知源高级中学 2023 年下学期高一第一次月考
数学科试卷
满分：150分 考试时量：120分钟
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 命题“ ∈ ，| | + | 1| < 2”的否定是 ( )
A. ∈ ，| | + | 1| > 2 B. ∈ ，| | + | 1| 2
C. ∈ ，| | + | 1| > 2 D. ∈ ，| | + | 1| 2
2. 已知幂函数 ( )的图象过点(4,2)，则 (16) =( )
A. 8 B. ±4 C. 4 D. 4
3. 设 ∈ ，则“ > 1”是“ 2 > ”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
( 2) + 5
4. 已知函数 ( ) = 2
, 2
是 上的减函数，则实数 的取值范围是 ( )
, > 2
A. 0,2 B. 1,2 C. 1,2 D. 0,1
5. 用 min{ , }表示 , 两个数中的较小值，设 ( ) = min{ + 3,7 }，则 ( )的最大值为
( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 如图，△ 是边长为 2的等边三角形，点 由点 沿线段 向点
移动，过点 作 的垂线 ，设 = ，记位于直线 左侧的图形的面积
为 ，那么 与 的函数关系的图象大致是 ( )
A. B.
C. D.
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7. 设 > 0 1 1 ， > 0，不等式 + + + 0恒成立，则实数 的最小值是 ( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 4
8. 设 ( )是定义在 上的奇函数，且当 ≥ 0时， ( ) = 2，若对任意的 ∈ [ , + 2]，不等
式 ( + ) ≥ 2 ( )恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. [ 2, + ∞) B. [2, + ∞)
C. (0,2] D. [ 2, 1] ∪ [ 2, 3]
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 对于任意实数 ， ， ， ，则下列命题正确的是 ( )
A. 若 2 > 2，则 > B. 若 > ， > ，则 + > +
C. 1 1若 > ， > ，则 > D. 若 > ，则 >
10. 图(1)是某条公共汽车线路收支差额 关于乘客量 的图象，图(2)、(3)是由于目前本条路
线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法正确的是( )
A. 图(1)的点 的实际意义为：当乘客量为 0时，亏损 1个单位
B. 图(1)的射线 上的点表示当乘客量小于 3时将亏损，大于 3时将盈利
C. 图(2)的建议为降低成本而保持票价不变
D. 图(3)的建议为降低成本的同时提高票价
11. 已知 > 0, > 0，且 + = 4 则下列结论一定正确的有 ( )
A. ( + 2 )2 ≥ 8 B. 1 1 + ≥ 2
C. 有最大值 4 D. 1 +
4
有最小值 9
12. 已知函数 ( )， ∈ ( ∞,0) ∪ (0, + ∞)，对于任意的 ， ∈ ( ∞,0) ∪ (0, + ∞)，
( ) = ( ) + ( )，则( )
A. ( )的图象过点(1,0)和( 1,0) B. ( )在定义域上为奇函数
C. 若当 > 1 时，有 ( ) > 0，则当 1 < < 0时， ( ) < 0
D. 若当 0 < < 1时，有 ( ) < 0，则 ( ) > 0 的解集为(1, + ∞)
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三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13. 设全集为 ，集合 = ∣ ≥ 0 ， = { | 2 < < 1}，则 ∩ = ．
14. 把总长为 16 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 2．
15. 函数 ( ) = 2 2 3, ∈ [ 2, ]的值域是[ 4,5]，则实数 的取值范围是 ．
16. 我们知道，函数 = ( )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 =
