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1.3勾股定理的应用
一、单选题
1．如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
4．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝12，DC＝14，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到D1CE1（如图乙），此时AB与 CD1交于点O，则线段AD1的长为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．
5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，等边的边长为8．P，Q分别是边上的点，连结，交于点O．以下结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动（到达点C就停止），则点O经过的路径长为．其中正确的（ ）
A．①②③ B．①④ C．①② D．①③④
7．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米．
9．如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为 海里．
10．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒．
11．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为 m．
12．将一根18cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ；
13．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是 ．
14．如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
15．如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝ ，PC+PQ的最小值是 ．
16．在中，，以为斜边作等腰直角，连接，若，，则的长为 ．
三、解答题
17．如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，．
（1）求AE的长；
（2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，是等腰三角形；
②当t=______时，．
18．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
19．已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90 ，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90°．
（1）如图1，若，AD=1，求DB的长．
（2）如图1，求证：．
（3）如图2所示，过C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的长．
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1.3勾股定理的应用
一、单选题
1．如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为，
由勾股定理得，长方体的对角线长为，
当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为，
∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
2．如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在中，已知斜边，一条直角边，用勾股定理求得另一条直角边即可．
【详解】解：如图：
在中，，，
，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
3．固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，
由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方体的棱长为，
∴，，
在中，，
在中，，
∴；
故选A.
【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键，是将立体图像展开，根据两点之间线段最短，确定最短路径．
4．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝12，DC＝14，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到D1CE1（如图乙），此时AB与 CD1交于点O，则线段AD1的长为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．
【答案】B
【分析】先求出∠ACD＝30°，再根据旋转角求出∠ACD1＝45°，然后判断出ACO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出D1O然后利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠D＝30°，
∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∵旋转角为15°，
∴∠ACD1＝30°+15°＝45°，
又∵∠CAB＝45°，
∴ACO是等腰直角三角形，
∴AO＝CO＝AB＝×12＝6，AB⊥CO，
∵DC＝14，
∴D1C＝DC＝14，
∴D1O＝14﹣6＝8，
在RtAOD1中，AD1＝＝＝10．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的运用，根据等腰直角三角形的性质判断AB⊥CO是解题关键．
5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度．
【详解】解：如图，由题意可得：
AD2=0.72+2.42=6.25，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，
∴AB2+1.52=6.25，
∴AB=±2，
∵AB＞0，
∴AB=2米，
∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）．
故选：D.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
6．如图，等边的边长为8．P，Q分别是边上的点，连结，交于点O．以下结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动（到达点C就停止），则点O经过的路径长为．其中正确的（ ）
A．①②③ B．①④ C．①② D．①③④
【答案】B
【分析】第①个选项直接找到对应的条件，利用SAS证明全等即可；第②③结论都有两种情况，准确画出图之后再来计算和判断；第四个结论要先判断判断轨迹(通过对称性)在来计算路径长．
【详解】①在三角形△BAP和△ACQ中：
则△BAP≌△ACQ (SAS) ；①正确；
②如图1，
题中AQ=BP，存在两种情况：
在的位置，∠AOB=120°，
在的位置，∠AOB的大小无法确定；②错误；
③本问与AP=CQ这个条件无关，如图，
P还是会有两个位置即：、，
当在时，
作BE⊥AC于E点，则E为AC中点，
∵AB=8，AE= ，
∴ ，
又BP=7，
∴,
∴CP=CE+PE=5，
当在时，同理解△BCP，得CP= CE-PE=3；故③错；
④由题可得：AP=BQ，由对称性可得O的运动轨迹为△ABC中AB边上的中垂线
则∵AB=8，
∴BC=AB=8，
则AB边上的中垂线的长为：
∴运动轨迹路径长为；④正确；
∴正确的为①④；
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形全等，利用等边三角形的性质找出相应的全等条件是关键，还考查了等边三角形是周对称图形这一性质．
7．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将沿着向左平移使与重合，得到，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接，此时的最小值为线段长，利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：
由平移性质得到，
，
作关于的对称点，连接，如图所示：
由对称性得到，
，
由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长，
，
，
在长方形中，，，由矩形性质可得，
，
是的中点，
，
与关于的对称，
，
在长方形中，，
在中，，，，由勾股定理得到，
的最小值，
故选：C．
【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键．
二、填空题
8．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米．
【答案】
【分析】根据长方体的展开图计算即可.
