中小学教育资源及组卷应用平台
1.1探索勾股定律
一、单选题
1．如图，在一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由翻折易得，在直角三角形中，利用勾股定理即可求得长．
【详解】解：由题意得；
设，则
，
，
，
解得；
即．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题的关键是得到．
2．如图，M、N是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点E，连接交于点F，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】先根据正方形的性质证明≌，可得，再证明≌，可得，然后说明，再取的中点O，连接、，可求，根据勾股定理求出，最后根据三角形的三边关系，可知当O、F、C三点共线时，的长度最小，进而求出答案．
【详解】在正方形中，，，，
在和中，
，
∴≌（HL），
∴，
在和中，
，
∴≌（SAS），
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
取的中点O，连接、，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
∴当O、F、C三点共线时，的长度最小，
最小值．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等，确定最小值的位置是解题的关键．
3．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为6和9，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．20
【答案】C
【分析】先根据AAS证明，由此得，在中，根据勾股定理可得，等量代换可得，即可求出b的面积．
【详解】
如图，中，
．
，
，
．
又，
，
．
，
，
，
即．
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和勾股定理，证明是解题的关键．
4．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：其中正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由和都是等腰直角三角形，可证，根据得证.①正确；由全等得，，，于是，可证，从而．故②正确；中，，于是；④正确；由的顶点A在的斜边上，得，从而，故③错误．
【详解】解∵和都是等腰直角三角形，
∴,
，.
∴.
∴.①正确；
∴，，．
∴；
∵，
∴．
∵，
∴．故②正确；
中，
而
∴；④正确；
∵的顶点A在的斜边上，
∴．
而
∴，故③错误．
故选：C
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短；由全等三角形得到线段相等，角相等是解题的关键．
5．如图，以各边为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分）．已知，，则两个新月形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由勾股定理可得，阴影部分面积等于两个小半圆的面积加上的面积，再减去大半圆的面积．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理，圆的面积公式，解题的关键是看懂图中各部分图形间的面积关系．
6．如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当时，线段DE的长为（ ）．
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】连接DF，AF，EF，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出AE，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：连接DF，AF，EF，
在中，，，
，
点G是DE的中点，点F是BC的中点，
，，，，
，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质是解题的关键．
7．如图，在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折，得到，连接．若，，则的长度为（ ）
A． B．12 C． D．18
【答案】A
【分析】过点A作的延长线于点F，设与交于点G，根据翻折性质可以证明是等边三角形，根据，可得，所以，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点A作的延长线于点F，设与交于点G，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
8．如图， 中，，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图：过A作垂足为F，可得和长，在中，由勾股定理得，；在中，由勾股定理得，；在中，由勾股定理得：；进而求得．
【详解】解：如图：过A作垂足为F
∵
∴
∵，
∴
∴
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，
又∵，
∴
在中，由勾股定理得：
∴
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形性质等知识点，利用勾股定理转化线段长是解答本问题的关键．
9．将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．7
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性质可以得到，设为，再运用勾股定理得，代入解方程即可解题．
【详解】解：如图，设为，为，为，图2中的余角为，
为等腰三角形，，
，，
，
，
结合两图，可得，
设为，
根据勾股定理得，
，
解得：，
，
故选：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，识别图形找等量关系是解题的关键．
10．如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在 Rt 中， 求出 ， 设 ， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 ， 求得 ， 在 中， 求出 ， 过点怍 于点 ， 则 ， 设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 则 ．
【详解】解∶ 由折叠可知， ，
等腰Rt 中， ，
，
是 的中点，
，
在Rt 中， ，
， 设 ， 则 ， 在 中， ，
， ， 在 Rt 中， ，
过点 作 于点 ，
，
，
设 ， 则 ，
在 Rt 中， ，
在 Rt 中， ，
，
，
，
故选∶ C．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
二、填空题
11．如图，在四边形中，，，，，，则线段的长度是 .
