金堂中学高三复习专题之概率题怎么解(文科版)

概率题怎么解(文科)
四川省金堂中学 郑学良
相关名词：
　　1.必然事件：
2.不可能事件
3.随机事件：
4.必然事件和不可能事件的统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，其一般用大写字
母A、B、C……表示；
5. 基本事件：在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果。它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件。
　　6\基本事件具备如下性质：（1）不能或不必分解为更小的随机事件；（2）不同的基本事件不可能同时发生。
.频数与频率：
一、正确判断事件类型是解概率题的关键
正确理解等可能事件（也叫随机事件），互斥事件，对立事件，独立事件，独立重复试验的概念是解概率题的基础，熟练掌握这些概念之间的关系是正确解题的保证．
等可能事件强调的是在一定条件下基本事件出现的机会均等，在计算概率时，每一次试验中所有可能出现的结果是有限的．
互斥事件与对立事件的区别与联系：两事件对立，则一定互斥，两事件互斥，但不一定对立，故两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．互斥事件与独立事件的区别与联系：共同点：都是研究两个事件的关系，不同点：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，两者互不影响．两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生．所以互斥事件一定不独立，独立事件不一定互斥．其实生活中有这样两种事件，它们既不独立，也不互斥。
互斥事件特征分析：
　　第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;
　　第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;
　　第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的>
　　从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。
相互独立事件特征分析：
　　第一，相互独立是研究两个事件的关系；
　　第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；
　　第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.
概率公式：
1、 等可能事件的概率公式
2、 P（A＋B）＝P(A)+P(B) 互斥事件有一个发生的概率公式
3、.P（）＝1—P(A) 对立事件的概率公式
4、P（A·B）＝P（A）·P（B）相互独立事件同时发生的概率
5、 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率
公式理解：
1、 符号理解
A＋B是指“事件A或B发生”
A·B是指“事件A且（同时）B发生”；
2、 对于A、B的是否发生应该分四类情况，（1）A发生同时B发生；（2）A发生同时B不发生；（3）A不发生同时B发生
（4）A不发生同时B不发生。
分别记为 ， ，， ，他们彼此互斥
其中（1）读为“A、B都发生”；
其中（4）读为“A、B都不发生”；
其中（1）与（2）可以合并为“A发生”，即A=+；
其中（3）与（4）可以合并为“B发生”，即B=+ ；
其中（2）与（3）可以合并为“A、B恰有一个发生”;
其中（2）、（3）与（4）可以合并为“A、B至少一个发生”;
其中（1）、（2）与（3）可以合并为“A、B至多一个发生”;
3、公式P（A＋B）＝P(A)+P(B) 使用的前提是A与B互斥，是指在同次实验中A与B不会同时发生；
P（A·B）＝P（A）·P（B） 使用的前提是A与B独立，是指在一次实验中A的发生不影响下一次实验中B的发生.
4、
二、解概率题的具体操作方法
通过对事件的理解与对词语的把握来解决问题
概率问题的主要考查是五种事件(等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件、n次独立重复事件)的判断识别以及事件发生概率的计算,每种事件的识别关键是对概念的理解和对定义关键字词的把握.
在审题中阅读题目，建议三读：一读是否有概率数（数字特征），二读是否互斥，三读是否独立（互不影响）(字特征)
例 甲乙两人参加普法知识竞赛，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题．
（Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题是多少？（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
分析 由于对每道题被抽到的可能性相等,故本题是一个等可能性事件的概率问题.同时注意到“甲、乙二人依次各抽一题”在解题中的作用：指明一次实验是“甲、乙二人依次各抽一题”，那么实验的结果会有4类情况：①甲选同时乙选②甲选同时乙判③甲判同时乙选④甲判同时乙判．
解: （1） 甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率，
（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率。
求解古典概型事件A的概率一般遵循如下步骤：
　　（1）先确定一次试验是什么，此时一次试验的可能性结果有多少，即算出基本事件的总个数n；
　　（2）再确定所研究的事件A是什么，事件A包括结果有多少,即求出m；
　　（3）应用等可能性事件概率公式计算。
　　注意：求P(A)时，要首先判断是否是古典概型；确定m、n的数值是关键所在。我们可以提出改省套的思维模式。
求基本事件数的方法：
　　（1）穷举法；
　　（2）树形图；
　　（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。
二、通过应用分类讨论的思想来解决问题
一个复杂事件可以拆分为两个或两个以上的互斥事件或相互独立事件的和事件，拆分所遵循的原则是分类的不重、不漏，其实对事件中某个元素进行分类讨论。
解题的关键是分析实验是否可以分拆为几个独立的小实验，特别地如果小实验可以视为相同实验，问题可以化为独立重复。罗列实验的结果，按照某个条件将结果分类，转化为互斥事件。
例 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）．
（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；
（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？
分析 读题发现关键词“相互独立”，那么用“同时”研读实验--------某单位6个员工借助互联网开展工作。实验就是1号员工借助互联网开展工作同时2号员工借助互联网开展工同时……。每个人实验的结果分上网和不上网，大实验的结果应该有种。可以将结果按照上网人数的多少应分类，共分7类：恰有i人同时上网（i=0，1，2，3，4，5，6）。
“至少3人同时上网”则包含为恰有3人同时上网，恰有4人同时上网，恰有5人同时上网，恰有6人同时上网的四种类型，
注意大实验分成6个小实验，6个小实验可以看做独立重复的。
解：（Ⅰ）至少3人同时上网的概率
（Ⅱ）至少4人同时上网的概率，至少5人同时上网的概率，故至少5人同时上网的概率小于0.3。
三、通过合理运用公式来解决问题
当一个复杂事件直接解答比较困难时（复杂事件包含的实验结果较多），我们可以从它的对立事件（包含的实验结果少）入手解决，罗列实验结果，从正面和反面都去思考实验结果的包含情况，举一反三，有利于尽快尽好地理解掌握求事件概率的方法。
例3 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
解：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)===，
P(B)===.
