中小学教育资源及组卷应用平台
1.1探索勾股定律
一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，4，6 D．4，5，8
2．如图，在离地面高度处引拉线固定电线杆，拉线和地面成角，则拉线的长是（ ）
A．6m B． C． D．
3．如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为( )
A． B． C． D．
4．如图，直线l过等腰直角三角形顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则的长是( )
A．5 B． C． D．
5．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，，则（ ）
A．76 B．54 C．62 D．81
6．如图，在中，，D是延长线上的点，，于E，交于点F，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去．通过观察与研究，写出第个正方形的边长为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，长方形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处，，分别交于点，，且，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，平分，，则的值是（ ）
A．7 B．8 C． D．
10．如图，AD是的中线，过点B作AD的垂线，垂足记作点E，连接CE，若，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和5，则第三条边的长为 ．
12．如图，在中，，点D是上的点，若，，则的值为 ．
13．如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、，若，，则的长为 ．
14．如图，在中，，，，若点P是射线上一个动点，，则的长为 ．
15．如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第17个三角形的面积为 ．
16．如图，在中，，的角平分线交线段于点D，于点，若，则线段的长是 ．
17．如图，在中，，将沿翻折，使点与点重合．若，，则的长为 ．
18．如图，已知四边形的对角线互相平分且互相垂直，，则四边形的面积为 ．
19．如图，在中，，，以为边在下方作，连接，已知，，则的最大值为 ．
20．如图，是长方形内部的动点，的面积等于12，则点到、两点距离之和的最小值为 ．
三、解答题
21．下面方格图均是由边长为1的正方形组成的，请解答下面问题：
(1)图①中的面积为______；
(2)在图②中以格点为顶点，画出三边长分别为，，的三角形．
22．高安浮桥位于锦河之上，大观楼耸立在锦河北边，与浮桥相互映衬，形成美丽的文化风景带．在浮桥旁边有一艘游船，如图所示，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少？（假设绳子是直的，结果保留根号）
23．如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.1探索勾股定律
一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，4，6 D．4，5，8
【答案】B
【分析】根据勾股数的定义：三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．
2．如图，在离地面高度处引拉线固定电线杆，拉线和地面成角，则拉线的长是（ ）
A．6m B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：或（舍去）
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
3．如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求的长度，然后由面积法求得的长度，即可求解．
【详解】解：如图，由勾股定理得 ，
，即，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积利用面积法求得线段的长度是解题的关键．
4．如图，直线l过等腰直角三角形顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则的长是( )
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明，可得，结合勾股定理即可求解
【详解】如图所示，∵于点D，于点E，
∴
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
又，
∴，
在中，，
∴，
故选D
【点睛】本题主要考查勾股定理和全等三角形的判定和性质，掌握判定三角形全等是关键
5．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，，则（ ）
A．76 B．54 C．62 D．81
【答案】C
【分析】连接，由勾股定理，得，于是，代入求解即可．
【详解】连接，
由题意得：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理，正确作出辅助线，由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键．
6．如图，在中，，D是延长线上的点，，于E，交于点F，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据得，根据得，，即可得，利用 证明，得，即可得，根据得，可得，在中，，根据勾股定理即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，根据勾股定理得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
7．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去．通过观察与研究，写出第个正方形的边长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据第一个正方形的边长是2，设第二个的边长是x，则，则，即第二个的边长是：；设第三个的边长是y，则，则，同理可以得到第四个正方形的边长是，则第n个是：．
【详解】解：由题意可得，
第一个正方形的边长是2，设第二个的边长是x，则，则，即第二个的边长是：；设第三个的边长是y，则，则，同理可以得到第四个正方形的边长是，则第n个是：，
∴第个正方形的边长，
故选：B；
【点睛】本题考查勾股定理及规律，解题的关键是根据题意得到规律．
8．如图，长方形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处，，分别交于点，，且，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据折叠的性质可得出，，由“”可证，可得出，，设，则，、，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出x的值，即可得的长．
【详解】解：∵长方形纸片，，，
∴，，，
∵将沿折叠，点C落在点E处，
∴，，．
在和中， ，
∴，
∴，． 设，则，，
又∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了翻折变换，长方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
9．如图，在中，，，平分，，则的值是（ ）
A．7 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】延长交于E，根据勾股定理可求出长，通过得到，进而求得长，再根据勾股定理求，利用面积可求出的值．
【详解】解：延长交于点E，如图：
在中，，，
，
平分，，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，添加辅助线解决问题是关键．
10．如图，AD是的中线，过点B作AD的垂线，垂足记作点E，连接CE，若，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点C作，交射线于点G．证明得到，再运用勾股定理计算即可．
