第二章 平面解析几何 测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 第二章 平面解析几何 测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 878.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-23 15:32:03 | ||
图片预览
文档简介
第二章 平面解析几何 测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.如图，已知直线，，在上任取一点A，在上任取一点B，连接AB，取AB上靠近点A的三等分点C，过点C作的平行线，则与的距离为( ).
A. B. C. D.
3.如图，圆M和圆N均与x轴相切，且与直线分别相切于点A，B，若，C为AB与MN的交点，，则实数k的值为( ).
A.1 B. C. D.
4.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点M与两定点A,B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆”.下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆上的动点M和定点,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知F是椭圆的左焦点，P为C上一点，点，则的最小值为( )
A. B. C.4 D.
6.已知双曲线的左、右焦点为，，过作x轴的垂线与C交于A，B两点，与y轴交于点D，直线BD的斜率为-2.则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D.
7.抛物线的焦点为F，点M在C上，则的最小值为( )
A. B. C.1 D.2
8.以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9.椭圆C的两个焦点为，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，若，则( )
A. B.椭圆方程为
C.的面积为 D.的周长为6
10.若双曲线C的一个焦点，P是双曲线上一点，且渐近线方程为，则下列结论中正确的是( )
A.双曲线C的方程为 B.双曲线C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3 D.PF的最小值为2
11.在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论正确的是( )
A.抛物线的准线方程为 B.
C.的面积为 D.
12.若将直线向右平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，平移后的直线与圆相切，则c的值为( )
A.14 B. C.6 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.过点作圆的切线l，直线与l平行，则与l间的距离为_______.
14.已知圆O的方程为，则点到圆上的点的距离的最大值为__________.
15.焦点在x轴上的椭圆焦距为8，两个焦点为，，弦AB过点，则的周长为___________.
16.已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点.若，则C的离心率为__________________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知抛物线的焦点为F，B是圆上的动点，的最大值为6.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若斜率为的直线经过点，过点G作直线与抛物线C交于点M，N，设，直线EM，EN与直线分别交于点P，Q，求证：点P，Q到直线的距离相等.
18. （12分）在平面直角坐标系中，动点P到直线的距离与到定点的距离之比
为2.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点F的直线交轨迹E于两点，线段的垂直平分线与交于点C，与直线
交于点D，设直线AB的方程为，请用含m的式子表示，并探究
是否存在实数m，使若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
19. （12分）已知圆，点P是直线上的一个动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.
（1）当切线PA的长度为时，求线段PM的长度；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当点P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过，求出所有的定点的坐标，若不过，说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值.
20. （12分）已知中，，，.求：
(1)BC边上的高所在直线的方程；
(2)的面积.
21. （12分）已知椭圆的左、右顶分别为A，B，以坐标原点为圆心，以为半径的圆与椭圆C在第一、二象限分别交于点M，N，，且的面积为.
(1)求C的方程；
(2)设经过点的直线PA，PB，分别与C交于两点，其中，试判断直线EF是否过x轴上一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
22. （12分）已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且.
（1）求的离心率；
（2）设M是与的公共点.若，求与的标准方程.
答案以及解析
1.答案：C
解析：直线斜率，所以直线的倾斜角为.故选C.
2.答案：B
解析：与的距离为，所以与的距离为.
3.答案：C
解析：由与相似，可得，如图，记圆M、圆N与x轴分别相切于点P，Q，则OM平分，平分，于是，又，可得与全等，故，.
4.答案：C
解析：①当点M在x轴上时，点M的坐标为或.若点M的坐标为，则；若点M的坐标为，则.②当点M不在x轴上时，取点，连接OM，MK，因为,,,所以.
又因为，所以，则，所以，则.易知，所以的最小值为.因为，，所以.综上可知，的最小值为.
5.答案：D
解析：由椭圆的方程可知，，.如图所示，设是椭圆的右焦点.由椭圆的定义可知，，所以，所以求的最小值，也就是求的最大值.由图易知，当P，A，三点共线时，取得最大值，此时，所以的最小值为.
6.答案：C
解析：设，则.因为轴，所以，.因为，所以点D为的中点，所以点D的坐标为.
因为，所以，，即，解得或 (舍)，故选C.
7.答案：A
解析：将C的方程化为标准方程得，所以，
设M的纵坐标为，则.故选A.
8.答案：C
解析：直线与x轴，y轴的交点分别是，，所以所求抛物线的焦点为或，因此，所求抛物线的标准方程为或.
9.答案：AC
解析：设椭圆的标准方程为，易知，
设，则，
由椭圆的定义可得，
，
，不妨设点A是椭圆的下顶点，
，
，
，解得，
椭圆方程为B选项不正确.
A选项正确.
直线的方程为，
联立消去y，得或，
C选项正确.
的周长为D选项不正确.故选AC.
10.答案：AD
解析：由双曲线C的一个焦点，且渐近线方程为，可得，焦点在x轴上，所以.由，得，，所以双曲线C的方程为，故A正确；双曲线C的离心率为，故B错误；焦点到渐近线的距离为，故C错误；PF的最小值为，故D正确.故选AD.
