24.1.3弧、弦、圆心角导学案 （含答案）2023-2024学年度人教版九年级数学上册

24.1.3 弧、弦、圆心角
学习目标
1.理解圆心角的概念，并能够准确辨认圆心角所对的弧和弦.
2.利用圆的中心对称性，研究圆心角、弧、弦之间的关系，能利用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关的证明与计算问题.
重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.
难点：理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.
学习过程
一、创设问题情境
问题 1.圆是轴对称图形,其对称轴是_______________.圆还是_________对称图形,其对称中心是____________.
2.圆绕____________旋转____________度可以与自身重合,由此可得:圆具有旋转不变性.
1.过圆心的直线 中心对称图圆心 形 2.圆心 任意角度
二、自主学习
自学教材59页内容并思考：
1、由圆的旋转不变性可得到什么结论；
2、圆心角的概念，探究弧、弦、圆心角三者之间的关系并能运用定理解题.
三、揭示问题规律
1.圆心角:顶点在____________的角,叫圆心角.
圆心
2.探究:
(1)如图,☉O中∠AOB=∠A'OB',则AB________A'B', _______.
(2)如图,☉O中=,则∠AOB_______∠A'OB',AB_______A'B'.
(3)如图,☉O中AB=A'B',则∠AOB_______∠A'OB', ________.
(1) = = (2)= = (3)= =
文字语言叙述:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧____________,所对的弦也____________.
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角____________,所对的弦____________.
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角____________,所对的弧____________.
符号语言:如上图
∵∠AOB=∠A'OB', ∴____________,____________.
(2)∵=, ∴____________,____________;
(3)∵AB=A'B', ∴____________,____________.
相 等 相 等
相 等 相 等
相 等 相 等
（1）AB=A'B' = （2）∠AOB=∠A'OB' AB=A'B' （3） = ∠AOB=∠A'OB'
3.反例:在图中,∠AOB=∠A'OB',但弦AB和A'B'相等吗 和相等吗
不相等 不相等
四、尝试应用
【例1 】 已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，且＝，∠AOB＝125°，求∠COD的度数．
解：∵＝，
∴＝，
∴∠AOB＝∠COD，
∵∠AOB＝125°，
∴∠COD＝125°．
【例2 】如图，在⊙O中， 弧AB=弧AC ，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
五、自主总结
1.通过这堂课的学习，你掌握了哪些基本概念和基本方法
2.体会圆的旋转不变性，利用弧、弦、圆心角三者之间的关系定理进行相关证明和计算.
达标测试
一、选择题
1.下面四个图中的角，是圆心角的是(　　)
A. B. C. D.
2.如果两个圆心角相等，那么这两个圆心角（ ）
A．所对的弦相等 B．所对的弧相等
C. 所对的弦的弦心距（圆心到弦的距离）相等 D．以上说法都不对
3.如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(　　)
A.40° B.45° C.50° D.60°
4.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是(　　)
A.弧AB=2弧CD B.弧AB<2弧CD
C.弧AB>2弧CD D.不能确定
5.如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且＝＝，则四边形ABCD的周长等于（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
二、填空题
6.如图，AB是⊙O的直径，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，则∠AOC＝　 　．
7.如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为　 　度．
8.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM，AB＝6，则CD＝　 　．
24.1.3 弧、弦、圆心角关系定理
1.D 2.D
3.A【解析】△OAB中，OA=OB，∴∠BOA=180°-2∠A=80°；
∵点C是的中点，即，∴∠BOC=∠BOA=40°.
4.C【解析】在∠AOB中取弧AB的中点E，那么∠AOE=∠BOE==∠COD，
考虑到同样大小的圆心角对应的弦是相等的，所以AE=BE=CD，
在△ABE中，两边之和大于第三边，所以AE+BE=2CD>AB.
5.B【解析】如图，连接OD、OC．
∵＝＝（已知），
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；
∵AB是直径，
∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；
∵OA＝OD（⊙O的半径），
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OA；
同理，得
OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，
∴AD＝CD＝BC＝OA，
∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm；故选：B．
6. 36°【解析】∵AC＝CD＝DF＝EF＝FB，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠BOF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝∠AOB＝36°．
7. 64【解析】∵∠BOD＝32°，
∴∠AOC＝∠BOD＝32°，
∵＝，
∴∠AOE＝∠AOC＝32°，
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°．
8. 6 解析：连接OM，ON，OA，OC，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝AB，CN＝CD，
∵∠AMN＝∠CNM，
∴∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，
在Rt△AOM与Rt△CON中，，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM＝CN，
∴AB＝CD＝6．