2023-2024学年海南省琼海市重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年海南省琼海市重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.命题：“”，命题：“”，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.集合论是德国数学家康托尔于世纪末创立的在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，例如：，则对于任意两个有限集合，，有某校举办运动会，高一班参加田赛的学生有人，参加径赛的学生有人，两项都参加的有人，那么高一班参加本次运动会的人数共有( )
A. B. C. D.
5.设全集，或，或都是的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A. 或
B.
C. 或
D.
6.若正实数，满足则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是( )
A. 或 B.
C. D. 或
8.对非空有限数集定义运算“”：表示集合中的最小元素现给定两个非空有限数集，，定义集合，我们称为集合，之间的“距离”，记为现有如下四个命题：
若，则；
若，则；
若，则；
对任意有限集合，，，均有．
其中，真命题的是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列关系中，正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列命题正确的有( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
11.命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
12.已知正实数，满足，下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.集合的真子集的个数是______ ．
14.当时，若在时取得最小值，则 ______ ．
15.若关于的不等式的解集为，则 ．
16.对，恒成立，则实数的范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
求下列不等式的解集：
；
．
18.本小题分
已知全集，集合，集合．
当时，求，，B.
设，若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知，，且，求的最大值；
已知，求的最小值．
20.本小题分
已知命题“，不等式”成立是假命题．
求实数的取值集合；
设，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
21.本小题分
推行垃圾分类以来，某环保公司新上一种把余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目设该公司每日处理厨余垃圾的成本为元，日处理量为吨，经测算，当时，；当时，，且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值元的化工产品的收益．
当日处理量为吨时，该公司每日的纯收益为多少？纯收益总收益成本
该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？
22.本小题分
已知函数．
当时，解不等式；
若不等式的解集为，若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题，的否定是：，．
故选：．
对原命题“改量词，否结论”即可求得结果．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：不等式，解得：，
因为，
所以是的充分不必要条件．
故选：．
首先求解不等式的解集，再根据集合的包含关系，即可判断选项．
本题主要考查充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设参加田赛的学生组成集合，参加径赛的学生组成集合，
则，，，
，
即高一班参加本次运动会的人数共有人．
故选：．
利用公式求解即可．
本题主要考查了集合中元素个数的计算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：全集，或，
，
阴影部分所表示的集合为或，
故选：．
先求出，再根据阴影部分所表示的集合为求解即可．
本题主要考查了补集、交集的求法，考查了韦恩图的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，所以．
因为，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，
因此，代数式的最小值为．
故选：．
根据基本不等式，结合“”的代换进行求解，即可得到本题的答案．
本题主要考查了不等式的性质、利用基本不等式求函数的最值等知识，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为不等式的解集是，
所以，，
所以关于的不等式可转化为，
即，解得，
故不等式的解集是．
故选：．
根据一元一次不等式解集的性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：对于，若，则，中最小的元素相同，，故为真命题；
对于，取集合，，满足，
而，故为假命题；
对于，若，则，中存在相同的元素，
，故为真命题；
对于，取集合，，，
则，，，不成立，故为假命题．
故选：．
根据题中条件，结合新定义判断；通过举反例判断．
本题考查新定义、元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：表示整数集，表示实数集，表示有理数集，表示自然数集，
故选：．
记住各数集所对应的字母，是本题的关键．
本题考查了元素和集合之间的关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，令，，满足，但，故A错误，
对于，，，
，故B正确，
对于，令，，，满足，但，故C错误，