【详解】过点C作，交射线于点G．
∴，，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴的周长为，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的意义，勾股定理，熟练掌握三角形全等的证明，灵活用勾股定理是解题的关键．
二、填空题
11．已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和5，则第三条边的长为 ．
【答案】4或
【分析】此题要分两种情况：当3和5都是直角边时，当5是斜边长时，分别利用勾股定理计算出第三边长即可；
【详解】解：当3和5都是直角边时，第三边长为：，
当5是斜边长时，第三边长为：，
故答案为：4或；
【点睛】此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，些学生往往忽略这一点，造成丢解．
12．如图，在中，，点D是上的点，若，，则的值为 ．
【答案】144
【分析】在与中，由勾股定理得，，两式相减即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
在与中，由勾股定理得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、，若，，则的长为 ．
【答案】4
【分析】根据勾股定理求出，则可得出答案．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴，
∴（负值已舍去）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
14．如图，在中，，，，若点P是射线上一个动点，，则的长为 ．
【答案】25
【分析】根据勾股定理，，，求和计算即可．
【详解】∵，，，，
∴，，
∴，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了勾股定理的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第17个三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】由图形可得,即第17个直角三角形的两直角边为1，，进而求得面积．
【详解】解：如图,…
相应的，,即第17个直角三角形的两直角边为1，，
∴第17个三角形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，规律探索；结合图形特征确定是解题的关键．
16．如图，在中，，的角平分线交线段于点D，于点，若，则线段的长是 ．
【答案】
【分析】延长交于F，根据角平分线和垂直证明，从而得到，再根据三角形一个外角等于与之不相邻的两个内角之和结合，说明，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：延长交于F，如图，
∵是 的角平分线，
．
，
∴，
，
．
，
．
．
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】该题主要考查了角平分线的定义、勾股定理以及全等三角形证明，解题的关键是做出延长线，证明三角形全等．
17．如图，在中，，将沿翻折，使点与点重合．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵将沿翻折，使点与点重合，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18．如图，已知四边形的对角线互相平分且互相垂直，，则四边形的面积为 ．
【答案】13
【分析】设，，由题意得，，利用完全平方公式求得，再利用四边形面积公式即可求解．
【详解】解：设，，
∵互相平分且互相垂直，
∴，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了四边形的面积，完全平方公式的应用，当四边形的两条对角线垂直时，其面积等于两条对角线乘积的一半．
19．如图，在中，，，以为边在下方作，连接，已知，，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】以为直角边点C为直角顶点作等腰直角三角形，连接，证明，可得，然后利用三角形三边关系即可解决问题．
【详解】解：如图，以为直角边，点C为直角顶点作等腰直角三角形，连接，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是得到．
20．如图，是长方形内部的动点，的面积等于12，则点到、两点距离之和的最小值为 ．
【答案】10
【分析】求两条线段和最短的问题，就是利用轴对称转化为一条线段．先根据三角形的面积求出高为3，过作 的平行线，找点关于直线的对称点即可．
【详解】解：设中边上的高是．
，，
，
动点在与平行且与的距离是3的直线上，
过点作直线的对称点，连接交直线于点，的长就是所求的最短距离，
与关于直线对称，
，
四边形是矩形，
，
．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了三角形的面积、轴对称、线段和最短问题，解题的关键是画出对称轴，找到点的对称点．
三、解答题
21．下面方格图均是由边长为1的正方形组成的，请解答下面问题：
(1)图①中的面积为______；
(2)在图②中以格点为顶点，画出三边长分别为，，的三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据割补法求三角形的面积即可；
（2）根据勾股定理先求出长为，，的直线，再利用数形结合的思想解决问题即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：∵，即长为的直线，是两直角边长为，的直角三角形的斜边；
，即长为的直线，是两直角边长为，的直角三角形的斜边；
如图：长为，和的长为．
【点睛】本题考查网格中三角形的面积，勾股定理，根据勾股定理判断三边所在的位置是解题的关键．
22．高安浮桥位于锦河之上，大观楼耸立在锦河北边，与浮桥相互映衬，形成美丽的文化风景带．在浮桥旁边有一艘游船，如图所示，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【答案】
【分析】在中，根据勾股定理可求出的值，以的速度收绳，后船移动到点的位置，可求出的长，中，可求出的长，根据，即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，
∴，
∴中，，
∴，
∴船向岸边移动了．
【点睛】本题主要考查勾股定理在实际生活中的运用，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键．
23．如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【答案】90
【分析】连接，过点作于点，在中根据勾股定理求出的长，由等腰三角形的性质得出，在中根据勾股定理求出的长，再由即可得出结论．
【详解】解：连接，过点作于点．
，
．
在中，，，
．
，
．
，，
．
在中，
．
．
【点睛】本题考查的是勾股定理及三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．在中，，，，是斜边上高．
(1)求的面积；
(2)求斜边；
(3)求高．
【答案】(1)的面积为6
(2)斜边为5
(3)高的长为
【分析】（1）根据三角面积公式底乘高除以2求出即可．
（2）根据勾股定理求出．
（3）根据等面积法求出高．
【详解】（1）的面积．
故的面积是6；
（2）在中，，，，
∴；
（3）∵，
∴，
解得．
故高的长为．
【点睛】此题考查了求三角形面积、勾股定理，解题的关键是熟悉三角形面积公式、勾股定理．
25．如图，在与中，，是的中点，连接，且于，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)的长
【分析】（1）根据垂直的性质可得，根据“角角边”的判定方法可证，由此即可求解；
（2）由（1）可得，，，根据是的中点，可得，在中根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴的长．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
