2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高一（上）段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高一（上）段考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设集合，若集合，，则( )
A. B.
C. D. 或
2.下列图象中，不是函数图象的是( )
A. B. C. D.
3.已知集合，且，则实数为( )
A. B. C. 或 D. ，
4.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.下列各组函数中，是同一个函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
6.下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A. 对任意实数，，都有
B. 梯形的对角线不相等
C.
D. 所有的集合都有子集
7.下列说法中，错误的是( )
A. 若，，则一定有
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
8.已知正数，满足，则最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则且
10.已知正实数，满足，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知，，，下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
12.已知区间是关于的一元二次不等式的解集，则的可能值为( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.集合，则集合的子集的个数为______ ．
14.若，，且，则的最大值为______ ．
15.已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
16.用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，．
若，求实数的取值范围；
若集合中只有一个整数，求实数的取值范围．
18.本小题分
对于四个正数、、、，若满足则称有序数对是的“下位序列”．
对于、、、，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由；
设，，，均为正数，且是的“下位序列”，试判断、、之间的大小关系并给出相应的证明．
19.本小题分
如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙墙的长度没有限制的矩形菜园设菜园的长为，宽为．
若菜园面积为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小？
若使用的篱笆总长度为，求的最小值．
20.本小题分
完成下列不等式的证明：
对任意的正实数，，，证明：；
设，，为正实数，且，证明：．
21.本小题分
：实数满足，：实数满足．
记，求；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
若，且，均为真命题，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知关于的不等式的解集为或．
求，的值；
已知，解关于的不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，集合，，
，
．
故选：．
根据集合的基本运算即可求，进而求解结论．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量只能有唯一的与对应，
选项ABC中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以是函数图象，
选项D中，出现两个不同的和同一个对应，所以不满足值的唯一性．
所以不能作为函数图象．
故选：．
根据函数的定义，要求定义域内的任意变量只能有唯一的与对应，结合图象判断即可．
此题主要考查了函数图像的读图能力，根据函数的定义判断是解题的关键，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以或，
若，则，不满足集合中元素的互异性，应舍去；
若，则解得，或，
显然不满足集合中元素的互异性，应舍去，
故．
故选：．
利用元素与集合的关系及集合中元素的互异性求解即可．
此题考查了元素与集合的关系，考查了集合中元素的互异性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：当时，由可得；
当时，由可得；
故充分性满足；
当时，由可得；
当时，由，，不可得，如，但，
故必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
分、先判断是否满足充分性，再判断是否满足必要性，即可得答案．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质进行转化是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，
中的对应关系不同；
中的对应关系不同；
中的定义域不同；
符合题意．
故选：．
根据同一函数的定义分别判断即可．
本题考查了函数的定义域，解析式问题，考查同一函数的定义，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据全称命题的定义可知，全称命题有，，三项，为特称命题，
对于，有，故A为假命题；
对于，梯形的对角线不一定相等，故B为假命题；
对于，根据子集的定义可知，为真命题．
故选：．
根据全称量词定义可知，，为全称量词命题，进而根据不等式性质可判断选项，根据梯形的性质可判断选项，根据子集的定义可判断选项．
本题主要考查全称命题和特称命题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对于，若，，，，则，故A错误．
对于，由，可知，即，所以，故B正确．
对于，，
因为，，所以，故，所以C正确．
对于，因为，所以，结合，所以，故D正确．
故选：．
对举反例即可判断；对和，利用不等式基本性质加以判断；对，利用作差法判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查了不等式的基本性质、作差法比较大小等知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为正数，满足，
