数学核心素养2023—2024学年苏科版数学八年级上册第三章 勾股定理小结与思考 学案（无答案）

2023年秋学期八年级数学学案
课题：第三章小结与思考 班级： 姓名： 学号：
〖自学自练展素养〗
【学习目标】
基础目标：能运用勾股定理及逆定理解决实际问题．
提高目标：感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)．
【知识梳理】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°则直角边a,b,和斜边c 满足的关系式为 .
2. △ABC的边长分别为a，b，c，若a +b = c ，则它是 三角形，其中∠ =90°.
3.写出三组常见的勾股数 .
〖研学随练展收获〗
一.【基础练习】
1.填写下列图形中未知正方形的面积：
(
64
36
S
)
S =______ ；
（ 第1题） （ 第2题）
2. 如图，△ABC中∠ACB=90°，
(1) 若∠B=30°，AC=4，则AB= ，中线 CD=
(2)若AC=5,BC=12,则AB= ，AB边上的高为 .
3.若三角形的三边为1.5、2、2.5、则此三角形为 三角形.
二.【问题探究】
问题1．（1）在Rt△ABC中，∠C=90°.
①若a=3,b=4，则c= ；
②若c=34,a:b=8:15，则 a= ,b= ；
（2）已知三角形的三边长为 9 ,12 ,15 ,则这个三角形的最大角是 度;
（3）若△ABC中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,则AC边上的高长为 ;
问题2．分类思想
（1）已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,则X2=
（2）三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC
问题3．方程思想
（1）小东拿着一根长竹竿进一个宽为３米的城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高１米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少？
（2）在一棵树的10米高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高？
三.【变式拓展】
问题4．展开思想
1.如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？
2.如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是100cm，15cm和10cm，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短路程是________．
【检学综练展成效】
1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是_________.
(
第
4
题
)
三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
4.如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积
= .
(
A
B
C
D
E
C
＇
)5.将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C＇处，BC＇交AD于E，AD=8，AB=4，
（1）△BED是 三角形，并说明理由.
（2）求△BED的面积.
6、如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°.
(1)判断∠D是否是直角，并说明理由．
(2)求四边形ABCD的面积．
7.如图，铁路A、B两站相距25km，C、D是两个工厂，位于铁路的同侧，其中，，且AC=15km，BD=10km
（1）尺规作图，在铁路AB上找一个点E建中转站，使得CE=DE，请作出这个点.
(
A
C
B
D
)（2）此时中转站E距A站多远
【校本作业】
一、必做题
1.在RtΔABC中,∠C=900（1）a=40,c=41,则b=______. （2）若a:c=6:10,c=20,则a=____,b=____ 2.若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm, 那么它的面积为 cm2.
3．若三角形的三边长a、b、c满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）．
（A）锐角三角形 （B）钝角三角形
（C）直角三角形 （D）何类三角形不能确定
4.“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130米，这辆小汽车超速了吗？（提示：1米/秒=3.6千米/小时）
我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的 小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么你能求出(a+b)2 的值吗？
二、选做题
6、如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长
三、拓展题
如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
(1) 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
(2) 若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．