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2.1认识无理数
一、单选题
1．下列各数中是无理数的是（ ）．
A．3.5 B． C． D．
【答案】C
【详解】根据无理数是无限不循环小数解答即可．
解：A．3.5是小数，属于有理数，不符合题意；
B．是分数，属于有理数，不符合题意；
C．是无理数，符合题意；
D．，是整数，属于有理数，不符合题意．
故选：C．
本题考查的是无理数的识别，掌握无理数的定义是关键．
【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如等；②开方开不尽的数，如 等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．
2．下列一组数：，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，其中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，中，
无理数有，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），一共4个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及等有这样规律的数．
3．若直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为（ ）
A．5 B．6 C．5或 6 D．5或
【答案】D
【分析】因为直角三角形没说明3和4是直角边和斜边，所以要分两种情况进行讨论：4是斜边或第三边是斜边，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：当4为斜边时，第三边；
当3和4为直角边时，则第三边为斜边，第三边，
第三边长为5或
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，要知道如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么；如果直角三角形中没确定哪一条边是斜边或直角边时，要分情况讨论，不要丢解．
4．下列说法正确的是（ ）
A．是无理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是有理数
【答案】C
【分析】根据有理数和无理数的定义，逐一判定即可，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数．
【详解】A. 是有理数，故A选项说法错误；
B. 是无理数，故B选项说法错误；
C. 是无理数，故C选项说法正确；
D. 是无理数，故D选项说法错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数和无理数，解决问题的关键是熟练掌握有理数和无理数的定义．
5．下列4个数：，其中无理数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案.
【详解】，，=1这3个为有理数，是无理数
故选C.
【点睛】本题考查无理数，解题关键是熟练掌握无理数的概念.
6．在，﹣3.141，，﹣0.5，，0.5858858885…，中无理数的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据即可作出判断．
【详解】解：=4
∴所给数据中无理数有：，，0.5858858885 共3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的定义，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式．
7．下列说法正确的是( )
A．无限小数是无理数 B．无理数是带根号的数
C．无理数的相反数还是无理数 D．两个无理数的和还是无理数
【答案】C
【分析】直接利用无理数的定义与性质分析得出答案．
【详解】A、无限不循环小数是无理数，故此选项错误；
B、无理数是开方开不尽的数字，故此选项错误；
C、无理数的相反数还是无理数，正确；
D、两个无理数的和不一定是无理数，故此选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查了实数运算，正确掌握无理数的定义是解题关键．
8．下列说法错误的是（ ）
A．无限不循环小数是无理数
B．面积为的正方形的边长是一个无理数
C．是一个分数，所以也是有理数
D．任何有限小数或无限循环小数都不是无理数
【答案】C
【分析】根据无理数的定义对以下选项进行一一分析、并作出判断．
【详解】A. 无限不循环小数是无理数，符合定义，正确；
B. 面积为的正方形的边长是，是一个无理数，正确；
C. 是一个无限不循环小数，是无理数，错误；
D. 任何有限小数或无限循环小数都不是无理数，是有理数，正确.
故选C
【点睛】考核知识点：无理数.理解无理数定义是关键.
9．下列说法不正确的是（ ）
A．所有的整数和分数都是有理数 B．无理数一定是无限小数
C．无限小数一定是无理数 D．无理数不能写成分数的形式
【答案】C
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．
【详解】根据有理数的定义，整数属于有理数，分数属于有理数，故A正确；
无理数都是无限不循环小数，无限循环小数是有理数，故B正确，C错误；
分数不是无理数，故D正确.
故选C.
【点睛】本题考查的是实数的概念，掌握实数的分类、正确区分有理数和无理数是解题的关键，注意无理数是无限不循环小数．
二、填空题
10．在，，，，（每两个2之间1的个数逐次加1），中，无理数有 个．
【答案】
【分析】根据无理数的常见形式①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个），进行逐一判断即可．
【详解】解：由题意得
无理数有：，，（每两个2之间1的个数逐次加1）；
故答案：.
【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数是无理数，掌握无理数的常见形式是解题的关键．
11．若的值为有理数，请你写出一个符合条件的正实数的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】应用有理数与无理数的定义进行计算即可得出答案．
【详解】解：，是有理数．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了有理数与无理数，熟练掌握有理数与无理数的定义进行求解是解决本题的关键．
12．如果是无理数，则 是无理数．（填“一定”“不一定”或“一定不”）
【答案】不一定
【分析】根据无理数的定义和实数的运算判断即可．
【详解】解：当时，，是有理数，
当时，，是无理数，
∴不一定是无理数．
故答案为：不一定．
【点睛】本题考查了无理数和实数的运算，掌握无理数的定义是解答本题的关键．
13．写出一个无理数，使得，则可以是 （只要写出一个满足条件的即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，根据无理数的定义写一个无理数，满足即可．
【详解】解：无理数的三种形式为：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
只要写出一个满足条件的即可，比如：．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的三种形式是解题的关键．
14．指出下列各数中哪些是有理数？哪些是无理数？3，，3.14，，﹣π，5.6，901，4.121121112…，3.141414…．有理数有 ，无理数有 ．
【答案】 3，，3.14，，5.6，901，3.141414… -π，4.121121112…
【详解】试题解析：根据有理数和无理数的定义可知：
有理数有：3，，3.14，，5.6，901，3.141414…
无理数有：-π，4.121121112…
15．如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C均在正方形的顶点上，则C点到AB的距离为 .