所以
，当且仅当，联立，
即时等号成立．
故选：．
先进行化简得，再利用乘“”法即可得到答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：项，，若，则，但，的正负不确定，
则推不出，也得不到，则是的既不充分也不必要条件；
项，，则是的充分不必要条件，正确；
项，若，一定有，但，当时不一定有，则是的充分不必要条件，正确；
项，若，不一定有且，但若且，则且，则成立，
则是的必要不充分条件，不符合．
故选：．
根据充分不必要条件的定义逐项判断即可．
本题考查充分必要条件，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，
又，即，
所以，所以，，，
故A，B正确，，D错误．
故选：．
由在上单调递增，可得，再利用不等式的基本性质判断各个选项即可．
本题主要考查不等式的基本性质，确定是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：因为，，，
对于，，当且仅当时取等号，于是，A正确；
对于，因为，，时取等号，
则，当且仅当时取等号，B正确；
对于，显然，则，C正确；
对于，显然，满足条件，而，D错误．
故选：．
根据给定条件，利用基本不等式，结合式子变形逐项计算判断；举例说明判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题知，是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，
则有，，，
所以，且，是两个不同的正数，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值是．
故选：．
由题知，，，则可得，则，再利用基本不等式“”的妙用来求出最小值．
本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了基本不等式“”的妙用求最值，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由方程，解得或，即集合，
所以集合的子集为，，，，共有个子集．
故答案为：．
根据题意求得集合，结合集合中子集的定义，即可求解．
本题考查子集的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以，，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．
故答案为：．
根据，从而可得，求解即可．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：令，
因为当时，不等式恒成立，
所以，即，解得或，
故答案为：．
令，由题意，即可求解．
本题考查一元二次不等式恒成立问题，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：依题意，，且三次后全部进入，即，
故不等式组为．
故答案为：．
根据题目条件列出不等式组即可．
本题主要考查了不等式的实际应用，属于基础题．
17.【答案】解：集合，可得，
因为，所以；
分两种情况讨论：
若，则，解得；
若，则，解得；
综上，．
或，
所以中的唯一整数是，
所以，
解得，
可得．
【解析】求解集合，通过是否为空集，求解即可．
利用已知条件，列出不等式求解即可．
本题考查分式不等式的解法，集合的基本运算，是中档题．
18.【答案】解：是，理由如下：
因为有序数对，，
则；
结论：，
理由如下：
因为是的“下位序列”，所以，
则，所以，
因为，所以，
所以．
【解析】结合已知定义，比较与的大小即可判断；
结合已知定义可知，然后利用比较法即可判断大小．
本题主要考查了不等式大小比较的应用，属于基础题．
19.【答案】解：由已知可得，而篱笆总长为．
又因为，当且仅当，即，时等号成立．
所以菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小．
由已知得，又因为，
所以，当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是．
【解析】由题意得，利用基本不等式求出的最小值及，时等号成立；
根据题意得到，利用基本不等式“”的妙用求出最值．
本题考查基本不等式的应用，考查学生应用数学的能力和逻辑推理能力，属中档题．
20.【答案】证明：因为，所以，
即，当且仅当时取等号，
所以；
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以．
【解析】结合基本不等式，利用综合法证明即可；
结合重要不等式，利用综合法证明即可．
本题考查了利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．
21.【答案】解：命题：实数满足，故，
整理得：．
命题：实数满足，
设，可解得；
因为是的必要不充分条件，所以，
所以，
解得．
故的取值范围为．
当时，，，
所以与均为真命题时，
的取值范围是．
【解析】直接利用不等式的运算求出的集合；
利用充分性求出，进一步求出的取值范围；
利用集合的运算求出结果．
本题考查的知识要点：不等式的解法，充分条件和必要条件，集合的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为不等式的解集为或，所以和是方程的两根，
由根与系数的关系知，，
解得，；
不等式，即为，
当时，不等式为，解得；
当时，判别式，不等式对应的二次函数图象开口朝上，解不等式，得；
当时，判别式，不等式对应的二次函数图象开口朝上，解不等式，得；
当时，方程有两不等实根，解方程得，，
当时，，不等式对应的二次函数图象开口朝下，且，解得；
当时，，不等式对应的函数图象开口朝上，且，解得或；
当时，，不等式对应的二次函数图象开口朝上，不等式的解集为；
当时，，不等式对应的函数图象开口朝上，且，解得或；
综上，时，解集为；
时，解集为；
或时，解集为或；
时，解集为；
时，解集为；时，解集为
【解析】根据不等式的解集，利用不等式与对应方程的关系，即可求得、的值；
不等式化为，讨论和，时，利用判别式，即可求出不等式的解集．
本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是难题．
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