( )为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图
形的充要条件是函数 = ( + ) 为奇函数．已知 ( ) = 3 + + 1．
(1)若 ( )在 6,6 上的最大值为 ，最小值为 ，则 + = ；
(2)若 = 1， = 3，则函数 ( )的对称中心为 ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10分)
已知函数 ( ) = + 2 + 5 的定义域为 ．
(1)求集合 ;
(2)若集合 = { | 2 2 + 1}，且 ，求实数 的取值范围．
18. (本小题 12分)
已知不等式 2 + + > 0 的解集为 1 < < 3 ．
(1)求 , 的值；
(2)若关于 的不等式 2 + 2 + 4 + > 0 有解，求实数 的取值范围．
19. (本小题 12分)
(1)已知 > 1，求 4 + 1 + 1 1的最小值；
(2)已知 0 < < 1，求 4 3 的最大值．
20. (本小题 12分)
已知 ∈ ，命题 ： ∈ [1,2]， ≤ 2；命题 ： 0 ∈ ， 20 + 2 0 ( 2) = 0．
(1)若 是真命题，求 的最大值；
(2)若 、 中有且只有一个是真命题，求 的取值范围．
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21. (本小题 12分)
某地区上年度电价为 0.8元/( )，年用电量为 ，本年度计划将电价下降到 0.55
元/( )至 0.75元/( )之间，而用户期望电价为 0.4元/( ).经测算，下调电价后
新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为 ).该地区的电力成本价为
0.3元/( )．
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益 (单位：元)关于实际电价 (单位：元/( ))的
函数解析式; (收益=实际电量× (实际电价一成本价) )
(2)设 = 0.2 ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%
22. (本小题 12.0分)
已知 ( ) =
2+4， ∈ ( 2,2)．
(1)判断 ( )的奇偶性并说明理由；
(2)求证：函数 ( )在( 2,2)上是增函数；
(3)若不等式 ( ) < ( 2) + 5 对任意 ∈ ( 2,2)和 ∈ [ 3,0]都恒成立，求 的取值范围．
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数学科答案和解析
1.【答案】 解：由全称量词命题的否定为存在量词命题可知：命题“ ∈ ，| | + | 1| < 2”
的否定是“ ∈ ，| | + | 1| 2”.故选 B．
2.【答案】 解：设幂函数 ( ) = ，将点 4,2 代入，即 2 = 4 ，
解得 = 1 12，所以 ( ) = 2，所以 (16) = 16 = 4．故选 C．
3.【答案】 解：易知 > 1 2 > ，而 2 > < 0 或 > 1，
所以“ > 1”是“ 2 > ”的充分不必要条件，故选 A．
4. 【答案】 解：由题意可知： = 在(2, + ∞)上单调递减，即 > 0；
= ( 2) + 52在( ∞,2]上也单调递减，即 2 < 0；
> 0
又 ( )是 上的减函数，则 2( 2) + 52
2 < 0
2，∴ ,2( 2) + 5 2 2
解得 1 < 2，则实数 的取值范围是 1,2 ．故选 C．
5.【答案】 解：令 + 3 7 ，解得 2，令 + 3 > 7 ，解得 > 2，
故 ( ) = + 3, 27 , > 2 ,易得当 2时， ( )单调递增，当 > 2 时， ( )单调递减，
则 ( )的最大值为 (2) = 5．故选 B．
6.【答案】 解：当 0 ≤ ≤ 1时， = 12 tan 60° =
3 2，
2
1 1
显然此时函数的图象是开口向上的抛物线的一部分；当 1 < ≤ 2时， = 2 × 2 × ( 2 × 2 ×
tan 60°) 12 × (2 ) [(2 ) tan 60°] =
3 ( 2)2 + 3，2
显然此时函数的图象是开口向下的抛物线的一部分，综上所述，故选 D．
7. 1 1 【答案】 解：∵ > 0， > 0，不等式 + + + 0恒成立，
1 1 1 1
