第1章勾股定理 综合训练题（含解析） 2023-20204学年北师大版八年级数学上册

2023-20204学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》
综合训练题（附答案）
一、选择题
1．由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝4，b＝5，c＝6
2．现有一底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形笔筒，小鹿将一根长度为14cm的铅笔放置其中，则铅笔上端露出笔筒的最短长度为（　　）
A．0cm B．1cm C．2cm D．3cm
3．将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形（　　）
A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形
C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形
4．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（　　）
A．8 B．14 C．20 D．26
5．如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝11，AD＝12，则AB的长度为（　　）
A．15 B．16 C．18 D．20
6．如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，过点C作DC⊥AC且DC＝1，再过点D作ED⊥AD且ED＝1，则AE的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
7．如图，点A、B、C在正方形网格格点上，则∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．40° D．60°
8．如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC＝8，则BC的长为（　　）
A．4 B．6 C． D．
二、填空题
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝12，CD＝13，且∠B＝90°，则图中的凹四边形DABC的面积为　 　．
11．如图，露在水面的鱼线BC长为3m，钓鱼者把鱼竿AC提起到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为4m，若BB'的长为1m，则钓鱼竿AC的长为 　 　m．
12．请写出一组勾股数　 　（三个数都要大于10）．
13．如图，长方形ABCD中，AB在数轴上，AB＝3，BC＝1，若以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M的表示的数为 　 　．
14．如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为1，两边的正方形面积分别是S1，S2，则：S1+S2＝　 　．
15．如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　cm．
三、解答题
16．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前两正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理．
请根据上述信息回答下列问题：
（1）图②所示的割补过程为：割①补 　 　；割 　 　补⑥；割③补 　 　；
（2）将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形边长为2，且大正方形的边长为10，试计算其中一个直角三角形的周长．
17．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．
（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．
18．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．
19．如图，在离水面高8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问此时船与岸边的距离比原来近了多少米？（假设绳子是直的）
20．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为边BC上一点，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，DE，PE分别交AB于点F，G，已知GE＝GB．
（1）试说明：△GEF≌△GBP；
（2）求BF的长；
（3）求△EFG的面积．
参考答案
一、选择题
1．解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故选项错误；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故选项正确；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选：C．
2．解：当铅笔与笔筒及笔筒的高构成直角三角形时h最小，
如图所示：AB13（cm），
故h＝13﹣12＝1（cm）．
故选：B．
3．解：根据题意，新三角形与原三角形对应边成比例，
所以两个三角形相似，
所以得到的三角形仍然是直角三角形．
故选：C．
4．解：∵AC⊥BD，
∴AB2＝AO2+BO2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝BO2+CO2，AD2＝OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝BC2+AD2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝42+22＝20，
故选：C．
5．解：∵AD⊥BC，
∴∠D＝90°，
在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12，
∴CD，
∵BC＝11，
∴BD＝BC+CD＝11+5＝16，
在Rt△ABD中，AB，
故选：D．
6．解：在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，
∴BC＝AB＝1，
∴AC，
∵DC⊥AC，DC＝1，
∴AD，
∵ED⊥AD且ED＝1，
∴AE，
故选：B．
7．解：连接AB，
设每个小正方形的边长为a，
ABa，BCa，ACa，
