第21章 一元二次方程 复习提纲 （无答案）2023--2024学年人教版九年级数学上册
文档属性
| 名称 | 第21章 一元二次方程 复习提纲 （无答案）2023--2024学年人教版九年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 114.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-23 16:33:56 | ||
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文档简介
一元二次方程复习提纲
相关概念及一般形式：
概念： ;
判断：①整式方程；②一个未知数；③含未知数的项最高次数为2.
一般形式： .（必须带）
【练习1】下列方程中是一元二次方程的序号有： ；不是一元二次方程的请写明理由。
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥．
【练习2】当______时，关于的方程是一元二次方程．
注意：二次项系数和未知数最高次数为2必须同时满足，易忽略。
【练习3】一元二次方程的二次项系数是 、一次项系数是 、常数项是 .
注意：“”归 所有，如果没有对应项，则该项对应的系数为 .
【练习4】将方程化为一元二次方程的一般式是 。
【练习5】已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是2，则这个方程为______．
一元二次方程的根（解）： .（涉及方程解的问题，代入即可）
应用①——代入检验未知数的值是否为方程的解；
应用②——代入方程的解求解方程中的字母参数；
应用③——代入方程的解求整式的值（整体思想）。
【练习6】已知方程的一个根是，则的值是 .
【练习7】关于x的一元二次方程有一个解是0，则m＝______．
【练习8】若是关于x一元二次方程的一个实数根，则的值__．
一元二次方程的四种解法：
直接开方法
一般地，对于形如方程，根据平方根得定义可解得;
方程，根据平方根得定义可解得.
【练习9】方程的根是 .
【练习10】关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则_______；=______．
【练习11】用直接降次法解方程时，得出一元一次方程，则他漏掉的另一个方程为___________．
配方法
配方法解方程步骤：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；
②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成的形式，并写成完全平方的形式；
④开方，即降次；
⑤解一次方程。
应用：①配方法解方程；②配方法求代数式最值；③配方法解决非负数和为零问题
【练习12】填上适当的数使下面各等式成立：
①____=____； ②________；
③_________； ④________.
【练习13】方程的左边是一个完全平方式，则m= 。
【练习14】把方程化成的形式，则= 、= 。
【练习15】将代数式配方后，发现它有最 值，它的最值为 。
【练习16】将代数式配方后，发现它有最 值，它的最值为 。
【练习17】BC的边长，且满足，则BC的形状为 。
【练习18】BC的边长，且满足，则BC的形状为 。
公式法
（1）叫做方程根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=
△＞0，方程有两个不相等的实数根
△=0，方程有两个相等的实数根
△0，方程有（两个）实数根
△＜0，方程无实数根
【练习19】关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【练习20】已知a为实数，下列关于x的一元二次方程一定有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【练习21】若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【练习22】关于的方程有实数根，则的值不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【练习23】关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2）公式法解一元二次方程
当≥0时，方程的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
【练习24】用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【练习25】用公式法解一元二次方程，得：，则该一元二次方程是_______．
【练习26】一元二次方程的解为________．
【练习27】小明在用公式法解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21．（第二步）
∴．（第三步）
∴．（第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）请你写出此题正确的解答过程．
【练习28】将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题：
(1)图6中的“☆”的个数有_________个；
(2)图中的“☆”的个数有_________个；
(3)图中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由．
【练习29】若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则n的值为______．
根与系数的关系（又名韦达定理）
根与系数成立的前提条件：≥0
① 若一元二次方程得两个根为x1、x2 ，则有x1+x2=-p，x1x2=q；
② 若一元二次方程有两个实数根x1、x2，则有x1+x2=-，x1x2=.