【答案】
【分析】如图，过点B作，使，连接,可证，求证，于是，可求得，，由勾股定理，得，．
【详解】解：如图，过点B作，使，连接,
则,
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
中，，
∴．
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理；添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
12．如图，点，，在同一条直线上，和都是等腰直角三角形，连接，，延长交于点．连接，若，，则 ．
【答案】4
【分析】过点作交于点，先判断出，得出，进而判断出，得出，，根据即可得出答案．
【详解】解：过点作交于点，如图所示：
和都是等腰直角三角形，
，，，
∴在和中，
，
，
，
，
，
，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
∴．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等相关知识，构造出全等三角形是解本题的关键．
13．如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接，过点作交延长线于点，通过证明，确定点在的射线上运动；作点关于的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在的延长线上；当三点共线时，最小，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，过点F作交延长线于点，
将绕点顺时针旋转到，
，且，
∴,
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
点在的射线上运动，
作点关于的对称点，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
即点在的角平分线上运动，
点在的延长线上，
当三点共线时，最小，
在中，，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
14．如图，已知，点在边上，，点是边上一个动点，若周长的最小值是6，则的长是 ．
【答案】1
【分析】作点A关于的对称点D，连接，交于点C，可得，此时周长为：，根据对称性可得，在中，、用勾股定理求解即可．
【详解】解：作点A关于的对称点D，连接，交于点C，如图，
∴，此时周长最小，
∴周长为：，
∴，
∵，
根据对称性：，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
即，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，解决本题的关键是准确画图根据对称性得．
15．如图，在中，，射线于点A，点E、D分别在线段和射线上运动，并始终保持，要使和全等，则的长为 ．
【答案】5或12
【分析】，所以点A与点B对应，分两种情况：若，则，则．若，则，则．
【详解】解：∵
∴点A与点B对应．
若，则，
∴．
若，则，
∴．
综上，的长为5或12．
故答案为：5或12．
【点睛】本题考查全等三角形的判定性质，勾股定理；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
16．如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ．
【答案】或/5或2
【分析】当时，先求出及的长，再在中利用勾股定理求出；当时，作，证明出为等腰直角三角形即可求出即可．
【详解】解：当时，如图，
，，
，
，
，
由折叠得，，
，
设，
，
在中，，
，即；
当时，如图，作，
，
，
，
，
，
．
故答案为：5或2．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题关键．
17．如图，在中，，点E是的中点，动点P从A点出发以每秒的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当 ，△APE的面积等于12．
【答案】3或18或22
【分析】分当点P在线段上运动时，当点P在线段上运动且在点E的右边时和当点P在线段上运动且在点E的左边时三种情况讨论，即可求出t的值．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
．
当点P在线段上运动时，
∵的面积等于12，即，
∴，
∴秒；
当点P在线段运动时上且在点E的右边时，，如图2所示，
同理可知，
∴秒；
当点P在线段上运动且在点E的左边时，如图3所示，
同理可知，
∴秒；
故答案为∶3或18或22．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式的运用，勾股定理，以及中线的性质，分类讨论的数学思想，解答时分类讨论是是关键．
18．如图，在三角形纸片ABC中，，，点E是AB上一点，连接CE，将沿CE折叠，点B的对应点落在CA的延长线上，展开铺平．过点A作于D．若，，则BE的长为 ．
【答案】
【分析】连接，过点B作于F；由题意易得，由折叠的性质可得平分，则可得，有，，设，则可分别表示，在中由勾股定理建立方程可求得x的值，由勾股定理可求得，最后由勾股定理求得的长．
【详解】解：连接，过点B作于F，如图，
由折叠性质：，，，
∴，
∴，
即，
由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：；
∴，，
在中，由勾股定理可求得，
∵，，
∴由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的难度，关键是构造辅助线及证明平分．
19．如图，如果四边形中，，，，且，，，则 ．
【答案】7
【分析】如图：在DC上取一点G，使，然后证明可得，；然后再证明可得，设，即，，最后在运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图：在DC上取一点G，使，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
设，即，
在中，
∴，解得：．
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
20．在中，，为上一点，连接交于，交于，若，，，则 ．
【答案】12
【分析】作的平分线交于，交于，结合可得
，进而可证，得到，推出，即可证明，得到，最后在中用勾股定理计算即可．
【详解】作的平分线交于，交于，如图
