第二十二章二次函数单元复习卷（含答案）2023-2024学年九年级上册数学人教版

第二十二章二次函数单元复习卷
一．选择题（共12小题）
1．将抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是（　　）
A．y＝3x2+2 B．y＝3x2﹣2 C．y＝3（x+2）2 D．y＝3（x﹣2）2
2．已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（　　）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
3．将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为 （　　）
A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6
4．已知点A（a，2），B（b，6），C（c，d）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，d＜1．下列选项正确的是（　　）
A．若a＜0，b＜0，则b＜c＜a B．若a＞0，b＜0．则b＜a＜c
C．若a＜0，b＞0，则a＜c＜b D．若a＞0，b＞0，则c＜b＜a
5．如图，抛物线与x轴只有一个公共点A（2，0），与y轴交于点B（0，4），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）
A．4 B．2 C．6 D．8
6．如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移三个单位、再向上平移两个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（﹣4，﹣2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（4，2）
8．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，且2≤x≤3时，y的最大值为10，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．±3
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．下列结论错误的是（　　）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 …
A．a＜0
B．2a+b＝0
C．当x＞1时，y的值随x的增大而增大
D．表中盖住的数是0
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（1，m），其部分图象如图所示，以下结论错误的是（　　）
A．a＞0 B．abc＞0 C．4ac﹣b2＜0 D．3a+c＜0
11．关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向下
B．对称轴为直线x＝1
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
12．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＜0；
②2a+b＝0；
③a+b+c＞0；
④当﹣1＜x＜3时，y＞0．
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，直线l∥x轴，则当ax2+bx+c≥1时x的取值范围 　 　．
14．如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是 　 　．
15．抛物线y＝ax2﹣4x+2的顶点坐标为（2，n）．
（1）a＝　 　；
（2）若抛物线y＝ax2﹣4x+2向下平移m（m＞0）个单位后，在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 　 　．
16．如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为 　 　．
17．如图，已知二次函数y＝﹣3（x+m）2+k（m，k为常数，且k＞0）的图象与x轴交于A，B两点，若线段AB的长为4，则k的值是 　 　．
三．解答题（共5小题）
18．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求该抛物线的对称轴．
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
19．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 60 70 80
周销售量y（件） 100 80 60
周销售利润w（元） 2000 2400 2400
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
20．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知OB＝m米，排球场的边界点A距O点的水平距离OA为18米，球网EF高度为2.4米，且OE＝OA．
（1）C点的坐标为 　 　（用含m的代数式表示）
（2）当m＝2时，求抛物线的表达式．
（3）当m＝2时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
（4）若运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为L1，球落地后立即向右弹起，形成另一条与L1形状相同的抛物线L2，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个可以移动的纵切面为梯形的无盖排球回收框MNPQ（MQ∥PN），其中MQ＝0.5米，MN＝2米，NP＝米，若排球经过向右反弹后沿L2的轨迹落入回收框MNPQ内（下落过程中碰到P、Q点均视为落入框内），设M点横坐标的最大值与最小值的差为d，请直接写出d的值．

21．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，﹣6），抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x＝1．
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线1于点D，过点P作PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值及此时P点的坐标．
22．已知抛物线与x轴交于A、B两点（A点在左侧）．
（1）AE∥BF，AE、BF分别交抛物线于E、F两点，AE的解析式为y＝k1x+b1（E点在第一象限），BF的解析式为y＝k2x+b2，直接写出b1+b2的值（F点在第三象限）；
