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1.2一定是直角三角形吗
一、单选题
1．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
2．图1、图2的两个正方形网格的面积分别为、，正方形、满足，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心、正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（ ）
A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．无法确定
5．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（ ）
A．10 B．50 C．120 D．130
6．若的三边长a、b、c满足，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
7．如图，一个含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，若的长为，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，等腰与等腰中，，，，则（ ）
A．9 B．11 C．10 D．12
二、填空题
9．如图，是直角三角形，，点A表示的数是3，且，若以点C圆心为半径画弧交于点B以点O为圆心，为半径画弧交x轴于点D．则点D表示的数为 ．
10．如图是我国古代数学家赵爽创制的一副“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形．若，，则的长是 ．
11．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过路线长是 ．
12．一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 cm．
13．在△ABC 中，若，则最长边上的高为 ．
14．已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ．
15．如图，度，，，且，AF平分交BC于F，若，，则线段AD的长为 ．
16．如图，在中于点D，点P是线段AD上一个动点，过点P作于点E，连接PB，则的最小值为 .
17．如图，，已知中，，的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，A随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的距离为整数的点有 个．
三、解答题
18．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，．
(1)求小凳子的高度；
(2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度．
19．如图，在中，，厘米，厘米，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，速度为1厘米/秒，点从点开始沿方向运动，速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为秒．
（1）求出发2秒后，的长．
（2）点在边上运动时，当成为等腰三角形时，求点的运动时间．
20．已知中，，，过顶点作射线.
（1）当射线在外部时，如图①，点在射线上，连结、，已知，，（）.
①试证明是直角三角形；
②求线段的长.（用含的代数式表示）
（2）当射线在内部时，如图②，过点作于点，连结，请写出线段、、的数量关系，并说明理由.
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1.2一定是直角三角形吗
一、单选题
1．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设图中直角三角形的两条直角边长分别为，斜边为，根据题意“空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25”可得，将两式相加并求解即可获得答案．
【详解】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为，斜边为，
∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，
∴可有，
解得，
解得或（不合题意，舍去），
∴大正方形的边长是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、方程组的应用等知识，正确表示出直角三角形的面积是解题关键．
2．图1、图2的两个正方形网格的面积分别为、，正方形、满足，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】假设第一正方形网格边长为，第二个网格正方形边长为，然后根据勾股定理可得到，，然后利用计算即可得到和的比值．
【详解】解：设第一正方形网格边长为，第二个网格正方形边长为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D
【点睛】本题主要考查网格中面积的计算和勾股定理，利用勾股定理用网格的边长表示正方形面积，然后转化为网格正方形面积的比值是解题的关键．
3．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心、正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意利用勾股定理得出的长，再利用得出点位置，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：
，
，
故，
则点表示的数是：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及正方形的性质，解题的关键是正确应用勾股定理求解．
4．如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（ ）
A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．无法确定
【答案】B
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再利用直角三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m，
∴，
∴AC=5m，
∴，
又∵，
∴，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=（），
∴要投入资金为：（元）；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键．
5．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（ ）
A．10 B．50 C．120 D．130
【答案】B
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高为20cm，宽30cm，长50cm，
∴AB＝（cm）．
答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50cm，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
6．若的三边长a、b、c满足，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可．
【详解】解：，
移项得，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．
7．如图，一个含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，若的长为，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接AA′．构建Rt△ABA′；由旋转的性质可以推知BC=B′C，AC=A′C；根据图示知Rt△ABC中的∠A=30°，由30°所对的直角边是斜边的一半可以求得AC=30cm，由勾股定理可以求得AB=15cm；最后在根据线段间的和差关系求得A′B=BC+CA′=BC+AC=45cm，根据勾股定理在Rt△ABA′中求得AA′的值即可．
【详解】连接AA′，如图所示：
∵△A′B′C是由△ABC按顺时针方向旋转得到的，
∴BC=B′C，AC=A′C；
又∵△ABC是含有一个30°角的直角三角形，
∴从图中知，∠BAC=30°，
∴AC=2BC，AB=BC；
而BC=15cm；
∴在Rt△ABA′中，
AB=15cm，A′B=BC+CA′=BC+AC=45cm，
∴AA′=.
故选C.
【点睛】本题综合考查了勾股定理、含30°角的直角三角形以及旋转的性质．在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键．
8．如图所示，等腰与等腰中，，，，则（ ）
A．9 B．11 C．10 D．12
【答案】C
【分析】连接CD，BE，证明△CAD≌△BAE从而得到CD⊥BE，根据勾股定理可得结论；
【详解】如图：连接CD，BE
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
∵
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE；
∴∠ADC＝∠AEB，
∴∠EOD＝∠EAD＝90°，
∴∠EOD＝∠EOC＝∠BOC＝∠BOD＝90°，
∴，，
∵AB＝2，AD＝1，
∴，，
∴；
故选：C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．
二、填空题
9．如图，是直角三角形，，点A表示的数是3，且，若以点C圆心为半径画弧交于点B以点O为圆心，为半径画弧交x轴于点D．则点D表示的数为 ．
【答案】/
【分析】根据题意得出，，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解．
【详解】解：∵点A表示的数是3，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴点D表示的数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与无理数，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方．
10．如图是我国古代数学家赵爽创制的一副“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形．若，，则的长是 ．
【答案】
【分析】根据含角的直角三角形的三边关系设未知数解方程即可．
【详解】在中，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了含角直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质，熟练掌握直角三角形的相关性质是解题关键．
11．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过路线长是 ．
【答案】15
【分析】延长交轴于．根据光的反射原理，点、关于轴对称，．路径长就是的长度．结合点坐标，运用勾股定理求解即可．
【详解】解：延长交轴于，
则点、关于轴对称，，点的坐标为，
，
，
光线从点到点经过路线长为：，
故答案为：15．
【点睛】本题考查的是勾股定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．
12．一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 cm．
【答案】10
【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】解：如图1所示：
；
如图2所示：
．
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路程是．
故答案为：10．
【点睛】此题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
13．在△ABC 中，若，则最长边上的高为 ．
【答案】
【分析】解方程可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
【详解】解：∵，
将两个方程相加得：，
∵a＞0，
∴a=4
代入得：，
∵b＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD⊥AB，
，
即：，
解得：CD=，
故答案为：.