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用二倍角作辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
三、解答题
21．如图，在等腰中，，，点F是直线AB上一个动点，作等腰，且，连接．
(1)找出图中全等三角形______．
(2)如图求证：；
(3)若，则______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）可证，从而得证；
（2）由全等得，，得，根据勾股定理得证结论；
（3）中，勾股定理求得，得，于是．
【详解】（1）解：如图，,
∴．
∴．
又，
∴．
故全等三角形为．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质；由全等三角形推证线段相等、角相等是解题的关键．
22．如图1，，是等腰直角三角形，点D在线段上，
(1)求证：；
(2)填空：的度数为_______．
(3)若，，求的长度．
(4)探究：如图2，，是等腰直角三角形，点D在延长线上，，，则的长度为_____________．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）通过“边角边”即可求证；
（2）由（1）中的全等三角形的性质可得：；
（3）由题意可得：，，再根据勾股定理求解即可；
（4）由题意可得：，得到，，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，是等腰直角三角形，
∴，，
∴
∴；
（2）解：∵时等腰直角三角形
∴
由可得：；
（3）∵
∴
由可得：
由勾股定理可得：；
（4）∵，是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴；
∴，
∴
由勾股定理可得：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
23．如图，在正方形中，点E，F分别在上，且，若正方形的边长为4，．
(1)求的长；
(2)作，求的长．
【答案】(1)2.4
(2)4
【分析】（1）延长至H，使得，连接，则可以证明，然后再推导，得到，设，根据勾股定理可以得到，解方程可以得到结果；
（2）由(1)可知：，则可得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，延长至H，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴.，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
正方形的边长为4，
∴
∴
设，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：BE的长为；
（2）解：由(1)可知：，
∴
∵，
∴.，
∵AE=AE，
∴，
∴，
正方形的边长为4，
∴，
∴，
答：的长为4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，综合性较大，能作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.1探索勾股定律
一、单选题
1．如图，在一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，M、N是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点E，连接交于点F，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为6和9，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．20
4．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：其中正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，以各边为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分）．已知，，则两个新月形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当时，线段DE的长为（ ）．
A． B．2 C． D．4
7．如图，在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折，得到，连接．若，，则的长度为（ ）
A． B．12 C． D．18
8．如图， 中，，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．7
10．如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在四边形中，，，，，，则线段的长度是 .
12．如图，点，，在同一条直线上，和都是等腰直角三角形，连接，，延长交于点．连接，若，，则 ．
13．如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，则的最小值是 ．
14．如图，已知，点在边上，，点是边上一个动点，若周长的最小值是6，则的长是 ．
15．如图，在中，，射线于点A，点E、D分别在线段和射线上运动，并始终保持，要使和全等，则的长为 ．
16．如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ．
17．如图，在中，，点E是的中点，动点P从A点出发以每秒的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当 ，△APE的面积等于12．
18．如图，在三角形纸片ABC中，，，点E是AB上一点，连接CE，将沿CE折叠，点B的对应点落在CA的延长线上，展开铺平．过点A作于D．若，，则BE的长为 ．
19．如图，如果四边形中，，，，且，，，则 ．
20．在中，，为上一点，连接交于，交于，若，，，则 ．
三、解答题
21．如图，在等腰中，，，点F是直线AB上一个动点，作等腰，且，连接．
(1)找出图中全等三角形______．
(2)如图求证：；
(3)若，则______．
22．如图1，，是等腰直角三角形，点D在线段上，
(1)求证：；
(2)填空：的度数为_______．
(3)若，，求的长度．
(4)探究：如图2，，是等腰直角三角形，点D在延长线上，，，则的长度为_____________．
23．如图，在正方形中，点E，F分别在上，且，若正方形的边长为4，．
(1)求的长；
(2)作，求的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
