数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程（共20张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程（共20张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-23 07:03:35 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
椭圆及其标准方程
3.1.1
【思考1】在圆 上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程什么？轨迹是什么图形？
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
一、椭圆的定义
问题1 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
一 椭圆的定义：
定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
M
注 ：
1、F1、F2是平面内两个不同定点
2、M是椭圆上任意一点，满足：|MF1| + |MF2| = 常数；
3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c
4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
6、如果c=0，则M点的轨迹是圆
例1 (1)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
(2)(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋ (a>0)，则点P的轨迹可能是
A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线
√
√
√
二、椭圆的标准方程
【思考2】观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单
观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0).
根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}.
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，
对方程②两边平方，得
①
②
③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)， ④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
⑤
⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程.
O
X
Y
F1
F2
M
(-c,0)
(c,0)
(x,y)
C
a
b
a、b、c在图中代表什么
a、b、c构成直角三角形
【思考3】如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（3）三个参数a、b、c构成系数直角三角形，满足a2=b2+c2。
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上，大的分母为a平方。
（4）求方程：先确定焦点在哪，再求 a、b、c，即先定位，再定量。
O
X
Y
F1
F2
M
(-c,0)
(c,0)
Y
X
O
F1
F2
M
(0,-c)
(0 , c)
F(±c，0)在Ｘ轴上
F(0，±c)在Ｙ轴上
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
三、椭圆定义的应用
例3 已知P为椭圆 ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
延伸探究 若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝
图 形
方 程
焦 点
F(±c，0)在Ｘ轴上
F(0，±c)在Ｙ轴上
a,b,c之间的关系
a2=b2+c2
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝ (2a>2c>0)
定 义
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
小结：
椭圆及其标准方程
3.1.1
【思考1】在圆 上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程什么？轨迹是什么图形？
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
一、椭圆的定义
问题1 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
一 椭圆的定义：
定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
M
注 ：
1、F1、F2是平面内两个不同定点
2、M是椭圆上任意一点，满足：|MF1| + |MF2| = 常数；
3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c
4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
6、如果c=0，则M点的轨迹是圆
例1 (1)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
(2)(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋ (a>0)，则点P的轨迹可能是
A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线
√
√
√
二、椭圆的标准方程
【思考2】观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单
观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0).
根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}.
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，
对方程②两边平方，得
①
②
③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)， ④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
⑤
⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程.
O
X
Y
F1
F2
M
(-c,0)
(c,0)
(x,y)
C
a
b
a、b、c在图中代表什么
a、b、c构成直角三角形
【思考3】如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（3）三个参数a、b、c构成系数直角三角形，满足a2=b2+c2。
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上，大的分母为a平方。
（4）求方程：先确定焦点在哪，再求 a、b、c，即先定位，再定量。
O
X
Y
F1
F2
M
(-c,0)
(c,0)
Y
X
O
F1
F2
M
(0,-c)
(0 , c)
F(±c，0)在Ｘ轴上
F(0，±c)在Ｙ轴上
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
三、椭圆定义的应用
例3 已知P为椭圆 ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
延伸探究 若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝
图 形
方 程
焦 点
F(±c，0)在Ｘ轴上
F(0，±c)在Ｙ轴上
a,b,c之间的关系
a2=b2+c2
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝ (2a>2c>0)
定 义
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
小结：