4.1数列的概念（共2课时）(共65张PPT)高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册课件

(共65张PPT)
人教A版（2019）高中数学选择性必修二
4.1 数列的概念
第一课时
问题 1：德国天文学家提丢斯 (Titius，1729—1796) 通过对一列数
3，6，12，24，48，96， 192，… 的研究，得出太阳到行星平均距离的经验定律， 他发现： ①后一个数字恰好是前一个数字的 2 倍； ②将 0 加在这列数字的最前面得到,
水星 金星 地球 火星 木星 土星 ......
实际距离 0.39 0.72 1.0 1.52 5.2 9.5 ......
计算距离 ......
0，3，6，12，24，48，96， 192，…
0.4
0.7
1.0
1.6
2.8
5.2
10.0
19.6
（注：表中的数据为天文单位，1个天文单位=太阳到地球的距离）
2.7
19.2
谷神星
天王星
再将每个数字加 4 除以 10,得出另一列数字：
如果你是天文学家，通过这列数，你有什么大胆的猜测？
情景导入
数列
概念
表示
表格
图象
通项公式
递推公式
特殊数列
等差数列
等比数列
类比
概念
前n项和
通项公式
应用
结构导图
问题 2：如何研究“数列”这一新的概念？
事实
定义
表示方法
性质
特殊元素
建构新知—研究路径
（1）：王芳从 1 岁到 17 岁每年的身高依次排成一列数：
75，87，96，103，110， 116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
（2）：在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第 1 天到第 15 天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数
这也是具有确定顺序的一列数吗？
建构新知—形成概念
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
一、数列的概念
追问1： 1，3，5，7 和 7，5，3，1 这两个数列是不是同一个数列？
追问2： 1，1，1，1 是一个数列吗？
问题 4：如何用一般的符号表示数列？
不是
是
建构新知—形成概念
二、数列的符号表示
数列的一般形式：
简记为数列
首项
第2项
第n项
追问：在数列中，符号 所表示的意义是否相同？
问题 5：对于不同的数列，其项数有什么特点？
（1）75，87，96，103，110， 116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
（2）5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240
三、数列的分类
有穷数列：项数有限的数列
无穷数列：项数无限的数列
（3）
建构新知—概念表示
问题 6：数列 中的各项 与各项序号k（k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是什么关系？
序号
项
函数关系
追问： 和 是同一个数列吗？你能否从函数的角度解释一下？
因为定义域不同，所以它们不是同一个数列。
建构新知—概念辨析
四、数列与函数的关系
数列的定义域是正整数集(或正整数集的有限子集)，值域是 R 的子集，
数列是从正整数集(或正整数集的有限子集)到 R 的函数。
问题 7：数列 有哪些表示方法？
事实
定义
表示方法
性质
特殊元素
：列表法、图像法、解析式法
建构新知
问题 7：数列 有哪些表示方法？
列表法、图像法、解析式法
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
建构新知
追问1 ：数列的图像有什么特点？
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
追问2：类比函数的解析式，数列有怎样的解析式呢？
数列的图像是由一系列离散的点构成的。
为什么？
建构新知
如果数列{an}的_________与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个数列的通项公式．
第n项an
序号n
五、数列的通项公式
追问1 ：数列的通项公式有什么作用？
根据数列的通项公式可以写出数列的每一项
建构新知
问题 8：数列的单调性是怎样定义的？
事实
下定义
表示方法
性质
特殊元素
建构新知
问题 8：数列的单调性是怎样定义的？
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
建构新知
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列；
另外：常数列： 各项相等的数列
六、数列的单调性
建构新知
例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
n 1 2 3 4 5
an
（1）
（2）
n 1 2 3 4 5
an 1 0 -1 0 1
1 3 6 10 15
追问1 ：你能判断（1）数列的单调性吗？
巩固应用
例2 . 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
摆动数列:
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
巩固应用
05
课堂小结
1、本节课我们经历了怎样的一个学习数列的过程？
事实
定义
表示方法
性质
特殊元素
2、我们学习了哪些新知识、新的数学思想、方法？
结构再望：除了利用数列的通项公式能写出数列的每一项，还有其他途径吗？
1）数列的概念
2）数列的符号表示
3）数列的分类
（数列是特殊的函数）
4）数列的表示方法
5）数列的通项公式
特殊到一般的思想，类比的方法
课堂小结
基础练习：教材P5 T1 T2
拓展练习：教材P5 T3 T4
课后作业
人教A版（2019）高中数学选择性必修二
4.1 数列的概念
第一课时
问题 1：德国天文学家提丢斯 (Titius，1729—1796) 通过对一列数
3，6，12，24，48，96， 192，… 的研究，得出太阳到行星平均距离的经验定律， 他发现： ①后一个数字恰好是前一个数字的 2 倍； ②将 0 加在这列数字的最前面得到,
水星 金星 地球 火星 木星 土星 ......