即 ( + )( + )恒成立，∴只需 [ ( + )( + )]max，
∵ ( 1 1 + )( + ) = 2 +
+ 2+ 2
= 4，当且仅当 = 时取等号，
1 1
所以 ( + )( + ) 4，当且仅当 = 时取等号，∴ 4，∴ 的最小值为 4．故选 D．
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8.【答案】 解：当 ≥ 0时， ( ) = 2，当 < 0 时， > 0， = 2 = ，
所以当 < 0 时， = 2，所以 ( )在 上单调递增，
对于 ∈ ,都有 2 = 2 ，∴ ( + ) ≥ 2 ( ) + ≥ 2 ，
即 + ≥ 2 ≤ 2 1 = 2 + 1 对任意的 ∈ [ , + 2]恒成立，
∴ = + 2 ≤ 2 + 1 ≥ 2，∴实数 的取值范围为[ 2, + ∞);故选： ．
9.【答案】 解： ，若 2 > 2 1 1，易得 2 > 0， 2 2 2 > 0，不等式 > 两边同乘以 2，则 > ，
故 A 正确； ，由不等式同向可加性，若 > ， > ，则 + > + ，故 B 正确；
，令 = 2， = 1， = 1， = 2，此时满足 > ， > ，但 = ，故 C 错误；
= 1 = 2 1 1，令 ， ，此时满足 > ，但 < ，故 D 错误．故选 AB．
10.【答案】 解：收支差额=车票收入 支出费用，
选项 A，点 的坐标为(0, 1)，其含义是当乘客量为 0时，亏损 1个单位，即 A 正确；
选项 B，点 的坐标为(3,0)，其含义是当乘客量小于 3时亏损，大于 3时盈利，即 B 正确；
选项 C，直线平移，即票价不变，当乘客量为 0时，收入是 0，但是支出减少了，也即成本降低，
所以 C 正确；选项 D，当乘客量为 0时，支出不变，但在相同的乘客量时，收入变大，也就是提
高票价，所以 D 错误．故选： ．
11.【答案】 解：对 ，( + 2 )2 8 = 2 2 0，故( + 2 )2 8 ，故 A 正确；
对 ，取 = 1， = 3 1 1 3，则 + = 1 + , 2 = 2 3，显然 1 + 3 < 2 3，故 B 错误； 3 3
2
对 ，由基本不等式可得 + = 4，当且仅当 = = 2 时，等号成立，2
所以 的最大值为 4，故 C 正确；
1 4 1 1 4 1 4 1 4 9
对 ， + = 4 + + = 4 5 + + 4 5 + 2 · = 4，
4 4 8 1 4 9
当且仅当 = ，即 = 3 , = 3时，等号成立，所以 + 的最小值为4，故 D 错误．故选 AC．
12【. 答案】 解：因为 = + ，令 = = 1，得 (1) = (1) + (1)，求得 (1) = 0，
令 = = 1，得 (1) = ( 1) + ( 1)，求得 ( 1) = 0，
即 ( )的图象过点(1,0)和( 1,0)，故 A 正确；又函数 ∈ ( ∞,0) ∪ (0, + ∞)， ( ) = ( ) + ( )，
令 = 1得 = + 1 = ，故 ( )在定义域上为偶函数，故 B 错误；
1 > 1 = 1 · = 当 > 1 时，有 > 0，设 1 > 2 > 0，则 ，
1
2 1 2 2 2
+
2 2
12 2 = > 0，2
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所以函数 ( )在 0, + ∞ 上单调递增，又 (1) = 0，所以 ∈ 0,1 时， < 0，
根据 ( )在定义域上为偶函数，得 1 < < 0 时， < 0，故 C 正确；
1
当 0 < < 1 时，有 < 0，设 2 > 1 > 0，则 0 < < 1，2
1 2 =
1
· 2 2 =
1
+ 2 2 =
1
< 0，2 2 2
所以函数 ( )在 0, + ∞ 上单调递增，又 (1) = 0，所以 > 1 时， ( ) > 0，
根据 ( )在定义域上为偶函数，得 < 1时， ( ) > 0，即 > 0 的解集为( ∞, 1) ∪ (1, +
∞)，故 D 错误；故选 AC．
13.【答案】{ | 2 < < 0} 解：因为 = ∣ ≥ 0 ，所以 = { | < 0}，又因为 = { |
2 < < 1}，所以 ∩ = ∣ 2 < < 0 ．故答案为：{ | 2 < < 0}．
14.【答案】16 解：设一边长为 ，则另一边长可表示为 8 ，则面积 = (8 ) = 2 + 8 =
( 4)2 + 16，0 < < 8,故当矩形的长与宽相等，都为 4时面积取到最大值 16故应填 16．
