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1.3勾股定理的应用
一、单选题
1．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺
A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】
找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
2．如图，东西方向上有两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距6千米时，最短用时是（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】A
【分析】根据题意表示出，的长，进而利用勾股定理求出答案
【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6千米，根据题意可得：
千米，千米，
∵，
则，
解得：．
即最短用时0.4小时，甲、乙两人相距6千米．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
3．如图，圆柱的底面半径为，高，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把圆柱侧面展开后，连接．由已知可求得圆柱底面圆的周长，从而可求得周长的一半，由勾股定理即可计算出的长．
【详解】解：把圆柱侧面展开后，连接，如图所示：
∵圆柱的底面半径为，
∴圆柱的底面周长为，
∴，
∵高，点P是上一点，且，
∴，
在中，，
即从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是把圆柱展开，即把空间问题转化为平面问题来解决，体现了转化思想．
4．如图，湖的两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（ ）
A．3米 B．6米 C．9米 D．10米
【答案】C
【分析】由勾股定理求出的长即可．
【详解】由题意得：，
即A，C两点间的距离为米，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．
5．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理进行计算即可得．
【详解】解：在中，，，
根据勾股定理得，，
在中，，，
根据勾股定理得，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理．
6．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由绳索的长度，可得出木柱的高度，再利用勾股定理，即可得出方程，此题得解．
【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高尺，
由题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关正确列出方程是解题的关键．
7．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．
【详解】解：过作于，如图所示：
由题意可知，，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得，
它要飞回巢中所需的时间至少是（），
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键．
8．如图，在中，D是的中点，若，，，则的长为（ ）．
A． B． C．13 D．12
【答案】B
【分析】作的延长线，连接，利用全等和勾股定理的逆定理推导，再利用勾股定理解题．
【详解】作的延长线，连接，
∵D是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形和勾股定理以及逆定理，遇中线延长一倍是解题的关键．
9．如图，已知树（垂直于地面）上的点处（米）有两只松鼠，为抢到处（点，在同一水平地面上，米）的坚果，一只松鼠沿到达点处，另一只松鼠沿到达点处．若两只松鼠经过的路程相等，则树的高为（ ）
A．6.5米 B．7.0米 C．7.5米 D．8米
【答案】C
【分析】设BF为xm，根据两只松鼠所经过的路程相等，则AF=(15-x)m，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题．
【详解】解：设BF为xm，则EF=（5+x）m，
由题意知：BE+AE=15m，
∵两只松鼠所经过的路程相等，
∴BF+AF=15m，
∴AF=（15-x）m，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
102+（x+5）2=（15-x）2，
解得x=2.5，
∴EF=5+2.5=7.5（m）．
答：这棵树高7.5米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，读懂题意，得出BF+AF=BE+AE是解题的关键．
10．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（ ）
A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
【答案】D
【分析】过作于，解直角三角形求出和，即可解决问题．
【详解】解：过作于，如图所示：
在中，，海里，
∴（海里），（海里），
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∴海里，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
11．如图所示，一棵大树在距地的B处折断，着地处A与树根C的距离比着地处A与折断处B的距离少，则原树高为 m．
【答案】18
【分析】由题意得，，，，根据勾股定理得出关于的方程，求出，得到的长度即可求解．
【详解】解：由题意得，，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
即原树高为，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据实际情况构造出直角三角形是解题的关键．
12．一艘轮船从港口A先向东行驶8海里，再向南行驶15海里到达港口B，港口B与港口A之间的距离是 海里．
【答案】17
【分析】根据题意可得港口B、港口A及出发点构成一个直角三角形，利用勾股定理计算即可．
【详解】∵一艘轮船从港口A先向东行驶8海里，再向南行驶15海里到达港口B，
∴港口B、港口A及出发点构成一个直角三角形，
∴港口B与港口A之间的距离是（海里），
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．
13．如图，一道墙高6尺，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平． 若木棒下端向右滑，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向右滑2尺到D处时，木棒上端恰好落到地上B处，则木棒长 尺．
【答案】10
【分析】设长为x尺， 则尺，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设长为x尺， 则尺，
在中，
，
，解得，
则木棒长为尺，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
14．如图将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是 ．
【答案】
【分析】长方体内对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可．
【详解】解：由题意可知盒子底面对角线长为，
盒子的对角线长为，
则细木棒露在盒外面的最短长度是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，在实际问题中构建直角三角形利用勾股定理解决问题的思想是解题的关键．
15．图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了 厘米．
【答案】9
【分析】根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离．
【详解】解：依题意得：，
设滑动后点A、B的对应位置是，
由勾股定理得，(厘米)，
当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)，
∴(厘米)，
∴滑块B滑动的距离为：(厘米)，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键．
16．为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元．
【答案】2100
【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，然后可得答案．
【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边，
所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长，
所以需要地毯的总长度为，
所以需要地毯的总面积为，
所以购买这种地毯至少需要元，
故答案为：2100．
【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长．
17．如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．
【答案】24
【分析】由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：，
，为直角三角形．
，
，
，
，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理，由含角的直角三角形的性质求出的长是解题的关键．
18．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．
【答案】2.7
【分析】在中，根据勾股定理求出的长，再在中，求出的长，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，
，
根据题意得：，
在中，米，米，
米，
在中，米，米，
米，
米，
小巷的宽度为2.7米，
故答案为：2.7．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
19．如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ．
【答案】
【分析】要求金属丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，
此时这圈金属丝的周长最小为2AC，
∵圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为3dm，
∴AB=3dm，BC=3dm，
∴在Rt中，由勾股定理得：dm，
则2AC=dm，
即：这圈金属丝的周长最小为dm．
故答案为：.