实际距离 0.39 0.72 1.0 1.52 5.2 9.5 ......
计算距离 ......
0，3，6，12，24，48，96， 192，…
0.4
0.7
1.0
1.6
2.8
5.2
10.0
19.6
（注：表中的数据为天文单位，1个天文单位=太阳到地球的距离）
2.7
19.2
谷神星
天王星
再将每个数字加 4 除以 10,得出另一列数字：
如果你是天文学家，通过这列数，你有什么大胆的猜测？
情景导入
数列
概念
表示
表格
图象
通项公式
递推公式
特殊数列
等差数列
等比数列
类比
概念
前n项和
通项公式
应用
结构导图
问题 2：如何研究“数列”这一新的概念？
事实
定义
表示方法
性质
特殊元素
建构新知—研究路径
（1）：王芳从 1 岁到 17 岁每年的身高依次排成一列数：
75，87，96，103，110， 116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
（2）：在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第 1 天到第 15 天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数
这也是具有确定顺序的一列数吗？
建构新知—形成概念
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
一、数列的概念
追问1： 1，3，5，7 和 7，5，3，1 这两个数列是不是同一个数列？
追问2： 1，1，1，1 是一个数列吗？
问题 4：如何用一般的符号表示数列？
不是
是
建构新知—形成概念
二、数列的符号表示
数列的一般形式：
简记为数列
首项
第2项
第n项
追问：在数列中，符号 所表示的意义是否相同？
问题 5：对于不同的数列，其项数有什么特点？
（1）75，87，96，103，110， 116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
（2）5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240
三、数列的分类
有穷数列：项数有限的数列
无穷数列：项数无限的数列
（3）
建构新知—概念表示
问题 6：数列 中的各项 与各项序号k（k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是什么关系？
序号
项
函数关系
追问： 和 是同一个数列吗？你能否从函数的角度解释一下？
因为定义域不同，所以它们不是同一个数列。
建构新知—概念辨析
四、数列与函数的关系
数列的定义域是正整数集(或正整数集的有限子集)，值域是 R 的子集，
数列是从正整数集(或正整数集的有限子集)到 R 的函数。
问题 7：数列 有哪些表示方法？
事实
定义
表示方法
性质
特殊元素
：列表法、图像法、解析式法
建构新知
问题 7：数列 有哪些表示方法？
列表法、图像法、解析式法
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
建构新知
追问1 ：数列的图像有什么特点？
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
追问2：类比函数的解析式，数列有怎样的解析式呢？
数列的图像是由一系列离散的点构成的。
为什么？
建构新知
如果数列{an}的_________与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个数列的通项公式．
第n项an
序号n
五、数列的通项公式
追问1 ：数列的通项公式有什么作用？
根据数列的通项公式可以写出数列的每一项
建构新知
问题 8：数列的单调性是怎样定义的？
事实
下定义
表示方法
性质
特殊元素
建构新知
问题 8：数列的单调性是怎样定义的？
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
建构新知
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列；
另外：常数列： 各项相等的数列
六、数列的单调性
建构新知
例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
n 1 2 3 4 5
an
（1）
（2）
n 1 2 3 4 5
an 1 0 -1 0 1
1 3 6 10 15
追问1 ：你能判断（1）数列的单调性吗？
巩固应用
例2 . 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
摆动数列:
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
巩固应用
2、我们学习了哪些新知识、新的数学思想、方法？
结构再望：除了利用数列的通项公式能写出数列的每一项，还有其他途径吗？
1）数列的概念
2）数列的符号表示
3）数列的分类
（数列是特殊的函数）
4）数列的表示方法
5）数列的通项公式
特殊到一般的思想，类比的方法
课堂小结
基础练习：教材P5 T1 T2
拓展练习：教材P5 T3 T4
课后作业
05
课堂小结
1、本节课我们经历了怎样的一个学习数列的过程？
事实
定义
表示方法
性质
特殊元素
人教A版（2019）高中数学选择性必修二
4.1 数列的概念
第二课时
一、教学目标
1.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题。
2.了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同。
3.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式。
二、教学重难点
1、教学重点
理解递推公式的含义.
2、教学难点
会用递推公式解决有关问题，用数列的前n项和与通项的关系求通项公式
教学内容
1、数列中的每一个数叫做这个数列的 。
2、各项依次叫做这个数列的 (首项)， … ， …
3、数列的一般形式可以写成：
a1，a2，a3，…，an，…，简记为 。
{an}
项
第1项
第2项
第n项
一、数列的概念与一般形式：
注意：{ an }与an 区别与联系
{ an }表示整个数列 a1，a2，a3，…，an，… ；
an 只是表示数列{ an }中的第 n 项，
知识回顾
1、数列的通项公式：
①一些数列的通项公式不是唯一的；
②不是每一个数列都能写出它的通项公式.