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，
∵米，米，横截面是边长为2米的正方形，
∴长为米；宽为6米．
∴最短路径为：米．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，长方体的展开图，熟练掌握展开图是解题的关键．
9．如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为 海里．
【答案】25
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了20海里，15海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：连接如图，
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴，
在中，（海里），（海里），
根据勾股定理得（海里）．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理进是解决问题的关键．
10．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒．
【答案】9
【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可．
【详解】解：过点作，
，米，
米，
在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响，
米，米，
由勾股定理得：米，米，即米，
千米/小时米/秒，
影响时间应是：秒．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．
11．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为 m．
【答案】10
【分析】先根据题意得出，，在设，得到，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知：，，，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，读懂题意并熟练运用勾股定理是解题的关键．
12．将一根18cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ；
【答案】5cm
【分析】长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可.
【详解】如图，由题意知：盒子底面对角线长为=5（cm），
盒子的对角线长：=13cm，
∵细木棒长18cm，
∴细木棒露在盒外面的最短长度是：18-13=5cm，
所以细木棒露在外面的最短长度是5厘米．
故答案为：5cm.
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，在实际问题中构建直角三角形利用勾股定理解决问题的思想是解题的关键.
13．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是 ．
【答案】52cm
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为，则易拉罐底面周长是12，高是20
∴
解得：
∴彩带最短是52cm
故答案为：52cm．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高．
14．如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】如图，作N关于的对称点E，连接，在中，勾股定理解出，根据三角形两边之和大于第三边得到：，最后利用等积法求解即可
【详解】如图，作N关于的对称点E，连接
在中，，，，
是的平分线，
与关于轴对称，
当时最小，
由
即
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称——最短问题，解直角三角形等知识；解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，再利用等面积法结算线段长度是解题的关键．
15．如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝ ，PC+PQ的最小值是 ．
【答案】 5
【分析】（1）根据勾股定理即可求出AC的长度；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AC，再运用S△ABC=AB CM=AC BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴；
如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=5，BC=12，∠ACB=90°，
∵ ,
∴．
故答案为：5；．
【点睛】本题考查勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找出点P、Q的位置是解题关键．
16．在中，，以为斜边作等腰直角，连接，若，，则的长为 ．
【答案】6或2.
【分析】由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，CE=AB=2，AD=DE，且∠ADE=90°
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴AE=AC+CE=4+2=6
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=（6）2，解得AD=6
②当D点在BC下方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则CE=AB=2，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴AE=AC-CE=4-2=2
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．
故答案为：6或2.
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．
三、解答题
17．如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，．
（1）求AE的长；
（2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，是等腰三角形；
②当t=______时，．
【答案】（1）5；（2）2或或；（3）
【分析】（1）求出，，利用勾股定理即可求出AE的长；
（2）①根据若是等腰三角形，分三种情况讨论：，和时．分别进行求解即可；②过点E作，利用勾股定理可以表示出在和中，，，联立方程即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴，，
∴，
在中，，
（2）①若为等腰三角形，则有三种可能.
当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，过点E作，
在中，，
∴，
即，
解得：， ，
∴
综上所述，符合要求的t值为2或或；
②当时，
在中，，
即，
在中，，
即，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，．
【点睛】本题考查了勾股定理的综合应用，解题的关键是注意分类讨论思想，以防漏解．
18．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析
【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．
【详解】解：（1）△ABC是直角三角形；
理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；
理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝AB CH＝AC BC，
∴CH＝（m），
∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
19．已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90 ，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90°．
（1）如图1，若，AD=1，求DB的长．
（2）如图1，求证：．
（3）如图2所示，过C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=2，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得；
（2）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用等腰直角三角形的性质可得证；
（3）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用三角形全等可得证．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，
∵，
∴，
∴在Rt△ABD中，．
（2）证明：如图，过C点作CF⊥CD交DB的延长线于点F．
∵∠ACB=∠DCF=90°，
∴∠ACD=∠BCF，
∵∠CAD+∠CBD=360°－(∠ACB+∠ADB)=180°，∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠CAD=∠CBF，
又∵CA=CB，
∴△CAD≌△CBF(ASA)，
∴CD=CF，AD=BF，
∴，
∵DF=DB+BF=DB+DA，
∴．
（3）解：如图，过C点作CF⊥CD交AD与F点，
∵∠ACB=∠DCF=90°，即∠ACF+∠BCF=∠BCD+∠BCF=90°，
∴∠ACF=∠BCD，
∵∠AFC=∠FCD+∠CDA=90°+∠CDA，∠CDB=∠CDA+∠ADB=90°+∠CDA，
∴∠AFC=∠CDB，
又∵CA=CB，
∴△CAF≌△CBD(AAS)，
∴CF=CD，AF=BD，
∴△CDF是等腰直角三角形，
又∵CE⊥AD，
∴E为DF中点，
∵AD=6，AF=BD=2，
∴FD=AD－AF=4，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，手拉手模型的构造，熟练构造手拉手模型是解题的关键.
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