【答案】/
【分析】连接，利用割补法求出，根据勾股定理求出，设C点到AB的距离为h,根据，问题可解.
【详解】，
解：连接
设C点到AB的距离为
解得：
故答案为
【点睛】`本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积
16．若， ．
【答案】4039
【分析】把已知条件变形平方，利用m2进行降次后，整体代入即可．
【详解】∵，
∴，
∴，∴．
原式，
，
故答案为：4039．
【点睛】本题考查条件求值问题，关键掌握把条件变形，整理出需要的结构形式降次及代入求值．
17．设a、b均为有理数，且满足等式4﹣a＝2b+2﹣a，则ab＝ ．
【答案】-2
【分析】先将等式变形为，先根据有理数的定义求出a的值，再将a的值代入等式可求出b的值，然后计算即可．
【详解】
，即
均为有理数
均为有理数
为有理数
，解得
将代入等式得，解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数与无理数概念的应用，依据有理数的定义求出a、b的值是解题关键．
三、解答题
18．把下列各数分别填入相应的集合里．
3.6， 0， ， ， ， ， 2023，
(1)分数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正有理数集合：{ …}；
(4)非负整数集合：{ …}．
【答案】(1)
(2)，
(3) ， ， 2023，
(4)， 2023
【分析】根据实数的分类，可得答案．
【详解】（1）分数集合：；
（2）无理数集合：，；
（3）正有理数集合： ， ， 2023，；
（4）非负整数集合： ， 2023．
【点睛】本题考查了实数，实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和0．
19．如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）；
（2）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）；
（3）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）．
【详解】（1）解：如图①，，，，即为所求；
（2）如图②，，，，即为所求；
（3）如图③，，，，即为所求；
【点睛】本题作图——应用与设计作图，无理数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD中AC，BD相交于点O，试说明边AB，BC，CD，AD的长度和对角线AC，BD的长度中，哪些是有理数？哪些不是有理数？
【答案】AB，AC，BD的长度是有理数，BC，CD，AD的长度不是有理数.
【分析】运用勾股定理求出各条线段的长度即可求得结果.
【详解】由题图知，，，，，，
由勾股定理，得，
，
，
，
因此AB，AC，BD的长度是有理数，BC，CD，AD的长度不是有理数.
【点睛】此题主要考查了有理数及无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001 ，等有这样规律的数.
21．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无理数；而0与无理数的积为0．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．
（1）如果，其中，为有理数，那么 ， ；
（2）如果，其中，为有理数，求的值．
【答案】（1）-1，2；（2）15
【分析】（1）根据，为有理数，是无理数，可得m+1=0，n-2=0，进而即可求解；
（2）先把原等式化为，即可得到m-2n=0，3m-18=0，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵，，为有理数，是无理数，
∴m+1=0，n-2=0，
∴m=-1，n=2，
故答案是：-1，2；
（2）∵，
∴，
∵，为有理数，是无理数，
∴m-2n=0，3m-18=0，即：m=6，n=3，
∴=15．
【点睛】本题主要考查无理数的意义以及整式的混合运算，理解“如果，其中，为有理数，为无理数，那么且”，是解题的关键．
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2.1认识无理数
一、单选题
1．下列各数中是无理数的是（ ）．
A．3.5 B． C． D．
2．下列一组数：，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，其中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为（ ）
A．5 B．6 C．5或 6 D．5或
4．下列说法正确的是（ ）
A．是无理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是有理数
5．下列4个数：，其中无理数是( )
A． B． C． D．
6．在，﹣3.141，，﹣0.5，，0.5858858885…，中无理数的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．下列说法正确的是( )
A．无限小数是无理数 B．无理数是带根号的数
C．无理数的相反数还是无理数 D．两个无理数的和还是无理数
8．下列说法错误的是（ ）
A．无限不循环小数是无理数
B．面积为的正方形的边长是一个无理数
C．是一个分数，所以也是有理数
D．任何有限小数或无限循环小数都不是无理数
9．下列说法不正确的是（ ）
A．所有的整数和分数都是有理数 B．无理数一定是无限小数
C．无限小数一定是无理数 D．无理数不能写成分数的形式
二、填空题
10．在，，，，（每两个2之间1的个数逐次加1），中，无理数有 个．
12．如果是无理数，则 是无理数．（填“一定”“不一定”或“一定不”）
13．写出一个无理数，使得，则可以是 （只要写出一个满足条件的即可）．
14．指出下列各数中哪些是有理数？哪些是无理数？3，，3.14，，﹣π，5.6，901，4.121121112…，3.141414…．有理数有 ，无理数有 ．
15．如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C均在正方形的顶点上，则C点到AB的距离为 .
16．若， ．
17．设a、b均为有理数，且满足等式4﹣a＝2b+2﹣a，则ab＝ ．
三、解答题
18．把下列各数分别填入相应的集合里．
3.6， 0， ， ， ， ， 2023，
(1)分数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正有理数集合：{ …}；
(4)非负整数集合：{ …}．
19．如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
20．如图，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD中AC，BD相交于点O，试说明边AB，BC，CD，AD的长度和对角线AC，BD的长度中，哪些是有理数？哪些不是有理数？
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