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．
20．如图，在中，，，，点在边上，，点关于直线的对称点为点，连接、，则的长为 ．
【答案】
【分析】由点B与点E关于直线对称可得，；由得，故，可得是直角三角形．在中，利用勾股定理构造方程求解的长，进一步可用勾股定理求的长．
【详解】点B与点E关于直线对称
，
设，则，
在中，
解得：
即
∴在中，
故答案为：
【点睛】本题主要考查直角三角形的判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．解题的关键是熟练使用相关的知识点，特别是特别是勾股定理求边长．
三、解答题
21．如图，、两个村在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向、俩村供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
【答案】在河流上选择水厂的位置见解析，总费用是万元．
【分析】先作点的对称点，连接点和点，交于点，即所求作的点，过作，延长交于点，根据轴对称的性质可知：，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，水厂的位置即在点处，
过作，延长交于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由对称性质可知：，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
∴水管的费用最节省为（万元），
答：水管的费用最节省为万元．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．
22．如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点处，底端在水平地面的点处．保持梯子底端的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点处，，．测得顶端距离地面的高度为2米，为1.5米．
(1)求梯子的长；
(2)若顶端距离地面的高度比多0.4米，求的长．
【答案】(1)梯子的长为2.5米
(2)2.2米
【分析】（1）根据勾股定理求出梯子的长度即可；
（2）根据勾股定理求出的长，进而可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：
在中，，米，米，，
∴（米），
即梯子的长为2.5米；
（2）解：由题意得：
米，米，
∴（米），
∴（米）．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意，准确进行计算是解题的关键．
23．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的长．
(2)这辆大巴车超速了吗？
【答案】(1)
(2)超速了
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）用路程除以时间求出速度，与限速进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意知，是直角三角形，，，
，
即长为；
（2）解：大巴车的速度为：，
，
这辆大巴车超速了．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学模型．
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1.3勾股定理的应用
一、单选题
1．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺
A．10 B．12 C．13 D．14
2．如图，东西方向上有两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距6千米时，最短用时是（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
3．如图，圆柱的底面半径为，高，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，湖的两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（ ）
A．3米 B．6米 C．9米 D．10米
5．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A． B． C． D．
8．如图，在中，D是的中点，若，，，则的长为（ ）．
A． B． C．13 D．12
9．如图，已知树（垂直于地面）上的点处（米）有两只松鼠，为抢到处（点，在同一水平地面上，米）的坚果，一只松鼠沿到达点处，另一只松鼠沿到达点处．若两只松鼠经过的路程相等，则树的高为（ ）
A．6.5米 B．7.0米 C．7.5米 D．8米
10．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（ ）
A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
二、填空题
11．如图所示，一棵大树在距地的B处折断，着地处A与树根C的距离比着地处A与折断处B的距离少，则原树高为 m．
12．一艘轮船从港口A先向东行驶8海里，再向南行驶15海里到达港口B，港口B与港口A之间的距离是 海里．
13．如图，一道墙高6尺，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平． 若木棒下端向右滑，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向右滑2尺到D处时，木棒上端恰好落到地上B处，则木棒长 尺．
14．如图将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是 ．
15．图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了 厘米．
16．为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元．
17．如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．
18．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．
19．如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ．
20．如图，在中，，，，点在边上，，点关于直线的对称点为点，连接、，则的长为 ．
三、解答题
21．如图，、两个村在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向、俩村供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
22．如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点处，底端在水平地面的点处．保持梯子底端的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点处，，．测得顶端距离地面的高度为2米，为1.5米．
(1)求梯子的长；
(2)若顶端距离地面的高度比多0.4米，求的长．
23．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的长．
(2)这辆大巴车超速了吗？
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