③ 常见考察形式：；；
；；
【练习30】方程的两根为，，则x1+x2= ，x1x2= 。
【练习31】若，满足，，且，则的值为 。
【练习32】已知，是方程的两根，则的值为 。
【练习33】已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求实数的取值范围．
(2)已知方程的一个实数根为1，设另一个实数根为，求．
△与根的个数关系、根与系数的关系（两重关系问题）在解答题中往往综合出题，应注意审题。
因式分解法
因式分解法解方程步骤：
①移项，将所有得项都移到左边，右边化为0；
②把方程得左边分解成两个因式得积，可用得方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式；
③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
④解一次方程。
【练习34】方程的解为________．
【练习35】关于x的一元二次方程有一个根是0，则m=________．
【练习36】小丽与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小丽：两边同除以，得， 解得． 小霞：移项，得， 提取公因式，得． 所以或， 解得，．
(1)你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，说出错误原因，并写出你的解答过程．
(2)请结合上述题目总结：形如的一元二次方程的一般解法．
【练习37】方程的解是_____________.
【练习38】若关于的方程的根是3和，则代数式可分解因式为_____________.
【练习39】用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x+3，则p= 。
【练习40】方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是 。
一元二次方程的常见应用类型：
疾病传播问题
【练习41】一人患了流感，两轮传染后共有121人感染了流感．按这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人共有 人。
【练习42】今年下半年以来，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致．非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．某养猪场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病．
（1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1500头吗？
平均变化率问题
【练习43】2023年蚌埠市为了更好的吸引外资，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，绿地面积增加，则这两年平均每年绿地面积的增长率为（ ）
A． B． C． D．
【练习44】某地新开发风景区2月份的游客人数比1月份增加，3月份的游客人数比2月份减少了．
设该风景区1月份的游客人数为万人，请用含的代数式填表：
月份 1 2 3
游客人数/万人 a
求该风景区2月份、3月份游客人数的月平均增长率．
疾病传播问题、平均增长率问题都适用，平均下降率问题适用，其中是起始值，是终值。
循环（是否去重）问题
【练习45】某班级的一个小组同学每两个都握手一次，共握手次，求该小组共有多少人？
【练习46】在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会
是否去重，关键在于判断事件在俩者之间进行几次，一次需要去重（例：握手、拥抱、对角线、单循环赛等）；两次不需去重（例互送礼物、互送照片、双循环赛等）。
数字问题
【练习47】一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是 .
【练习48】一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．
【练习49】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是 ．
数字问题涉及数位数字时通常采用间接设未知数，表示数字时注意数位数字应乘上对应单位。
几何图形面积问题
修路类似于边框问题，应将道路或直或弯都平移至边上，更利于列等量关系。借墙问题应注意最后检验平行于已知墙的边是否超出已知墙的长度。装门问题应注意，门不占用建筑材料，所以三边周长应为建筑材料长度+门的总宽度。
【练习50】如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，可列方程 。
【练习51】要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为．
(1)若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？
(2)若给定墙长为，则墙长a对题目的解是否有影响？
【练习52】如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米．该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用 总长45米的木栏围成．中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门．设长x米．
(1)求的长度(用含x的代数式表示)．
(2)若饲养场的面积为180平方米，求x的值.
销售问题
销售问题中注意设价格的波动为未知量，便于找出新的利润、新的销量。结合实际问题中，利润率、清理库存等相关要求进行取舍。
【练习53】疫情期间，小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，就会多售出3件．若每件工艺品需要19元成本，设该工艺品的售价为x元/件（）．
(1)请用含x的代数式填空：
①销售每件工艺品的利润为________元；
②每天能售出该工艺品的件数为________．
(2)为了支持抗疫行动，小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向医疗基金会捐款1元，若每天销售该工艺品的纯利润为900元，求该工艺品的售价．
【练习54】某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价多少元。
【练习55】沃柑是零陵区最近几年引进种植的水果品种，它以色泽亮丽，口味甜美而迅速占领了零陵区的水果市场，今年恰逢沃柑大丰收，一水果商以每斤3元的价格购进了大量的沃柑，然后以每斤9元的价格进行销售，平均每天可以销售150斤，经调查发现，如果沃柑的售价每降价1元，那么平均每天的销售量会增加50斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售，如果该水果商销售的沃柑要每天保证盈利1000元，每斤沃柑应降至多少元？
相关概念及一般形式：
概念： ;
判断：①整式方程；②一个未知数；③含未知数的项最高次数为2.