因为事件A、B相互独立，
方法一：（运用对立事件概率求解）
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
P()=P()P()=（1－)(1－)=.
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P=1－P()=1－=.
方法二：（分类讨论方法求解）
∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)
=×+×+×=.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
　强化训练
1、在某次趣味运动会中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
（Ⅰ）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；
（Ⅱ）求三人得分相同的概率；
（Ⅲ）求甲不是小组第一的概率.
解：（Ⅰ）设甲获小组第一且丙获小组第二为事件A,
(A)=；………………………………………………………………4分
（Ⅱ）设三场比赛结束后，三人得分相同为事件B,
即每人胜一场输两场,有以下两种情形：
甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，概率为=；…………………………6分
甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲，概率为=；………………………………8分
三人得分相同的概率为=+==．………………………………9分
（3）设甲不是小组第一为事件C,
解法一： =1—=；……………………………………………………13分
解法二：该小组第一是乙或丙的概率为+=+=，
=+=.………………………………………………………………13分
北京市东城区2007-2008学年度第一学期期末教学目标检测
2、有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为.
（Ⅰ）若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；
（Ⅱ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率．
（Ⅰ）解：甲和乙之间进行三场比赛，甲恰好胜两场的概率为
． ………………6分
（Ⅱ）解：记“甲胜乙”，“甲胜丙”，“甲胜丁”三个事件分别为则，，.则四名运动员每两人之间进行一场比赛，甲恰好胜两场的概率为
………………13分
北京市丰台区2007—2008学年度第一学期期末练习
某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响。
（I）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（II）求这三个人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。
解：设“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，设“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3。
（I）设“理论考核中至少有两人合格”为事件C，为C的对立事件，
=0.902. …………6分
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902.
（II）设“三个人该课程考核都合格”为事件D。
=0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9=0.254. …………13分
所以，这三个人该课程考核都合格的概率为0.254.
北京市海淀区2007-2008学年高三年级第一学期期末练习数学
某城市有30﹪的家庭订阅了A报，有60﹪的家庭订阅了B报，有20﹪的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取4个家庭.
（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率；
（Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率；
（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率.
解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报”的事件为A， 1分
4分
答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率为.
（Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报”的事件为B， 5分
8分
答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率为.
（III） 设“这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅”的事件为C， 9分
因为有30﹪的家庭订阅了A报，有60﹪的家庭订阅了B报，
有20﹪的家庭同时订阅了A报和B报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪.
所以 12分
北京市石景山区2007—2008学年第一学期期末考试试卷
体育课上练习投篮， 甲、乙两名学生在罚球线投球的命中率分别为、，
每人投球次．
（Ⅰ）求两人都恰好投进球的概率；
（Ⅱ）求甲恰好赢乙球的概率．
解：（Ⅰ）记甲、乙两人都恰好投进球为事件 . ………………………1分
由于甲、乙两人各投进两球为相互独立事件 ，
则甲乙两人都恰好投进球的概率为
. ………………………5分
（Ⅱ）记甲赢乙球为事件 . ………………………6分
甲赢乙球共有三种情况： 甲投中球乙没中, 甲投中球乙投中球, 甲投 中球乙投中球，这三种情况彼此互斥 . ………………………8分
则甲赢乙球的概率为
. ………………………12分
北京市西城区2008年抽样测试高三数学
甲、乙两人进行投篮训练，已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是.假设两人投球命中与否相互之间没有影响.
（Ⅰ）如果两人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率；
（Ⅱ）如果两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率.
（Ⅰ）解：记 “甲投球1次命中”为事件，“乙投球1次命中”为事件.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是
7分
（Ⅱ）解：
事件“两人各投球2次均不命中”的概率为，…………10分
两人各投球2次，这4次投球中至少有1次命中的概率为 …… 13分
北京市宣武区2007-2008学年度第一学期高三期末质量检测
甲盒中装有7个标号为1、2、3、4、5、6、7的小球，乙盒中装有个标号为的小球，
（1）从甲盒中有放回地抽取小球3次，每次抽取一个球，求恰有两次抽取7号球的概率；
（2）现将两盒球均匀混合，从中随机抽取一个小球，若抽取的标号为的小球的概率为，求的值。
解：（1）恰有2次抽取7号球的概率为
……………………………………………………5分
（2）由题意，得：当时，。
当时，有，不合题意舍去。
。……………………………………………………………………………………13分
北京市朝阳区2007～2008学年度高三年级第一学期期末统一考试
某班要从5名男生和3名女生中任选4名同学参加奥运知识竞赛.
（I）求所选的4人中恰有2名女生的概率；
（Ⅱ）求所选的4人中至少有1名女生的概率；
（Ⅲ）若参加奥运知识竞赛的选手获奖的概率均为，则恰有2名选手获奖的概率是多少
解：（I）设所选的4人中恰有2名女生为事件，
则.…………………………………………………4分
（Ⅱ）设所选的4人中至少有1名女生为事件，
则. ………………………………8分
（Ⅲ）设参加奥运知识竞赛恰有2名选手获奖为事件，
则. …………………………………13分