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人教新版九年级上册《第22章 二次函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题，共30分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x2﹣1 D．
解：A、分母中含字母，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
C、y＝2x2﹣1是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
解：由y＝y＝（x﹣1）2﹣3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣3）．
故选：C．
3．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
4．对于二次函数y＝3x2+2，下列说法错误的是（ ）
A．最小值为2
B．图象与y轴没有公共点
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．其图象的对称轴是y轴
解：A、开口向上有最小值2，正确；
B、图象与y轴交于点（0，2），错误；
对称轴为y轴，开口向上，所以当x＜0时，y随着x的增大而减小，C、D正确，
故选：B．
5．已知抛物线y＝2（x﹣1）2+1经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
解：由题意抛物线的对称轴x＝1，
观察图象可知：y1＞y2＞y3，
故选：B．
6．如图所示是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为2米，则水面下降（ ）米．
A．1米 B．2米 C．3米 D．10米
解：建立平面直角坐标系如图所示，
由题意可得：顶点坐标为（0，0），
设抛物线的解析式为y＝ax2，
把点坐标（﹣2，﹣2）代入得出：a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2，
当x＝时，y＝﹣0.5x2＝﹣3，
所以水面高度下降3﹣2＝1（米），
故选：A．
7．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：C．
8．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝9，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝9 D．x1＝1，x2＝﹣3
解：由图象可知，关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，就是抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1）的横坐标，即x1＝1，x2＝﹣3．
故选：D．
9．如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
解：设正方形的边长为m，则m＞0，
∵AE＝DH＝x，
∴AH＝m﹣x，
∵EH2＝AE2+AH2，
∴y＝x2+（m﹣x）2，
y＝x2+x2﹣2mx+m2，
y＝2x2﹣2mx+m2，
＝2[（x﹣m）2+m2]，
＝2（x﹣m）2+m2，
∴y与x的函数图象是D．
故选：D．
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：①由抛物线的开口方向向下，
则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m），
∴﹣＝1，b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1），
∴1＝a 22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0，
∴at2+bt﹣（a+b）
＝at2﹣2at﹣a+2a
＝at2﹣2at+a
＝a（t2﹣2t+1）
＝a（t﹣1）2≤0，
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
综上，正确的共有4个．
故选：C．
二．填空题（共6小题，共18分）
11．抛物线y＝2x2+4x﹣1顶点坐标是 （﹣1，﹣3） ．
解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴抛物线y＝2x2+4x﹣1的顶点坐标是（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）．
12．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 …
y … m n m 1 0 …
由表可知，抛物线与x轴的一个交点的坐标是（4，0），则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 （﹣8，0） ．
解：由图表可知，横坐标x＝﹣4和x＝0对应的纵坐标均为m，
则抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标是（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为2×（﹣2）﹣4＝﹣8，
则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣8，0），
故答案为：（﹣8，0）．
13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行 16 秒才能停下来．
解：由题意得，
S＝﹣0.25t2+8t
＝﹣0.25（t2﹣32t+256﹣256）
＝﹣0.25（t﹣16）2+64，
∵﹣0.25＜0，
∴t＝16时，飞机滑行的距离最大，
即当t＝16秒时，飞机才能停下来．
故答案为：16．
14．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+．则他将铅球推出的距离是 10 m．
解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，
解之得x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 1 ．
解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为1．
16．若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ﹣1或2或1 ．
解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2﹣4ac＝16﹣4（a﹣1）×2a＝0，
解得：a1＝﹣1，a2＝2，
当函数为一次函数时，a﹣1＝0，解得：a＝1．
故答案为：﹣1或2或1．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）已知函数y＝（m﹣1）x+4x﹣5是二次函数；
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：（1）由题意：，
解得m＝﹣1，
∴m＝﹣1时，函数y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数．
（2）∵二次函数的解析式为y＝﹣2x2+4x﹣5＝﹣2（x﹣1）2﹣3，
∴这个二次函数的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣3）．
18．（8分）已知抛物线y＝﹣x2﹣6x+7与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求△ABC的面积．
解：（1）当y＝0时，﹣x2﹣6x+7＝0，解得x1＝﹣7，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣7，0），点B的坐标为（1，0）；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣6x+7＝7，
∴C点坐标为（0，7），
∴△ABC的面积＝×（1+7）×7＝28．
19．（8分）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有一扇1米宽的门．设AD边的长为x米，矩形花圃的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式．
（2）若墙长a＝30米，求S的最大值．
解：（1）设AD边的长为x米，则AB边长为（40﹣x）米，
根据题意得：S＝（40﹣x）x＝﹣x2+40x，
∴S与x之间的函数关系式为S＝﹣x2+40x；
（2）由（1）知，S＝﹣x2+40x＝﹣（x﹣40）2+800，
∵﹣1＜0，a＝30，
∴当x≤40时，S随x的增大而增大，
∴当x＝30时，S有最大值，最大值为750，
∴墙长a＝30米，S的最大值为750平方米．
20．（8分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，
∴，
∴a＝，b＝﹣，c＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣1；
（2）当y＝0时，得x2﹣x﹣1＝0；
解得x1＝2，x2＝﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0）；
（3）图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．
21．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）与直线l：y＝x﹣1．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，直接写出该抛物线的顶点坐标为 （1，0） ；
（2）若抛物线的顶点为P，求证：点P在直线l上；
（3）问将抛物线向上平移多少个单位后与直线l有唯一公共点？
解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1，
∴对称轴是直线x＝m．
又∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴m＝1，
∴该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2，