一般形式： .（必须带）
【练习1】下列方程中是一元二次方程的序号有： ；不是一元二次方程的请写明理由。
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥．
【练习2】当______时，关于的方程是一元二次方程．
注意：二次项系数和未知数最高次数为2必须同时满足，易忽略。
【练习3】一元二次方程的二次项系数是 、一次项系数是 、常数项是 .
注意：“”归 所有，如果没有对应项，则该项对应的系数为 .
【练习4】将方程化为一元二次方程的一般式是 。
【练习5】已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是2，则这个方程为______．
一元二次方程的根（解）： .（涉及方程解的问题，代入即可）
应用①——代入检验未知数的值是否为方程的解；
应用②——代入方程的解求解方程中的字母参数；
应用③——代入方程的解求整式的值（整体思想）。
【练习6】已知方程的一个根是，则的值是 .
【练习7】关于x的一元二次方程有一个解是0，则m＝______．
【练习8】若是关于x一元二次方程的一个实数根，则的值__．
一元二次方程的四种解法：
直接开方法
一般地，对于形如方程，根据平方根得定义可解得;
方程，根据平方根得定义可解得.
【练习9】方程的根是 .
【练习10】关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则_______；=______．
【练习11】用直接降次法解方程时，得出一元一次方程，则他漏掉的另一个方程为___________．
配方法
配方法解方程步骤：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；
②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成的形式，并写成完全平方的形式；
④开方，即降次；
⑤解一次方程。
应用：①配方法解方程；②配方法求代数式最值；③配方法解决非负数和为零问题
【练习12】填上适当的数使下面各等式成立：
①____=____； ②________；
③_________； ④________.
【练习13】方程的左边是一个完全平方式，则m= 。
【练习14】把方程化成的形式，则= 、= 。
【练习15】将代数式配方后，发现它有最 值，它的最值为 。
【练习16】将代数式配方后，发现它有最 值，它的最值为 。
【练习17】BC的边长，且满足，则BC的形状为 。
【练习18】BC的边长，且满足，则BC的形状为 。
公式法
（1）叫做方程根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=
△＞0，方程有两个不相等的实数根
△=0，方程有两个相等的实数根
△0，方程有（两个）实数根
△＜0，方程无实数根
【练习19】关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【练习20】已知a为实数，下列关于x的一元二次方程一定有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【练习21】若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【练习22】关于的方程有实数根，则的值不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【练习23】关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2）公式法解一元二次方程
当≥0时，方程的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
【练习24】用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【练习25】用公式法解一元二次方程，得：，则该一元二次方程是_______．
【练习26】一元二次方程的解为________．
【练习27】小明在用公式法解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21．（第二步）
∴．（第三步）
∴．（第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）请你写出此题正确的解答过程．
【练习28】将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题：
(1)图6中的“☆”的个数有_________个；
(2)图中的“☆”的个数有_________个；
(3)图中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由．
【练习29】若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则n的值为______．
根与系数的关系（又名韦达定理）
根与系数成立的前提条件：≥0
① 若一元二次方程得两个根为x1、x2 ，则有x1+x2=-p，x1x2=q；
② 若一元二次方程有两个实数根x1、x2，则有x1+x2=-，x1x2=.
