2024年广东省普通高中数学科学业水平考试模拟试题三
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设,则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.高二（1）班人宿舍中每个同学的身高分别为，，，，，，，求这人的第百分位
数为( )
A. B. C. D.
4.若正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知向量若与垂直，则实数( )
A. B. C. D.
6.三个数，，的大小顺序是( )
A. B. C. D.
7.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.有下列四个命题：
①若，，则且；②若，，，，则；
③若，，，则；④若，，则.
其中正确的命题有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.抽查件产品,记事件:至少有两件次品,则的对立事件为( )
A. 至多有两件次品 B. 至多有一件次品 C. 至多有两件正品 D. 至少有两件正品
9.在空间立体几何中，已知直线，，，则“且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
10.设是方程的解,则属于区间( ).
A. B. C. D.
11.已知函数，则( )
A. B. C. D.
12.已知函数（其中，若的图像如图所示，则函数的图像大致为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13.函数的定义域是____.
14.函数的图象恒过点____.
15.若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为____.
16.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：2：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的
样本，样本中A种型号产品有18件．那么此样本的容量n=____．
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，b=1，B=30°，则角C=____．
18.圆心在原点上与直线相切的圆的标准方程为____.
三、解答题：本大题共4小题，19-21题10分，22题12分，共42分.
19.已知的内角，，的对边分别为，，，且.(1)请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求
的值；①，；②，.(2)若，，求的面积.
20. 某地统计局就该地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左
端点，不包括右端点，如第一组表示收入在）．(1)求居民月收入在的频率；(2)根据频率分布
直方图算出样本数据的中位数；(3)在月收入为，，的三组居民中，采用分层抽样
方法抽出人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？
21.某服装厂“花费2万元购买某品牌运动装的生产销售权，每生产1百套成本为1万元，每生产x（百套）的销售额
万元满足：（1）该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润多少万元？
（2）该服装厂生产多少套此种品牌运动装可获得利润最大？此时，利润为多少万元？
22.如图，在四棱锥中，平面，是平行四边形，，、交于点，
是上一点.(1)求证：.(2)已知，若为的中点，求三棱锥的体积.2024年广东省普通高中数学科学业水平考试模拟试题三答案
一、选择题
1.A解：集合，，．故选：A．
2.C解：,对应的点的坐标为,位于第三象限,故选C.
3.B解：将人的身高从低到高排列：，，，，，，，，第个数据为所
求的第百分位数，即这人的第百分位数为，故选B.
4.C解：根据题意，若正实数，，满足，则，当且仅当，
即，时等号成立，所以的最小值为；故选：C.
5.A解：且解得：
6.D解：由已知得：，，所以．故选D．
7.B解：，，则还可能在平面或平面内，所以①错误；②中只有当时才成立，所以②错误；
由面面垂直的判定定理可知③正确；若，，则或，所以④错误.
8.B解："至少有两件次品"的对立事件即为排除两件及两件以上次品的所有情况,所以为"至多有一件次品".
9.D解：此题最好的方法是拿出橡皮作为一个长方体模型进行比对，结果轻松可得.
10.C解：设可得：由零点存在性定理可知.故选C.
11.A解：将代入符合范围的解析式中求解即可，则，故选：A．
12.A解：根据的图像，得到，，进而可得出结果.由的图像可知，，，观察图像可知，答案选A.
二、填空题
13.解：要使函数有意义，需满足解得：且.
14.解：由对数恒等式令解得：此时的值为故其图象必过点
15.解：（弧度），所以，故答案为：.
16.60解：由题意知，总体中中A种型号产品所占的比例是=，因样本中A种型号产品有18件，则×n=18，解
得n=60．故答案为：60．
17.105°或15°解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，b=1，B=30°，利用正弦定理：，
解得：sinA===，所以或，
①当时，
②当时，综上，或故答案为：或
18.解:圆心到直线的距离：，所求圆的标准方程为.故答案为：.
三、解答题.
19.解：(1)选择条件①，.由余弦定理，得，即，所以或，，，由正弦定理，得.选择条件②，，由余弦定理得，，由正弦定理，得.
(2)由余弦定理得，所以，
得，所以.
20.解：(1)对应小矩形的面积：，所以居民月收入在的频率为；
(2)设中位数为，，解得，所以中位数的估计值为；
(3)收入在的人数为，收入在的人数为
，收入在，的人数为，分层抽样，在月收入在这段应抽取的人数为：．
21.解：（1）该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润为：R（7.5）-1×7.5-2==3.5，∴生产750套此种品牌运动装可获得利润3.5万元；
（2）由题意，每生产x （百件）该品牌运动装的成本函数G（x）=x+2，∴利润函数f（x）=R（x）-G（x）=．当0＜x≤5 时，f（x）=-0.4x2+3x-3，故当x=3.75百套时，f（x） 的最大值为．
当x＞5 时，f（x）=10-[（x-3）+]≤4．故当x-3=，即x=6 时，f（x） 的最大值为4．∴生产600件该品牌运动装利润最大是4万元．
22.解：(1)平面，平面，.又为菱形，，又，平面，平面，.
(2)由（1）知平面，所以.
