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2.2平方根
一、单选题
1．若，则a是（ ）
A． B．2 C．或2 D．4
【答案】C
【分析】先求出，再开平方求出的值．
【详解】解：，
，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了平方和平方根有关知识，注意不用漏解．
2．下列说法正确的是（ ）
A．正数的平方根是它本身 B．是100的一个平方根
C．100的平方根是10 D．的平方根是
【答案】B
【分析】根据平方根的定义逐项分析即可．
【详解】解：A、正数的平方根有2个，它们是互为相反数，原说法错误，本选项不符合题意；
B、∵，∴是100的一个平方根，正确，本选项符合题意；
C、100的平方根是，原说法错误，本选项不符合题意；
D、没有平方根，原说法错误，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
3．关于代数式的说法正确的是（ ）
A．时最大 B．时最小
C．时最大 D．时最小
【答案】C
【分析】根据算术平方根的非负性解答即可．
【详解】解：，
当时，的值最大为3．
故选：C．
【点睛】本题考查非负数的性质，掌握算术平方根的非负性是解题关键．
4．已知实数，若互为相反数，互为倒数，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知，，，由，可得，分别计算，时代数式的值即可．
【详解】解：由题意知，，，
∵，
∴，
当，，
当，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，倒数，平方根，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
5．已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果（ ）
A． B． C．11 D．
【答案】D
【分析】根据数轴可知，根据绝对值和算术平方根的性质化简即可．
【详解】解：根据数轴可知：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值和算术平方根的性质，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；．
6．设，，，…，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察第一步的几个计算结果，得出一般规律，然后利用规律解答即可．
【详解】解：∵，，，，…，，
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了数字算式的变化规律．观察几个结果的结果、由特殊到一般得出规律是关键．
7．如图所示的图形都是由“”构成的，观察图形变化规律，若图中有361个“”，则的值为（ ）
A．13 B．12 C．19 D．18
【答案】D
【分析】由图中可得规律得出图中的“”有个，令，进行计算即可得到答案．
【详解】解：由图可得：
图1中的“ ”有（个）；
图2中的“ ”有（个）；
图3中的“ ”有（个）；
图4中的“ ”有（个）；
……；
图中的“ ”有个，
图中有361个“ ”，
，
解得：或（舍去），
第18个图形有361个“ ”，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，解题的关键是根据图形找出一般规律：图中的“ ”有个．
8．已知，满足，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据实数的非负性确定x，y的值，代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了实数的非负性，幂的计算，熟练掌握性质，灵活进行幂的运算是解题的关键．
9．若则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将两边同时平方，求出，可凑出，再开方即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用和开平方的运算，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
10．如图是用4个相同的长方形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案．已知该图案的总面积为m，小正方形的面积为n．若用x、y表示长方形的两边长（），请观察图案，指出下列关系式：①、②、③、④若，则．这四个结论中正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据该图案的总面积、正方形的面积公式即可判断①；根据小正方形的面积、正方形的面积公式可得，从而可得，再结合①即可判断②；根据四个长方形的面积等于两个正方形的面积之差即可判断③；先将用含的式子表示出来，由此即可判断④．
【详解】解：该图案是正方形，且该图案的总面积为，边长为，
，结论①正确；
小正方形的面积为，边长为，
，
由得：，
则，即，结论②正确；
四个长方形的面积等于两个正方形的面积之差，
，即，结论③正确；
由结论②可知，，
代入得：，
若，则，即，