数列 {an} 的第n项 an 与序号 n 之间的关系式叫数列的通项公式
2、求数列通项公式的一般方法：
①由各项的特点，找出各项共同的构成规律。
②通过观察、猜想归纳出数列中的项an与序号n之间的关系，
写出一个满足条件的最简捷的公式。
二、数列的通项公式：
注意：
知识回顾
1、常用数列
①an = n （1, 2, 3, 4, … ） ②an = 2n （2, 4, 6, 8, … ）
③an = 2n+1 （ 3, 5, 7, 9, … ） ⑤an = 2n （2, 4, 8, 16, … ）
④an = 2n-1 （1, 3, 5, 7, 9, … ） ⑥an = n2 （1, 4, 9, 16, 25, … ）
⑦an = n(n+1) ⑧an = (2n-1)(2n+1)
2、关于 (-1)n 即符号
3、常数数列：an = c
知识回顾
例4. 图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.
(1)
(2)
(3)
(4)
解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是 .
当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算未寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察.
典型分析
于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.
换个角度观察图中的4个图形，可以发现，
a1=1, 且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形.
这样, 例4中的数列的前4项满足a1=1, a2 =3a1 ,
a3 =3a2, a4 =3a3 , 由此猜测这个数列满足公式：
一、数列的递推公式
讲授新课
1、定义：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 .
如果已知数列的第1项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项.
相同点 不同点
通项公式 均可确定一个数列，求出数列中的任意一项. 给出n的值，可求出数列中的第n项an .
递推公式 由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n项an .
一、数列的递推公式
讲授新课
例5 已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项.
解：由题意可知
总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项.
典型分析
在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,，即
Sn =a1+a2+...+an
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),于是我们有
Sn 与an的关系式
二、 数列的前n项和
探究新知
已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n,你能求出{an}的通项公式吗？
解：因为a1=S1=2，
an=Sn-Sn-1
= n2+n -[(n-1) +(n-1)]
=2n(n≥2),
并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立.
所以{an}的通项公式是an=2n.
思考
由Sn 求an需要检验
……
累加法
或 叠加法
课堂练习
……
累加法
或 叠加法
例1. 已知数列{an}的前n项和为 求这个数列的通项公式.
可知当n>1时，
an= Sn-Sn-1 =
解:根据 Sn=a1＋a2＋a3＋ … ＋an-1 ＋an ；
与 Sn-1=a1＋a2＋a3＋ … ＋an-1 (n≥2) .
典型例题
数列的前n项和
当n=1时，a1=S1=1+5=6;
1 已知数列{an}的前n项和公式为Sn =n2+5 ，求{an}的通项公式 .
解:当n≥2时, an=Sn-Sn-1= (n2+5) -[(n-1)2+5]=2n-1. ①
将n=1代入①式得，2-1=1≠6=a1
所以当n=1时，①式不成立.
跟踪训练
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，
那么数列{an}的通项公式为 an＝Sn－Sn－1；
已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤：
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，
那么数列{an}的通项公式要分段表示为
小结
数列的前n项和公式
1.已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋1 (n ≥ 2)， 写出这个数列的通项公式.
解：（1）由递推式可得，
a2－a1 = 1，
a3－a2 = 1，
…
an－an－1 = 1
把以上 n-1 个式子相加,得 an －a1 = n －1
∴数列的通项为 an = n.
总结：一般递推关系为an+1= f (n)+an，即an+1 - an = f (n)时，可用累加法求通项公式.
又 a1 = 1
能力提升
2.已知数列{an}满足 写出这个数列的通项公式.
解：由递推式可得
∴数列的通项为 .
把以上n-1个式子相乘得
又 a1 = 1
总结：一般递推关系为an+1= f (n)·an, 即 时，可用累乘法求通项公式.
能力提升
1. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式.
（1）Sn = 2n2－n＋1，　 （2）Sn = log2 (n＋1)
解：（1）当 n ≥ 2 时，
故数列{an}的通项公式为
当n = 1时， 不符合上式
巩固练习
2. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式.
（1）Sn = 2n2－n＋1，　 （2）Sn = log2 (n＋1)
解： （2）当 n ≥ 2 时，
当n = 1时， ，符合上式
故数列{an}的通项公式为
总结：已知Sn求出an依据的是Sn的定义：Sn=a1+a2+…+an，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.
巩固练习
1.递推公式：（1）初始值；2）递推关系式
（1）已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式
（2） 已知数列的递推公式，用累加法求通项公式
（3） 已知数列的递推公式，用累乘法求通项公式
课堂小结
课后作业
教材第8页练习
课 程 结 束