2023-2024学年上海市青浦区重点中学高一（上）质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市青浦区重点中学高一（上）质检数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，表示全集，，是的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
2.若，则在“，，，”这四个式子中，一定成立的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.“”是关于的不等式的解集为的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
4.已知集合，对它的非空子，将中每个元素，都乘以再求和，如，可求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
5.若，则实数______．
6.用描述法表示直角坐标系中第二象限点的集合，则 ______ ．
7.将二次三项式因式分解为______ ．
8.设，为实数，则______填“，，或”
9.陈述句“且”的否定形式是______ ．
10.设全集，已知集合，，则 ______ ．
11.已知，若集合中恰有个元素，则实数的取值范围是______ ．
12.命题“若，则”是真命题，则的取值范围是______．
13.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，则的值是______ ．
14.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______．
15.若不等式的解集是，不等式的解集是，且，中，，则不等式的解集为______ ．
16.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，；给出下列四个结论：
；
；
；
“整数，属于同一类”的充要条件是“”．
其中正确的结论是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
解不等式组：．
18.本小题分
若关于的不等式的解集为，求的取值范围．
19.本小题分
已知集合，集合，若，求实数的取值范围．
20.本小题分
对任意给定的不小于的正整数，元集合，均为正整数集的子集，若满足：
；
；
，则称，互为等矩集．
若集合与互为等矩集，求，的值；
证明：如果集合，互为等矩集，那么对于任意的正整数，集合，也互为等矩集．
21.本小题分
设集合，，且满足；若，则．
能否为单元集，为什么？
求出只含两个元素的集合．
满足题设条件的集合共有几个？为什么？能否列举出来．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由韦恩图知：阴影部分为．
故选：．
根据韦恩图写出阴影部分的集合表达式即可．
本题主要考查集合的基本运算，利用图确定集合的关系是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由得，所以，，，故成立，不成立；
令，，满足成立，但不成立，故不成立．
综上所述，一定成立，故一定成立的有个．
故选：．
根据不等式的性质和特值法逐项判断．
本题考查不等式的性质和特值法的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：关于的不等式的解集为时，应满足，即；
所以“”是关于的不等式的解集为的必要不充分条件．
故选：．
求出不等式的解集为时的充要条件，即可得出结论．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由已知可得，
所以集合中所有非空子集中含有的有类：
单元素集合只有含有，即出现了次，
双元素集合含有的有，，，，即出现了次，
三元素集合中含有的有，，，，即出现了次，
，含有元素集合，即出现了次，
所以共出现了次，同理，，，，各出现次，
所以集合的所有非空子集中，这些和的总和是，
故选：．
根据题意，将中所有非空子集分类考虑完，将所有非空子集当中含有的总个数确定好，从而可以求其和，同理求得含有，，，的部分的和，问题即可解决．
本题考查了求解集合的子集问题，涉及到数列求和以及组合数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由，可得或，
解得或，
当时不满足集合元素的互异性，舍去，
故．
故答案为：．
由，可得或，求解并验证集合元素的互异性即可．
本题考查集合的特征和集合与元素的关系，根据已知条件得到关于的关系，注意检验集合元素的互异性，属基础题．
6.【答案】，
【解析】解：直角坐标系中第二象限点的集合，．
故答案为：，．
根据第二象限点的性质写出集合即可．
本题考查集合的表示方法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
利用因式分解能求出结果．
本题考查因式分解等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用作差法比较大小，属于基础题．
作差，再配方，就可比较大小．
【解答】
解：，当且仅当，时取等，
，
故答案为：．
9.【答案】或
【解析】解：“且”的否定形式为或．
故答案为：或．
结合复合命题的否定即可求解．
本题主要考查了命题的否定，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，
又，
则．
故答案为：．
先求得，再求解即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：集合中恰有个元素，
，
，
故答案为：．
化简集合，从而求得．
本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由于，所以或；
由于命题“若，则”是真命题，
所以．
故的取值范围为．
故答案为：．
首先解出不等式的解为或，进一步利用命题的真假求出的取值范围．
本题考查的知识要点：不等式的解法，命题的真假和实数的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
，可得，
再根据，，
，即，求得或舍去．
故答案为：．
由题意，利用一元二次方程根的分布与系数的关系，韦达定理，计算求得和的值，可得的值．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，韦达定理，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：关于的不等式的解集为，
，．
不等式可化为，
即，
解得：．
不等式的解集为．
故答案为：．
由于关于的不等式的解集为，可得，因此不等式可化为，代入解出即可．
本题考查了一元一次不等式、一元二次不等式的解法、不等式的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意知：不等式的解集是，不等式的解集是，
不等式的解集是，不等式的解集是，
不等式或，
则不等式的解集为：，或，
即，
故答案为：
先由题意知：不等式的解集是，不等式的解集是，再将原不等式或，利用分类讨论思想求出不等式的解集即可．
本小题主要考查其他不等式的解法，主要是抽象不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
根据题意，由“类”的定义依次分析四个结论，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，关键是理解“类”的定义，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，依次分析个结论；
对于，，故，正确；
对于，，则，错误；
对于，所有整数倍整除，余数为，或，或，或，或，五种情况，所以，故正确；
对于，若整数，属于同一“类”，则余数相同，作差余数为，则，
若，则，被整除的余数相同，即整数，属于同一“类”，正确；
故答案为：．
17.【答案】解：因为，
所以，
即，
即或或，
即不等式的解集为或或．
【解析】由绝对值不等式的解法，结合分式不等式的解法求解即可．
本题考查了绝对值不等式的解法，重点考查了分式不等式的解法，属中档题．
18.【答案】解：当时，不等式为，解得，不满足题意，
当时，由题意可得，解得，
所以的取值范围是．
【解析】显然不满足题意，当时，由题意可得，从而即可求出的取值范围．
本题考查一元二次不等式与二次函数之间的关系，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
19.【答案】解：，
时，，
若，则，则，解得：；
时，，
若，则，则，解得：；
时，，符合题意；
综上，的取值范围是．
【解析】求出，通过讨论的范围，求出，根据集合的包含关系得到关于的不等式，解出即可．
本题考查了不等式问题，考查集合的包含关系以及转化思想，分类讨论思想，是基础题．
20.【答案】解：由等矩集定义，则，
，可得，
由可知，，为方程的两个根，
解得或，符合题意，
所以或；
证明：只需证明和满足等矩集的三条定义即可，
，
故满足定义；
，
故满足定义；
假设，则存在，，，可得，与矛盾，
所以，
故满足定义．
综上所述，和也互为等矩集．
【解析】由等矩集定义，列出关于和的方程组，求解即可．
利用等矩集的定义，只需证明和满足等矩集的三条定义即可．
本题主要考查数列的应用，属于中档题．
21.【答案】解：不能，因为，且，
而，
如果是单元素集，必须，
解得，其不属于非自然数，
所以不是为单元集．
若，则，，
与重复出现，，
同理，与，与成对出现，，，．
有个．理由如下：
中的元素成对出现，有对，
认为为的子集，
但与，与，与分别绑在一起，认为有个元素，
而，则有个，
则可能为：，，，，，，．
所以满足条件的共有个．
【解析】不是为单元集，通过题意推出方程，直接求解推出的值即可说明；
通过，利用替换，求出只含两个元素的集合，说明不存在即可．
满足题设条件的集合，通过所以必然是的约数，然后一一列举出来，即可．
本题是中档题，考查集合的参数的讨论，集合中元素的性质，考查逻辑推理能力，计算能力．
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