，结论④错误；
综上，这四个结论中正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减与图形面积、算术平方根的应用，读懂图形，熟练掌握各图形面积之间的关系是解题关键．
11．设m为大于1且小于100的整数，则m的平方根中，属于无理数的个数有（ ）
A．92个 B．180个 C．182个 D．184个
【答案】B
【分析】1至100之间，除去完全平方数，余下的数字的平方根均为无理数．
【详解】1至100之间（不含1和100）共计有98个数，完全平方数有4、9、16、25、36、49、64、81，共计8个数，
则余下的数有98-8=90个数，
则m可以取的数有90个，
这90个数的平方根有180个，且都是无理数，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数以及平方根的知识．无限不循环的小数是无理数，找到m可以取值的个数是解答本题的关键．
二、填空题
12．的算术平方根为 ．
【答案】
【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案．
【详解】，9的算术平方根为
的算术平方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
13．已知，则a的值是 ．
【答案】1
【分析】根据的算术平方根是可解答．
【详解】解：，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键．
14．若，，且，则 ．
【答案】/
【分析】根据，，得出，，根据，得出，，代入求出几个即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确计算．
15．若，y是9的算术平方根，则的值是 ．
【答案】8或/或8
【分析】根据绝对值的性质及算术平方根的定义分别求得x，y的值后代入中计算即可．
【详解】解：∵，y是9的算术平方根，
∴，，
当，时，，
当，时，，
综上，的值是8或，
故答案为：8或．
【点睛】本题考查绝对值的性质及算术平方根的定义、代数式求值，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．
16．若，则的值为 ．
【答案】4
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，得出x和y的值，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，解得：，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0．
17．已知与互为相反数，则 ．
【答案】
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，
则，
解得，，
则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相反数的意义、二次根式与偶次幂的非负性及有理数的乘方运算，熟练掌握相反数的意义、二次根式与偶次幂的非负性及有理数的乘方运算是解题的关键．
18．若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ．
【答案】
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求解；
【详解】解：∵该正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平方根的概念，掌握相关知识是解题的关键．
19．若一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数为 .
【答案】121
【分析】根据正数的平方根有2个，且互为相反数可求出a的值，进而求出这个正数．
【详解】∵一个正数的两个平方根分别为和，
∴，
解得，
∴，
∴这个正数是．
故答案是：．
【点睛】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
20．将一组数，2，，，，…，下列方式进行排列：
，2，，，；
，，4，，；
…
若2的位置记为，的位置记为，则这个数的位置记为 ．
【答案】
【分析】每行5个数，被开方数为偶数，第n个数可表示为，，，故位于第80行，第5列的位置，故这个数的位置记为．
【详解】解：原排列即：
，，，，；
，，，，；
…
每行5个数，被开方数为偶数，第n个数可表示为
，，故为第400个数，位于第80行，第5列的位置，，，故这个数的位置记为；
故答案为：
【点睛】本题考查数字规律探索，由已知数列，得出第n个数可表示为的规律是解题的关键．
21．若与的和是单项式，则的算术平方根是 ．
【答案】4
【分析】根据同类项的定义解得的值，即可求得的值，然后求其算术平方根即可．
【详解】解：若与的和是单项式，即与为同类项，
则有，
∴，
∵，
∴的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了同类项、代数式求值、算术平方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
22．若实数、满足，且、恰好是直角三角形的两直角边长，则该直角三角形的斜边上的高为 .
