2023-2024学年浙江省嘉兴市平湖市重点中学高一（上）段考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年浙江省嘉兴市平湖市重点中学高一（上）段考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，，则( )
A. ：， B. ：，
C. ：， D. ：，
4.下列四个函数中，在上单调递减的是( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，则( )
A. B.
C. D.
7.已知，，且，则的最小值是
( )
A. B. C. D.
8.若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.设，，，且，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列不等式的解集为的是( )
A. B.
C. D.
11.对于，，下列不等式中不正确的是( )
A. B.
C. D.
12.下列说法正确的是( )
A. 若对任意实数都成立，则实数的取值范围是
B. 若时，不等式恒成立，则实数取值范围为
C. 若，，且，则的最小值为
D. 已知函数，若，则实数的值为或
二、非选择题（共90分）
13.函数的定义域为______ ．
14.写出一个使“”成立的充分条件为______ ．
15.函数的值域为______ ．
16.记表示、、三个数中的最小值，若，则的最大值为______ ．
17.已知集合．
求集合．
．
18.已知集合，，
若，求实数的取值范围．
若，求实数的取值范围．
19.已知，函数．
当时，画出的图像，并写出的单调递增区间；
当时，求在区间上的最小值．
20.已知，．
用定义判断并证明函数在上的单调性；
若，求实数的取值范围．
21.上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字型地域，计划在正方形上建一座“观景花坛”，造价为元，在四个相同的矩形上图中阴影部分铺花岗岩地坪，造价为元，再在四个空角如等上铺草坪，造价为元设长为，长为．
写出与满足的等量关系式；
设总造价为元，求当为何值时，最小？并求出这个最小值．
22.若存在常数，使得函数与在给定区间上的任意实数都有，，则称是与的分隔直线函数当时，被称为双飞燕函数，被称为海鸥函数．
当时，取求的解集；
判断：当时，与是否存在着分隔直线函数若存在，请求出分隔直线函数解析式；若没有，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了并集运算．
由与，求出两集合的并集即可．
【解答】
解：，，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B错误；
对于，，故C正确；
对于，，故D错误．
故选：．
根据元素与集合的关系，以及空集的定义判断即可．
本题主要考查了元素与集合的关系，考查了空集的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据全称命题的否定方法
当命题：，时，
：，
故选：．
全称命题的否定为特殊命题，即前面的量词为，而结论的否定为，由此可得答案．
本题考查的知识点是全称命题，熟练掌握全称命题的否定方法，即否定量词，也否定结论是解答的关键．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是一次函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，是二次函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，是反比例函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，在上单调递减，符合题意．
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，所以“”是“”的充分条件；
又，当时，，所以“”是“”的不必要条件；
故选：．
由，但由，当时，，故“”是“”的充分不必要条件．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：令，则，且，，
，即．
故选：．
利用换元法求解析式即可．
本题考查利用换元法求解析式，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了“乘法”与基本不等式的性质，属于基础题．
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：已知，，且，
则，
当且仅当且，即，时取等号，
则的最小值为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，
为减函数，
，即
故选：．
由确定单调性，再根据分段函数列不等式组即可得结果．
本题主要考查函数的单调性，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：取，，，时不成立．
B.取，，，时不成立．
C.取，，，时不成立．
D.由不等式的基本性质可得：．
故选：．
对于：取，，，时不成立．
D.由不等式的基本性质即可判断出结论．
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，解集为，A正确；
，解集为，B正确；
解集为或，C错误；
等价于，解集为且，D错误．
故选：．
分别求出一元二次不等式的解集判断即可．
本题考查一元二次不等式的求解，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，取，可得，，不满足，故错误；
选项B，由基本不等式可得，变形可得，当且仅当时取等号，故正确；
选项C，由基本不等式可得，平方可得，当且仅当时取等号，故正确；
选项D，作差可得，当且仅当时取等号，故正确．
故选：．
选项A取反例可得，选项BC由基本不等式可得，选项D作差法可得．
本题考查不等式比较大小，涉及基本不等式和作差法，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于：若对任意实数都成立，则在上恒成立，
当时，，满足题意，
当时，在上恒成立，则，解得，故A错误；
对于：由对勾函数的性质得函数在上单调递增，
则当时，，
故当恒成立，则实数取值范围为，故B错误；
对于：，，且，则，
则，
当且仅当，即，时等号成立，故C正确；
对于：若，则，满足题意，
若，则，满足题意，故D正确．
故选：．
对于：根据具体函数定义域结合已知得出在上恒成立，即可根据含参一元二次不等式恒成立的解法分类讨论，即可得出答案；
对于：根据对钩函数的性质得出若时，，即可得出答案；
对于：根据已知得出，变形得，利用基本不等式，即可得出答案；
对于：根据分段函数求函数值判断的值为或是否满足题意．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：要使函数有意义，则，
解得，
即函数的定义域为，
故答案为：
根据函数成立的条件，即可得到结论．
本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：由一定能推出，所以使“”成立的充分条件为．
故答案为：答案不唯一．
根据充分条件的定义，结合不等式的性质进行求解，即可得到本题的答案．
本题主要考查了不等式的性质、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
则在上单调递减，
故，
故的值域为．
故答案为：．
根据已知条件，先对变形，再结合函数的性质，即可求解．
本题主要考查函数值域的求解，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：在同一直角坐标系中分别作出，和在时的函数图象，
如图所示：
由图象可得，当时，，
当时，，
所以当时，的最大值为．
故答案为：．
在同一直角坐标系中分别作出，和在时的函数图象，数形结合即可得答案．
本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：．
，
，或，
．
【解析】由题意，把分式不等式转化为与之等价的一元二次不等式，可求出的范围，从而得到．
先求出和，可得．
本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，集合间的运算，属于基础题．
18.【答案】解：集合，
，，
，
解得，
即实数的取值范围为；
，，
当时，，解得，
当时，则，无解，
综上所述，实数的取值范围为．
【解析】先求出集合，由可得，从而列出不等式组，求出的取值范围；
由可得，再分和两种情况讨论，求出的取值范围，最后取并集即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
19.【答案】解：当时，，
作图：
由图像可得的单调递增区间为，．
当时，，作图如下：
当时，最小值为；
当时，最小值为．
【解析】当时，，从而可得函数图像，进而可得函数的单调递增区间；
当时，，作出图像，分类讨论即可求解最值．
本题主要考查函数的单调性与函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：根据题意，在上为增函数，
证明：设，
则，
又由，则，，
故，
则在上为增函数，
若，则有，
解可得：，
故的取值范围为．
【解析】根据题意，设，由作差法分析可得结论；
根据题意，由函数的定义域和单调性可得，解可得的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
21.【答案】解：由已知十字形区域面积为矩形面积的倍与正方形面积之和，
则与满足的等量关系式为：．
由得，
，
，
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以当最小为元．
【解析】由十字形区域面积为矩形面积的倍与正方形面积之和可得关系式：
根据题意计算出总造价，利用可得关系式，然后可得所求范围．
本题主要考查函数的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：，时，，
可化为，即，
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，不等式的解集为或；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
若，，当时，
恒成立，恒成立，
则是与的分隔直线函数；
若，，当时，
恒成立，恒成立，
则是与的分隔直线函数；
综上所述，与的分隔直线函数解析式为．
【解析】将不等式转化为，对分类讨论解不等式；
对，分类讨论找出介于两个函数值之间的函数解析式．
本题考查函数解析式的求解及函数与不等式的综合应用，属中档题．
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