∴其顶点坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（2）证明：∵y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1，
∴点P的坐标为（m，m﹣1），
∵当x＝m时，y＝x﹣1＝m﹣1，
∴点P在直线l上；
（3）设将抛物线向上平移n个单位后与直线l有唯一公共点，
则平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1+n，
与直线l：y＝x﹣1联立，得，
消去y，并整理得，x2﹣（2m+1）x+m2+m+n＝0，
由Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m+n）＝0，
解得，n＝，
∴将抛物线向上平移个单位后与直线l有唯一公共点．
22．（10分）如图，一小球M（看做一个点）从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y＝x刻画、若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）小球落点为A，求A点的坐标；
（3）在斜坡OA上的B点有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由．
解：（1）∵小球到达的最高的点坐标为（4，8），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，
把（0，0）代入得，0＝a（0﹣4）2+8，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解方程，得x1＝0，x2＝7，
当x＝7时，y＝，
所以A（7，）；
（3）当x＝2时，，＝6，
∵4+1＝5，6＞5，
∴小球M能飞过这棵树．
23．（10分）大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元每星期销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？
解：（1）y＝100+10（60﹣x）＝﹣10x+700；
（2）设每星期利润为W元，
W＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，
当x≤45时，W随x的增大而增大，
∴x＝545时，W最大值＝﹣10×（45﹣50）2+4000＝3750，
当每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元；
（3）①由题意：﹣10（x﹣50）2+4000＝3910，
解得：x＝53或47，
∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润．
②由题意：﹣10（x﹣50）2+4000≥3910，
解得：47≤x≤53，
∵y＝100+10（60﹣x）＝﹣10x+700．
170≤y≤230，
∴每星期至少要销售该款童装170件．
24．（12分）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
解：（1）∵B（4，m）在直线y＝x+2上，
∴m＝4+2＝6，
∴B（4，6），
∵A（，）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx+6上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+6．
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
＝﹣2n2+9n﹣4，
＝﹣2（n﹣）2+，
∵PC＞0，
∴当n＝时，线段PC最大且为．
（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC＝90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC＝45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A为直角顶点，则∠PAC＝90°．
如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON＝，AN＝．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN＝AN＝，∴OM＝ON+MN＝+＝3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y＝kx+b，
则：，解得，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3 ①
又抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6 ②
联立①②式，解得：x＝3或x＝（与点A重合，舍去）
∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x＝3时，y＝x+2＝5，
∴P1（3，5）；
iii）若点C为直角顶点，则∠ACP＝90°．
∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x＝2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C（，）．
当x＝时，y＝x+2＝．
∴P2（，）．
∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．
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人教新版九年级上册《第22章 二次函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题，共30分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x2﹣1 D．
2．抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
3．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
4．对于二次函数y＝3x2+2，下列说法错误的是（ ）
A．最小值为2
B．图象与y轴没有公共点
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．其图象的对称轴是y轴
5．已知抛物线y＝2（x﹣1）2+1经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
6．如图所示是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为2米，则水面下降（ ）米．
A．1米 B．2米 C．3米 D．10米
7．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝9，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝9 D．x1＝1，x2＝﹣3
9．如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，共18分）
11．抛物线y＝2x2+4x﹣1顶点坐标是 ．
12．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 …
y … m n m 1 0 …
由表可知，抛物线与x轴的一个交点的坐标是（4，0），则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ．
13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
14．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+．则他将铅球推出的距离是 m．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
16．若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）已知函数y＝（m﹣1）x+4x﹣5是二次函数；
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．（8分）已知抛物线y＝﹣x2﹣6x+7与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求△ABC的面积．
19．（8分）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有一扇1米宽的门．设AD边的长为x米，矩形花圃的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式．
（2）若墙长a＝30米，求S的最大值．
20．（8分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
21．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）与直线l：y＝x﹣1．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，直接写出该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）若抛物线的顶点为P，求证：点P在直线l上；
（3）问将抛物线向上平移多少个单位后与直线l有唯一公共点？
22．（10分）如图，一小球M（看做一个点）从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y＝x刻画、若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）小球落点为A，求A点的坐标；
（3）在斜坡OA上的B点有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由．
23．（10分）大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元每星期销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？
24．（12分）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
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