15.【答案】 1,4 解：因为函数 ( ) = 2 2 3, ∈ [ 2, ]的对称轴为 = 1，图象开口向
上，故 ( )在 2,1 上单调递减，在[1, + ∞)上单调递增，由函数 ( ) = 2 2 3, ∈ [ 2, ]
的值域是[ 4,5]，又 (1) = 4， ( 2) = (4) = 5，故 ∈ [1,4]．故答案为： 1,4 ．
16.【答案】2； 0,1 解：(1) ∵ = 3 + 在 上为奇函数，∴在 6,6 上， max = min，
∴ + = ( max + 1) + ( min + 1) = 2；(2)由(1)知， = 3 + 为奇函数，所以对称中心 0,0 ，
所以函数 ( )的对称中心中为 0,1 ．故答案为 2； 0,1 ．
17. + 2 0解：(1)由题知： 5 0，解得 2 5，所以 = { | 2 5};
(2)由(1)知 = { | 2 5}，因为 = { | 2 2 + 1}，且 ，
所以当 = 时， 2 > 2 + 1，得 < 3，满足题意；
2 2 + 1
当 ≠ 时，则 2 2 ，得 0 2；所以实数 的取值范围( ∞, 3) ∪ [0,2]．
2 + 1 5
18.【答案】解：(1)由题意：1和 3是方程 2 + + = 0 的两根，且 < 0，
< 0 1
所以 1 + 3 =
1 =
，解得
4；
1 × 3 = =
3
4
(2) 1 3由(1)得 = 4， =
2
4，所以 + 2 + 4 + > 0
1
有解，等价于 4
2 + 2 3 + > 0
有解，故只需 > 0，即 4 + 3 > 0，解得 > 1，所以实数 的取值范围是 > 1．
19.【答案】解：(1)因为 > 1，所以 1 > 0，
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所以 4 + 1 + 1 1 = 4 1 +
1 1 ，
1 + 5 ≥ 2 4 1 1+ 5 = 9
4 1 = 1 3 1当且仅当 1，即 = 2时取等号，所以 4 + 1 + 1的最小值为 9．
(2)因为 0 < < 1，所以 4 3 = 1 3 4 3 ≤ 1 3 +4 3
2
= 4，3 3 2 3
3 = 4 3 = 2当且仅当 ，即 3时取等号，故 4 3
4
的最大值为3．
20.【答案】解：(1)根据题意，若 是真命题，即 ≤ 2( ∈ [1,2])恒成立，
当 ∈ [1,2]时， 2的最小值为 1，所以 ≤ 1，即 的最大值为 1；
(2)若 是真命题， = (2 )2 + 4( 2) ≥ 0，解得 ≤ 2或 ≥ 1，
由已知 、 ≤ 1一真一假，若 真 假，则 2 < < 1 2 < < 1，
> 1
若 假 真，则 ≤ 2 ≥ 1 > 1，或
综上， > 1 或 2 < < 1，故 的取值范围为{ | > 1 或 2 < < 1}．
21. 【答案】解：(1)依题意知用电量增至 0.4+ ，则电力部门的收益为 = ( 0.4 + )(
0.3)(0.55 ≤ ≤ 0.75)。
0.2
(2) ( 0.4 + )( 0.3) × (0.8 0.3)(1 + 20％)依题意，
0.55 0.75
2 1.1 + 0.3 0,
整理得 0.55 0.75, 解得 0.6 ≤ ≤ 0.75。
答：当电价最低定为 0.6元/( )时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%。
22.【答案】 解： (1)函数 ( ) = 2+4 定义域为 ( 2,2)，任取 ∈ ( 2,2) ，有 ( ) =
( )2+4 = 2+4 = ( )，所以 ( )是定义域 ( 2,2)上的奇函数；
(2)证明：设 1 ， 2 为区间 ( 2,2)上的任意两个值，且 1 < 2 ，
则 1 2 =
1 2 2 1 1 2 4
2
2 = 2 2
1+4 2+4 1+4 2+4
；
因为 2 < 1 < 2 < 2，所以 2 1 > 0， 1 2 4 < 0，
即 1 2 < 0，即 ( 1) < ( 2)；所以函数 ( )在 ( 2,2)上是增函数；
(3)由 (1)(2)可知 ∈ ( 2,2)时， ( ) < (2) = 14 ．所以 ( 2) + 5 ≥
1 19
4 ，即 2 + 4 ≥ 0，
( 3) ≥ 0
对 ∈ [ 3,0]都恒成立，令 ( ) = 2 + 194 ， ∈ [ 3,0]
19
，则只需 (0) ≥ 0 ，解得 ≤ 20
19故 的取值范围 ∞, 20 ．
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