（2）在（1）的条件下，若，求证：EF一定与定直线平行；
（3）若P（0，），M、N、C都在抛物线上，且四边形MNCP为平行四边形，求证：MC必过一定点．
参考答案
1--10DBDCD CCACD 11--12BD
13．﹣0.5≤x≤2.5
14．y＝（x+1）2+1
15．（1）1 （2）2≤m＜7．
16．﹣2
17．12
18．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣1，0），（3，0）．
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1；
（2）∵抛物线的对称轴为直线＝1，且a＞0，开口向上，
∴x＜1时，y随x的增大而减小．
19．解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+220；
（2）该商品进价是60﹣2000÷100＝40，
设每周获得利润为w元，
则有w＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∴当售价是75元/件时，周销售利润的最大利润是2450元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，
∵﹣2＜0，对称轴x＞75，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤70，∴w随x的增大而增大，
当x＝70时，w最大＝2000，
即﹣2×702+（300+2m）×70﹣8800﹣220m＝2000，
解得：m＝5．
20．解：（1）∵抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，OB＝m米，
∴C（6，m+1）；
故答案为：（6，m+1）；
（2）当m＝2时，
∴C（6，3），B（0，2），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+3，
将点B（0，2）代入，得2＝a（0﹣6）2+3，
解得：a＝，
∴抛物线的表达式为；
（3）球能越过球网，球不会出界，理由如下：
由（2）知，当m＝2时，抛物线的表达式为，
∵OA＝18米，OE＝OA，
∴OE＝＝9（米），
∵球网EF高度为2.4米，
∴F（9，2.4），
当x＝9时，y＝＝2.75，
∵2.75＞2.4，
∴球能越过球网，
当y＝0时，，
解得：，，
∴D，
∵＜18，
∴球不会出界；
（4）∵球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，
又∵L2是与L1形状相同的抛物线，此时排球运行的最大高度为1米，
∴设L2的表达式为，
将点A（18，0）代入，得
解得：h1＝12（舍去），h2＝24，
∴L2的表达式为，
设点M的横坐标为t（t≥24），则Q（t，0.5），P，
当y＝0.5时，
解得：，（舍去），
当y＝时，，
解得：t1＝24，t2＝20（舍去），
∴24≤t≤，
∴d＝﹣24＝．
21．解：（1）设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），
∵直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，﹣6），
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为y＝x﹣6；
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴y＝a（x﹣1）2+k，
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣；
（3）∵A（6，0），B（0，﹣6），
∴OA＝OB＝6，
在△AOB中，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PC⊥x轴，PM⊥l，
∴∠PCA＝∠PND＝90°，
在Rt△ADC中，∵∠PCA＝90°，∠OAB＝45°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠PDM＝∠ADC＝45°，
在Rt△PMD中，∠PMD＝90°，∠PDM＝45°，
∴sin45°＝，
∴PM＝PD，
∵y＝（x﹣1）2﹣＝x2﹣x﹣6，
∴设点P（t，t2﹣t﹣6），
∴D（t，t﹣6），
∴PD＝t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝3时，PD有最大值是，此时PM最大，
PM＝PD＝×＝，
当t＝3时，t2﹣t﹣6＝×9﹣×3﹣6＝﹣，
∴P（3，﹣），
∴PM的最大值是，此时点P（3，﹣）．
22．（1）解：∵y＝﹣x2+，
令y＝0，得﹣x2+＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝，
∴A（﹣，0），B（，0），
∴OA＝OB＝，
设AE交y轴于G点，BF交y轴于H点，如图，
∵AE∥BF，
∴∠GAO＝∠HBO，
又∵∠AOG＝∠BOH，
∴△AGO≌△BHO（AAS），
∴OG＝OH，
∵AE的解析式为y＝k1x+b1（E点在第一象限），BF的解析式为y＝k2x+b2（F点在第三象限），
∴G（0，b1），H（0，b2），
∵点G在y轴正半轴上，点H在y轴负半轴上，且OG＝OH，
∴b1+b2＝0；
（2）证明：AE的解析式为y＝k1x+b1，与抛物线的解析式联立得：，∴x2+k1x+b1﹣＝0，
则xA xE＝2b1﹣3，
同理可得：xB xF＝2b2﹣3，
∴xA xE+xB xF＝2（b1+b2）﹣6，
由（1）知：b1+b2＝0，
∴xA xE+xB xF＝﹣6，
∵xA+xB＝0，
∴xB（xF﹣xE）＝﹣6，
∵xB＝，
∴xF﹣xE＝﹣2，
设EF的解析式为y＝kx+b，
则，
∴yF﹣yE＝k（xF﹣xE）＝﹣2k，
∵EF＝2，
∴EF2＝（2）2，
即（xF﹣xE）2+（yF﹣yE）2＝（2）2，
∴（﹣2）2+（﹣2k）2＝120，
∴k2+1＝10，
解得：k＝±3，
又∵k＞0，
∴k＝3，即直线EF与直线y＝3x平行，
∴EF一定与定直线平行；
（3）证明：设MC解析式y＝kx+b，与抛物线的解析式联立，得，
∴x2+2kx+2b﹣3＝0，
设M（x1，y1），C（x2，y2），N（xN，yN），
∴x1+x2＝﹣2k，
∵P（0，），且四边形MNCP为平行四边形，
∴xN﹣x1＝x2﹣0，yN﹣y1＝y2﹣，
∴xN＝x1+x2，yN＝y1+y2﹣，
∴xN＝﹣2k，yN＝kx1+b+kx2+b﹣＝k（x1+x2）+2b﹣＝﹣2k2+2b﹣，
∴N（﹣2k，﹣2k2+2b﹣），
∵点N在抛物线上，
∴yN＝﹣+，
∴﹣2k2+2b﹣＝﹣（﹣2k）2+，
解得：b＝1，
∴直线MC过定点（0，1）