【点睛】本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.
14．已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ．
【答案】
【分析】在一条长为的线段上取一点，将线段分为两条线段，以这个点为锐角顶点，这两条线段为直角边，在线段的两旁建立两个直角三角形，这两个直角三角形的另一条直角边分别为和，利用两点之间线段最短和勾股定理求出这两个直角三角形另一个锐角顶点连线的长度即为所求的最小值．
【详解】构造两直角三角形如图，
，，，，点为上一个动点，，，则：
，，，
由图可知：，
∴的最小值为线段的长，
过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是用数形结合思想，构造出图形．
15．如图，度，，，且，AF平分交BC于F，若，，则线段AD的长为 ．
【答案】
【分析】由“SAS”可证≌，≌可得，，，由勾股定理可求EF的长，即可求BC的长，由勾股定理可求AD的长．
【详解】解：如图，连接EF，过点A作于点G，
，
，
又，
，
在和中
，
≌．
，
，，
∴
，
，
，
，
平分，
，
在和中
，
≌．
．
．
，
∴
，
，，
，
，
∴
故答案为
【点睛】考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
16．如图，在中于点D，点P是线段AD上一个动点，过点P作于点E，连接PB，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意点B与点C关于AD对称，所以过点C作AB的垂线，与AD的交点即点P，求出CE即可得到答案
【详解】∵
∴点B与点C关于AD对称
过点C作CE⊥AB于一点即为点P，此时最小
∵
∴BD=2
在Rt△ABC中，
∵S△ABC=
∴
得
故此题填
【点睛】此题考查最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题
17．如图，，已知中，，的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，A随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的距离为整数的点有 个．
【答案】6
【分析】取的中点D，连接；根据三角形的边角关系得到小于等于，只有当O、D及C共线时，取得最大值，最大值为；根据D为中点，得到为3，根据三线合一得到垂直于，在中，根据勾股定理求出的长，在中，为斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得等于的一半，由的长求出的长，进而求出的取值范围．
【详解】解：如图，取的中点D，连接；
∵，
∵点D是边中点，
∴，
∴；
连接，，有，
当O、D、C共线时，有最大值，最大值是，
又∵为直角三角形，D为斜边的中点，
∴，
∴．
为整数
∴点C到点O的距离为整数的点有6个，
故答案为6．
【点睛】本题考查三角形的三边关系、勾股定理和直角三角形中线的性质，掌握这些定理和性质是解题的关键．
三、解答题
18．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，．
(1)求小凳子的高度；
(2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度．
【答案】(1)．
(2)
【分析】（1）过A作垂直于墙面，垂足M，根据勾股定理解答即可；
（2）延长交墙面于点N，根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：过A作垂直于墙面，垂足M，
根据题意可得，，
在中，，
即凳子的高度为．
（2）解：延长交墙面于点N，可得，
设cm，则，，，
在中，，即，
解得，则．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理解答．
19．如图，在中，，厘米，厘米，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，速度为1厘米/秒，点从点开始沿方向运动，速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为秒．
（1）求出发2秒后，的长．
（2）点在边上运动时，当成为等腰三角形时，求点的运动时间．
【答案】（1）cm （2）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
【详解】解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ= （cm）；
（2）解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE= =4.8（cm）
∴CE= =3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．
20．已知中，，，过顶点作射线.
（1）当射线在外部时，如图①，点在射线上，连结、，已知，，（）.
①试证明是直角三角形；
②求线段的长.（用含的代数式表示）
（2）当射线在内部时，如图②，过点作于点，连结，请写出线段、、的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）①详见解析；（2）（）；（2），理由详见解析.
【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；
②过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E，进而证明△ACD≌△BCE，求出DE的长，再利用勾股定理求解即可.
（2）过点C作CF⊥CD交BD的延长线于点F，先证∠ACD=∠BCF，再证△ACD≌△BCF，得CD=CF，AD=BF，再利用勾股定理求解即可.
【详解】（1）①∵
又∵
∴
∴△ABD是直角三角形
②如图①，过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E，
∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°
∴∠3=∠4
由①知△ABD是直角三角形
∴
又∵
∴∠1=∠E
在和中，
∴△ACD≌△BCE
∴，
∴
又∵，
∴由勾股定理得
∴（）
（2）AD、BD、CD的数量关系为：，
理由如下：
如图②，过点C作CF⊥CD交BD的延长线于点F，
∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5
∴∠ACD=∠BCF
∵BD⊥AD
∴∠ADB=90°
∴∠6+∠7=90°
∵∠ACB=90°
∴∠9=∠8=90°
又∵∠6=∠8
∴∠7=∠9
和中
∴△ACD≌△BCF
∴CD=CF，AD=BF
又∵∠DCF=90°
∴由勾股定理得
又DF=BF-BD=AD-BD
∴
【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.
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