③ 常见考察形式：；；
；；
【练习30】方程的两根为，，则x1+x2= ，x1x2= 。
【练习31】若，满足，，且，则的值为 。
【练习32】已知，是方程的两根，则的值为 。
【练习33】已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求实数的取值范围．
(2)已知方程的一个实数根为1，设另一个实数根为，求．
△与根的个数关系、根与系数的关系（两重关系问题）在解答题中往往综合出题，应注意审题。
因式分解法
因式分解法解方程步骤：
①移项，将所有得项都移到左边，右边化为0；
②把方程得左边分解成两个因式得积，可用得方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式；
③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
④解一次方程。
【练习34】方程的解为________．
【练习35】关于x的一元二次方程有一个根是0，则m=________．
【练习36】小丽与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小丽：两边同除以，得， 解得． 小霞：移项，得， 提取公因式，得． 所以或， 解得，．
(1)你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，说出错误原因，并写出你的解答过程．
(2)请结合上述题目总结：形如的一元二次方程的一般解法．
【练习37】方程的解是_____________.
【练习38】若关于的方程的根是3和，则代数式可分解因式为_____________.
【练习39】用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x+3，则p= 。
【练习40】方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是 。
一元二次方程的常见应用类型：
疾病传播问题
【练习41】一人患了流感，两轮传染后共有121人感染了流感．按这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人共有 人。
【练习42】今年下半年以来，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致．非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．某养猪场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病．
（1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1500头吗？
平均变化率问题
【练习43】2023年蚌埠市为了更好的吸引外资，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，绿地面积增加，则这两年平均每年绿地面积的增长率为（ ）
A． B． C． D．
【练习44】某地新开发风景区2月份的游客人数比1月份增加，3月份的游客人数比2月份减少了．
设该风景区1月份的游客人数为万人，请用含的代数式填表：
月份 1 2 3
游客人数/万人 a
求该风景区2月份、3月份游客人数的月平均增长率．
疾病传播问题、平均增长率问题都适用，平均下降率问题适用，其中是起始值，是终值。
循环（是否去重）问题
【练习45】某班级的一个小组同学每两个都握手一次，共握手次，求该小组共有多少人？
【练习46】在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会
是否去重，关键在于判断事件在俩者之间进行几次，一次需要去重（例：握手、拥抱、对角线、单循环赛等）；两次不需去重（例互送礼物、互送照片、双循环赛等）。
数字问题
【练习47】一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是 .
【练习48】一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．
【练习49】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是 ．
数字问题涉及数位数字时通常采用间接设未知数，表示数字时注意数位数字应乘上对应单位。
几何图形面积问题
修路类似于边框问题，应将道路或直或弯都平移至边上，更利于列等量关系。借墙问题应注意最后检验平行于已知墙的边是否超出已知墙的长度。装门问题应注意，门不占用建筑材料，所以三边周长应为建筑材料长度+门的总宽度。
【练习50】如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，可列方程 。
【练习51】要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为．
(1)若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？
(2)若给定墙长为，则墙长a对题目的解是否有影响？
【练习52】如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米．该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用 总长45米的木栏围成．中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门．设长x米．
(1)求的长度(用含x的代数式表示)．
(2)若饲养场的面积为180平方米，求x的值.
销售问题
销售问题中注意设价格的波动为未知量，便于找出新的利润、新的销量。结合实际问题中，利润率、清理库存等相关要求进行取舍。
【练习53】疫情期间，小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，就会多售出3件．若每件工艺品需要19元成本，设该工艺品的售价为x元/件（）．
(1)请用含x的代数式填空：
①销售每件工艺品的利润为________元；
②每天能售出该工艺品的件数为________．
(2)为了支持抗疫行动，小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向医疗基金会捐款1元，若每天销售该工艺品的纯利润为900元，求该工艺品的售价．
【练习54】某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价多少元。
【练习55】沃柑是零陵区最近几年引进种植的水果品种，它以色泽亮丽，口味甜美而迅速占领了零陵区的水果市场，今年恰逢沃柑大丰收，一水果商以每斤3元的价格购进了大量的沃柑，然后以每斤9元的价格进行销售，平均每天可以销售150斤，经调查发现，如果沃柑的售价每降价1元，那么平均每天的销售量会增加50斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售，如果该水果商销售的沃柑要每天保证盈利1000元，每斤沃柑应降至多少元？
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