【答案】
【分析】利用非负数的性质求出m，n，再根据勾股定理求得第三边的长度，结合等面积法求得答案．
【详解】解：设该直角三角形的第三边的长度为c，该直角三角形的斜边上的高为h，
∵实数、满足，
∴且，
∴，
则，此时，则，
∴该直角三角形的斜边上的高为，
故答案为：．
【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”，属于中考常考题型．
三、解答题
23．（1）若，则x的取值范围为 ；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据的算术平方根为正值可知，进而可解答；
（2）根据实数a，b，c在数轴上的对应点位置可知，进而可化简；
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：根据实数a，b，c在数轴上的对应点位置可知，
∴原式．
【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，绝对值，二次根式的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
24．已知正数x的平方根是m和．
(1)当时，求m的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正数平方根互为相反数即可求出m的值；
（2）利用平方根的定义得到，，代入式子即可求出x值．
【详解】（1）解：正数x的平方根是m和，
，
，
，
；
（2）解：正数x的平方根是m和，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平方根的定义及平方根的应用，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
25．已知一个正数的平方根是和．
(1)求出的值；
(2)求这个正数；
(3)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据平方根的特征得出，进行计算即可得到答案；
（2）先求出的值，再平方即可得到答案；
（3）先计算出的值，再求出的平方根即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的平方根是和，
∴，
∴；
（2）解：，
这个正数为；
（3）解：，
，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、平方根、算术平方根，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
26．（1）的最小值为________；
（2）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：
①如图，作一条长为16的线段；
②过C在线段上方作线段的垂线AC，便；过D在线段下方作线段的垂线，使；
③在线段上任取一点O，设；
④根据勾股定理计算可得，________，________（请用含x的代数式表示，不需要化简）；
⑤则的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为________．
（3）请结合第（2）问，直接写出的最小值________．
【答案】（1）9；（2）④，；（3）10．
【分析】（1）利用的算术平方根的非负性即可求解；
（2）④利用勾股定理建立等式即可；⑤连接，交于,根据两点间距离最短，此时取得最小值，延长于，使得，再利用勾股定理求解；
（3）直接仿照（2）中得解题思路画图，利用数形结合的思想求解．
【详解】解：（1）解：当时，取的最小值为9，
故答案为：9；
（2）解：④，，
故答案为：，；
⑤连接，交于,根据两点间距离最短，此时取得最小值，
延长于，使得，如下图：
，
为最小值，
故答案为：；
（3）解：结合第（2）的解题方法，
如下图：
设点表示，，则表示为的值，由（2）中得方法知的最小值为：，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是读懂第（2）问中得解题方法，再利用方法求解．
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2.2平方根
一、单选题
1．若，则a是（ ）
A． B．2 C．或2 D．4
2．下列说法正确的是（ ）
A．正数的平方根是它本身 B．是100的一个平方根
C．100的平方根是10 D．的平方根是
3．关于代数式的说法正确的是（ ）
A．时最大 B．时最小
C．时最大 D．时最小
4．已知实数，若互为相反数，互为倒数，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果（ ）
A． B． C．11 D．
6．设，，，…，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示的图形都是由“”构成的，观察图形变化规律，若图中有361个“”，则的值为（ ）
A．13 B．12 C．19 D．18
8．已知，满足，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
9．若则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图是用4个相同的长方形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案．已知该图案的总面积为m，小正方形的面积为n．若用x、y表示长方形的两边长（），请观察图案，指出下列关系式：①、②、③、④若，则．这四个结论中正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．设m为大于1且小于100的整数，则m的平方根中，属于无理数的个数有（ ）
A．92个 B．180个 C．182个 D．184个
二、填空题
12．的算术平方根为 ．
14．若，，且，则 ．
15．若，y是9的算术平方根，则的值是 ．
16．若，则的值为 ．
17．已知与互为相反数，则 ．
18．若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ．
19．若一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数为 .
20．将一组数，2，，，，…，下列方式进行排列：
，2，，，；
，，4，，；
…
若2的位置记为，的位置记为，则这个数的位置记为 ．
21．若与的和是单项式，则的算术平方根是 ．
22．若实数、满足，且、恰好是直角三角形的两直角边长，则该直角三角形的斜边上的高为 .
三、解答题
23．（1）若，则x的取值范围为 ；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简．
24．已知正数x的平方根是m和．
(1)当时，求m的值；
(2)若，求的值．
25．已知一个正数的平方根是和．
(1)求出的值；
(2)求这个正数；
(3)求的平方根．
26．（1）的最小值为________；
（2）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：
①如图，作一条长为16的线段；
②过C在线段上方作线段的垂线AC，便；过D在线段下方作线段的垂线，使；
③在线段上任取一点O，设；
④根据勾股定理计算可得，________，________（请用含x的代数式表示，不需要化简）；
⑤则的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为________．
（3）请结合第（2）问，直接写出的最小值________．
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