析式。
15.某化工材料经销公司购进了一种化工原料，共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克，单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要交出其他费用500元。（天数不足一天时，按整天计算）设销售为x元，日均获利为y元。
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a(x－h)2+k的形式，写出顶点坐标、画出草图、观察图像，指出单价定为多少元时，日均获利最多，是多少？
16.已知二次函数y=x2－(2m+4)x+m2－4（x为自变量）的图象与y轴的交点在原点的下方，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，且A、B两点到原点的距离AO、OB，满足3（OB－AO）=2AO·OB，直线y=kx+k与这个二次函数图象的一个交点为P，且锐角∠POB的正切值为4。
（1）求这个二次函数解析式 （2）确定直线y=kx+k的解析式
17.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点在第一象限，顶点的横坐标是纵坐标的2倍，对称轴与x轴的交点在一次函数y=x－c的图象上，求b、c的值。
18.今有网球从斜坡点O处抛出（如图），已知网球的运动路线方程是y=4x－x2，斜坡的方程是y=，其中y是垂直高度（米），x是与点O的水平距离（米）
（1）网球在斜坡的落点为A，写出点A的垂直高度，以及点A与点O的水平距离；
（2）在图象中，标出网球所能达到的最高点B，并求出OB与水平线OX之间夹角的正切。
19.已知抛物线y=x2－2x+m与x轴有两个不同的交点A、B，其坐标为A(x1,0),B(x2,0)，其中x1
20.已知二次函数y1=ax2+2bx+c与y2=(a－1)x2+2(b－2)x+c－3的图象如图所示，C点坐标为（－1，0），B点的横坐标为－3，D点与C点关于y轴对称，线段AB与线段BC等长，求这两条抛物线的解析式。
【创新备考训练】
21.已知点A（1，2）和B（－2，5），试写出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点
22.如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。
（1）一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；
（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板。除掉系木板用去的绳子后，两边的绳子长正好各为2米，木板与地面平行，求这时木板到地面的距离（供选用数据：≈1.8，≈1.9，≈2.1）.
参考答案
【同步达纲练习】
1.y= － x2+x (0≤x≤40) 2.y= －x2+1 (x>0) 3.y= －x2+2x－1－或y= －x2+2x－1+ 4.a= －2或4或－8（顶点可能在x轴上，也可以在y轴上） 5.B 6.D 7.A 8.B 9.y= －2x2+8x－6 10.(1)y= －x+x+,(2)y= －x+ 11.(1)y=x2－x+m(m≠－1),(2)△=(m－1)2,∴m的取值范围是m≠±1 （3）m=－5或 12.(1)P(3,－4)，解析式y=x2－6x+5 (2)S△MOP=7.5 13.(1)△=9>0,∴抛物线与x轴有两个不同的交点，（2）yc=m2－m－2,(3)y=x2－5x+4或y=x2+5x+4 14.(1)y= －x2+x+4，顶点(1,)，（2）BP为y=－ 15.(1)y= －2x2+260x－6500 (30≤x≤70),(2)y= －2(x－65)2+1950，顶点(65,1950)图略，当单价是65元时，日均获利最多是1950元 16.(1)y2=x2－2x－3,(2)y=2x+2或y= －2x－2 17.b=－1,c= 18.(1)垂直高度为3.5米，水平距离为7米，（2）B（4，8），且tanx==2(∠BOX=x) 19.①y=x2－2x,②P(3,3) 20.y1=x2－,y2= －x2－4x－ 21.本题答案不唯一，解法（1）：抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，2），B(－2,5)两点得 ②－①得3a－3b=3,a－b=1，设a=2,得b=1，代入①得c=－1，得y=2x2+x－1 设a=1，得b=0，代入①得 c=1，得y=x2+1解法（2）：抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,2),B(－2,5)和(0,0)三点 依题意得 解得 得y=x2+x用同样的方法可得另一函数。 22.（1）如图建立平面直角坐标系，设二次函数解析式为y=ax2+c ∵D(－0.4,0.7)B(0.8,2.2) ∴ ∴ ∴绳子最低点到地面上距离为0.2米 （2）分别作EG⊥AB于G，FH⊥AB于H，AG=（AB－EF）=（1.6－0.4）=0.6 在Rt△AGE中,AE=2，EG===≈1.9 ∴2.2－1.9=0.3（米）