对于，，当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合特殊值，基本不等式公式，以及不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，掌握基本不等式公式和特殊值法是解本题的关键，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：若，为真命题，得，即，
则成立的充分不必要条件，为的真子集，
故，都满足条件，
故选：．
先求出命题为真命题的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义与集合关系进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出集合为真命题的等价条件是解决本题的关键，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：选项A，因为，且，为正实数，
所以，即，所以，即的最大值为，当且仅当时取等号，故A错误；
选项B，因为，且，为正实数，
所以，解得，当且仅当时取等号，所以的最小值为，即B正确；
选项C，因为，所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号，即C正确；
选项D，由，知，
所以，当且仅当，即时，等号成立，即D正确．
故选：．
选项A，由，解不等式，即可；
选项B，由，解不等式，即可；
选项C，分解因式可得，再配凑，然后结合基本不等式，得解；
选项D，易知，再将所求式子换成关于的式子，利用基本不等式，得解．
本题考查基本不等式的应用，熟练掌握配凑法，基本不等式“一正二定三相等”的使用条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
根据子集个数的结论，可得的真子集的个数是，
故答案为：．
先化简，再根据子集个数的结论即可求解．
本题考查子集个数的结论，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，则，当且仅当，即时取等号，
若在时取得最小值，则，否则函数没有最小值，
故，即．
故答案为：．
由已知结合基本不等式及等号成立的条件即可求解．
本题主要考查了基本不等式及等号成立条件在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次不等式的应用，将不等式转化为一元二次方程是解决本题的关键．
利用一元二次不等式的解集和对应方程之间的关系，将不等式转化为为一元二次方程根的问题进行求解即可．
【解答】
解：的解集为，
和是对应方程的两个根，且，，
根据根与系数之间的关系得，，
即，
解得或舍去，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：对，恒成立，
当时，可得，
若，则有，合乎题意；
若，则有，解得，不合乎题意；
若，则，解得，
综上，实数的范围为．
故答案为：．
分，两种情况，利用判别式可得答案．
本题考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
17.【答案】解：，即，解得或，
故原不等式的解集为或；
，
则，解得或，
故原不等式的解集为或．
【解析】根据已知条件，结合一元二次不等式的解法，即可求解．
本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
18.【答案】解：当时，，，
所以；，或；
因为，则，
由知，，
因为，
所以，
则，解得，
所以实数的取值范围是．
【解析】根据已知条件，结合交集、并集、补集的定义，即可求解；
根据已知条件，结合交集的定义，并分类讨论，即可求解．
本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题．
19.【答案】解：由，，
可得，所以，
当且仅当，时，取得最大值；
若，则，
当且仅当时，取得最小值．
【解析】直接运用基本不等式，得到关于的不等式，再确定的最大值即可；
将函数的式子展开，再运用基本不等式求出最小值．
本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，是一道基础题．
20.【答案】解：因为命题“，不等式”成立是假命题，
所以它的否定“，不等式”是真命题，
所以，解得，
所以集合．
因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，
又因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
【解析】根据命题与它的否定一真一假，写出该命题的否定，利用判别式列出不等式求解即可．
根据题意知集合是集合的真子集，由此列出不等式求出实数的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了充分条件与必要条件的应用问题，是基础题．
21.【答案】解：当时，收益为元，成本为元，
纯收益为元；
设日纯收益为，
当时，，
当时，日纯收益最大，最大值为元，
当时，，
当时，取得最大值为，
，
该公司每日处理的余垃圾为吨时，获得的日纯收益最大．
【解析】根据题意直接求解；
当时，，利用一次函数的性质求出的最大值，当时，，利用二次函数的性质求出的最大值，再比较取最大者即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，属于中档题．
22.【答案】解：因为函数，所以不等式可化为，即；
当时，即时，不等式为，解得；
当时，即时，不等式为，因为，所以解不等式得，或；
当时，即时，不等式为，
因为，所以，所以，解不等式得；
综上知，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为
因为不等式的解集为，且，
所以对任意的，不等式恒成立，即恒成立，
因为恒成立，所以恒成立，
设，，则，所以，
因为，当且仅当，即时取“”，
所以，当且仅当时取“”，
所以当时，的最大值为，
所以的取值范围是．
【解析】分，和三种情况讨论，从而求出不等式的解集；
根据题意得出对任意的，不等式恒成立，转化为不等式恒成立，再构造函数，求出函数的最大值即可．
本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是难题．
第1页，共1页