4.2.1指数函数的概念 学案（含答案）

4.2.1指数函数的概念
学习目标
1.能从教材实例中抽象出指数函数的概念．
2.能从教材实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用．
学习重点：指数函数的概念．
学习难点：指数函数解析式、指数函数的实际应用．
知识回顾
1.根式与指数式的互化： 时,
2.实数指数幂的运算性质：
3.研究一个函数一般研究函数的哪些内容？怎样研究？
预习导引（自主学习课本111-115页，先了解本节知识要点！）
1.对数据变化规律进行分析时经常通过数据间的运算结果寻找规律，其中增加（减少）量和增长（减少）率是两个常见的参考方向，通过学习问题1与问题2可以发现：
(1)从数据运算结果看变化规律：
(2)根据研究可以提取出哪些函数关系？
2.函数图象呈直线形式时称为线性变化，其它为非线性变化.观察呈非线性变化的函数表达式的形式特征，给出一类函数定义：
指数函数定义：一般地，函数_____________叫做指数函数.其中指数x是自变量,定义域是_________.
对底数的要求是：_________________
指数幂的系数为：___________________
猜测函数值y_____0,理由：
四、典型例题（结果背后的理解更为重要！）
题型一 指数函数的概念
例1．(1)给出下列函数：①；②；③；④；⑤.其中，指数函数的个数是( )
A． B． C． D．
(2)若函数(x是自变量)是指数函数，则的取值范围是( )
A． B． C. D.
题型二 指数函数解析式
例2．已知指数函数，且，求,,的值.
思路分析：求函数值前应先求出什么？
例3．若函数是指数函数，则的值为( )
A． B． C． D．
跟踪训练 指数函数的图象经过点，那么等于( )
A． B． C． D．
题型三 函数模型的实际应用
自学课本114页例2
例4．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，那么经过天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（参考数据:）
例5．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为( )
A． B． C． D．
课时作业
1．下列函数中，不能化为指数函数的是( )
A． B．
C． D．
2．函数是指数函数，则有( )
A．或 B．
C． D．
3. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ）
A. B. C. D.
4．若点在函数的图象上，则的值为( )
A． B．
C． D．
5．某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2016年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2023年需退耕( )
A．万公顷 B．万公顷
C．万公顷 D．万公顷
6．*(多选)设指数函数，则下列等式中不正确的有( )
A． B．
C． D．
7．若函数是指数函数，则实数的取值范围为________．
8．已知函数，经过点，，则的值为________．
9．已知函数是指数函数，如果，那么________.(填“>”“＝”或“<”)
10．若指数函数的图象与幂函数的图象相交于一点，则＝_____，＝______．
11. 一种产品原来的年产量是件，今后年内，计划使产量平均每年比上一年增加，写出年产量（单位：件）关于经过的年数的函数解析式为________.
12. 当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗？
13．已知函数是指数函数．
(1)求的表达式；
(2)判断的奇偶性，并加以证明．
14．某商品价格(单位：元)因上架时间(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即.当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元时，该商品上架第4天的价格为多少元
**15．已知函数，且，，求函数的一个解析式.
指数函数的概念 参考答案
(1)B (2)C
例3.D 跟踪训练 D
例4.解析：设现在的蓝藻量为，经过30天后的蓝藻量为，则，
，∴经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍.
例5.B 解析：设原来的细菌数为a，由题意可得，在函数y＝10ekt中，
当t＝1时，y＝2a，所以2a＝10ek即ek＝，当a＝10时，ek＝2，y＝10ekt＝10·2t，
若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×27＝1 280，
课时作业 参考答案
1.解析：选B.对于A，y＝2x·3x＝6x是指数函数；对于B，y＝2x－1＝不是指数函数；对于C，y＝32x＝9x是指数函数；对于D，y＝4－x＝是指数函数．
2.解析：选B.因为函数y＝(a2－3a－3)ax是指数函数，所以解得a＝4.
3.解析：由于（，且），所以A，B，D都不正确，故选C.
4.解析：选A.点(a，27)在函数y＝()x的图象上，所以27＝()a，即33＝3，所以＝3，解得a＝6，所以＝.故选A.
5.解析：选D.根据题意，2016年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，则每年的退耕还林亩数为前一年的1.1倍,所以2023年退耕亩数为8×1.17(万公顷).所以D选项是正确的．
6.解析：选CD.f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)·f(y)，A正确；f(x－y)＝ax－y＝＝，B正确；f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确；[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确．
7.解析：因为函数y＝(a2－3a)x是指数函数，所以解得所以实数a的取值范围是.
8.解析：由解得所以f(x)＝＋3，所以f(－2)＝＋3＝4＋3＝7.
9.解析：因为函数f(x)是指数函数，所以设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则由f(3)＝9f(1)，得a3＝9a，解得a＝3或a＝－3(舍去)，所以f(x)＝3x，由此可得f(8)>f(4).
10. 解析：设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，幂函数g(x)＝xα，将(2，4)代入两个解析式得4＝a2，4＝2α，解得a＝2，α＝2，故f(x)＝2x，g(x)＝x2.
11.解析：由题意，今后年内，年产量随时间变化的增长率为，又原来的年产量是a件，∴．
12.解析：由题意，经过九个“半衰期后”，碳14的含量为，所以能探测到．
13.解析：(1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，所以f(x)＝2x.(2)F(x)＝f(x)－f(－x)＝2x－2－x是奇函数．证明如下：F(x)的定义域是R，关于原点对称，且F(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－F(x)，所以F(x)是奇函数．
14.解析：由题意可知解得所以当x＝4时，y＝k·a4＝.
15.解析：由己知得，，，
，
，又.