∴AB＝BC，AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝∠CAB，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝∠CAB＝45°，
故选：B．
8．解：如图所示，
∵PB＝AB＝6，AQ＝2，
∴BQ＝6+2＝8，
∴PQ10．
答：蚂蚁爬行的最短路程是10．
故选：C．
9．解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a+b＝8，c2＝a2+b2，HG＝c﹣b，DG＝c﹣a，
则阴影部分的面积S＝HG DG＝（c﹣b）（c﹣a）＝2，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴ab＝32，
∴S＝c2﹣c（a+b）+ab＝c2﹣8c+322，
解得c1＝6，c2＝10（舍去）．
故选：B．
二、填空题
10．解：连接AC，如图所示：
∵∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，且AB＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理得：AC5，
又∵AC2+AD2＝52+122＝25+144＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，即△ACD为直角三角形，
则图中的凹四边形DABC的面积S＝S△ACD﹣S△ABCAC ADAB BC＝30﹣6＝24．
故答案为：24．
11．解：设AB'＝x，
∵AC'＝AC，
∴AB'2+B'C'2＝AB2+BC2，
即x2+42＝（x+1）2+32，
解得：x＝3，
∴AB＝3+1＝4，
∴，
故答案为：5．
12．解：∵162+122＝202，
∴16，12，20是一组勾股数．
故答案为：16，12，20（答案不唯一）．
13．解：∵AB＝3，BC＝1，
∴AC，
∵点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，
AM＝AC，
∵A点表示﹣1，
∴M点表示的数为：1，
故答案为：1．
14．解：如图，
∵a、b、c都是正方形，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴AB＝CE，BC＝DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2，
即Sb＝Sa+Sc＝1，
∴S1+S2＝1．
故答案为：1．
15．解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′C，则A′C即为最短距离，
∵底面周长为18cm，
∴A'D＝9cm，
∴A′C2＝A′D2+CD2，
＝92+122，
＝225，
∴CA′＝15cm，
答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是15cm；
故答案为15．
三、解答题
16．解：（1）如图②，∵四边形ABDE、四边形BCHL、四边形ACFG都是正方形，
∴∠GAC＝∠ABD＝∠BCE＝∠AED＝90°，AC＝AG＝a，AB＝AE＝BD＝DE＝c，BC＝CH＝BL＝b，
∴∠BAC＝∠EAG＝90°﹣∠CAE，
∴△ABC≌△AEG（SAS），
∴BC＝EG＝b，∠ABC＝∠AEG，
∵AC∥FG，
∴∠CAE＝∠AEG，
∵∠QAH+∠CAE＝90°，∠PEF+∠AEG＝90°，
∴∠QAH＝∠PEF，
∵AH＝EF＝a﹣b，∠AHQ＝∠F＝90°，
∴△AHQ≌△EFP（ASA），
∴割①补④；
∵DK⊥BF，
∴∠BKD＝∠G＝90°，
∵∠KBD+∠ABC＝90°，∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠KBD＝∠GAE，
∴△KBD≌△GAE（AAS），
∴割⑤补⑥；
∵DE∥AB，BC∥HL，
∴∠DPK＝∠ABC＝∠BQL，
∵∠DKP＝∠L＝90°，DK＝EG＝BL＝b，
∴△DKP≌△BLQ（AAS），
∴割③补②，
∴故答案为：④，⑤，②.
（2）如图②，∵小正方形边长为2，且大正方形的边长为10，
∴a﹣b＝2，c＝10，
∴a2+b2＝c2＝100，
由a﹣b＝2得a2+b2﹣2ab＝4，
∴100﹣2ab＝4，
∴2ab＝96，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∵a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴a+b+c＝14+10＝24，
∴其中一个直角三角形的周长是24．
17．（1）证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3，
∴AC＝6，BC＝8，
∵AB＝10，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，
∴AC2+CD2＝AD2，BC2+CE2＝BE2，
∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，
∴CDBC，CEAC，
∴AC2+（BC）2＝36，BC2+（AC）2＝64，
∴AC2BC2＝100，
∴AC2+BC2＝80，
∴AB4．
18．解：（1）在Rt△MNB中，BN90（m），
∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160（m），
在Rt△AMN中，AM200（m），
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350（m）；
（2）∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m，
∴AB2＝BM2+AM2，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m．
19．解：在 Rt△ABC中，
∵∠CAB＝90°，BC＝17m，AC＝8m，
∴．
依题意得CD＝17﹣1×7＝10m．
在 Rt△CAD中，，
DB＝15﹣6＝9m．
答：船离岸边距离比原来近了9m．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
由翻折的性质可知，∠E＝∠C＝90°，
∴∠E＝∠B，
在△GEF和△GBP中，
，
∴△GEF≌△GBP（ASA）；
（2）解：∵△GEF≌△GBF，
∴BF＝EF，FG＝GF，
∵GE＝GB，
∴BF＝PE，
设BF＝EF＝x，则PC＝PE＝BF＝3﹣x，
∵DE＝DC＝4，
∴DF＝4﹣x，
∵AF＝AB﹣BF＝4﹣（3﹣x）＝1+x，∠A＝90°，
∴AD2＝AF2+DF2，
∴32+（1+x）2＝（4﹣x）2，
∴x，
∴BF＝CP＝3；
（3）解：∵∠A＝∠E＝90°，∠AFD＝∠EFG，
∴AD＝3，AF＝1，EF，
∴，
∴EG，
∴S△EFG EF EG．