11.答案：AD
解析：点在抛物线上，
，焦点为，
准线为，A正确，因为，故，故直线MF为：，
联立或，B错误；，D正确；
的面积为，故C错误.故选AD.
12.答案：AD
解析：将直线即向右平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，平移后的直线方程为，即.由直线与圆相切，得，即，所以或.
13.答案：
解析：由题意，知直线的斜率，则直线l的方程为，即.由l与圆C相切,得,解得，所以l的方程为，的方程为，则两直线间的距离为.
14.答案：
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点的距离最大，最大距离为.
15.答案：
解析：因为焦距为8，所以，又焦点在x轴的椭圆方程为，所以，则，根据椭圆定义得，所以的周长为.
故答案为：.
16.答案：
解析：解法一：不妨设点M、N在渐近线上，如图，为等边三角形，且，
则A点到渐近线的距离为，又将变形为一般形式为，则到渐近线的距离，所以，即，
所以双曲线的离心率.
解法二：不妨设点M、N在渐近线上，如图，作AC垂直于MN，垂足为C，
由题意知点A的坐标为，则，在中，，，所以，所以离心率.
17.答案：(1)标准方程为.
(2)证明过程见解析.
解析：(1)由已知得，
所以的最大值为，
所以，抛物线C的标准方程为.
(2)易得直线的方程为，即.
设，由题意知直线的斜率存在，
设其方程为，
由得，
所以，
.
当直线EM和EN的斜率均存在时，易知直线EM的方程为，
由得，
同理可得，
所以
，
所以点G是线段PQ的中点，
又点G在直线上，所以点P，Q到直线的距离相等.
当直线EM的斜率不存在时，，则直线EM的方程为，
直线的方程为，
易得，所以.
同理，当直线EN的斜率不存在时可得，
所以点P，Q到直线的距离相等.
综上，点P，Q到直线的距离相等.
18.答案：（1）
（2）存在，使
解析：（1）设，则由题得，化简整理得，
所以动点P的轨迹E的方程为.
（2）设，
联立消去x，得，
则，
所以，
又，所以,于是，
所以.
令，解得，
因此存在，使.
19.答案：（1）由题意知，圆M的半径，圆心，
是圆的一条切线，.
.
（2）圆N过定点.
设，，经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，
圆心，半径为，
圆N的方程为，
即，
由解得或
圆N过定点和.
（3）由（2）知，圆N的方程为，
即，①
圆，
即，②
②-①得，
即为直线AB的方程.
又圆心到直线AB的距离，
，
当时，线段AB的长度有最小值.
20.答案：(1)
(2)
解析：(1)由斜率公式，得，
所以BC边上的高所在直线的方程为，即.
(2)由两点间的距离公式，得.
又BC边所在的直线方程为，即，
所以点A到直线BC的距离，
故.
21.答案：(1)方程为.
(2)经过定点，定点坐标为.
解析：(1)由题意可知，，，
，，
M，N两点的坐标分别为，
代入椭圆C的方程得.
，，
椭圆C的方程为.
(2)设直线.
由题意可知，P，E，A三点共线，P，B，F三点共线，且，
由P，E，A三点共线可得，
，
即消去得，
把代入化简得，
同理由P，B，F三点共线可以得到.
联立直线EF和椭圆C的方程，
整理得，
由韦达定理得.
又，
，
，
化简得，
解得，
直线EF经过x轴上的定点.
22.答案：（1）
（2）的标准方程为，的标准方程为
解析：（1）由已知可设的方程为，其中.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，；C，D的纵坐标分别为，，故，.由得，即.解得（舍去）或.所以的离心率为.
（2）由（1）知，，故.
设，则，，故①.
由于的准线为，所以，而，故，代入①得，即，解得（舍去）或.
所以的标准方程为，的标准方程为.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.如图，已知直线，，在上任取一点A，在上任取一点B，连接AB，取AB上靠近点A的三等分点C，过点C作的平行线，则与的距离为( ).
A. B. C. D.
3.如图，圆M和圆N均与x轴相切，且与直线分别相切于点A，B，若，C为AB与MN的交点，，则实数k的值为( ).
A.1 B. C. D.
4.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点M与两定点A,B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆”.下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆上的动点M和定点,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知F是椭圆的左焦点，P为C上一点，点，则的最小值为( )
A. B. C.4 D.
6.已知双曲线的左、右焦点为，，过作x轴的垂线与C交于A，B两点，与y轴交于点D，直线BD的斜率为-2.则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D.
7.抛物线的焦点为F，点M在C上，则的最小值为( )
A. B. C.1 D.2
8.以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9.椭圆C的两个焦点为，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，若，则( )
A. B.椭圆方程为
C.的面积为 D.的周长为6
10.若双曲线C的一个焦点，P是双曲线上一点，且渐近线方程为，则下列结论中正确的是( )
A.双曲线C的方程为 B.双曲线C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3 D.PF的最小值为2
11.在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论正确的是( )
A.抛物线的准线方程为 B.
C.的面积为 D.
12.若将直线向右平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，平移后的直线与圆相切，则c的值为( )
A.14 B. C.6 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.过点作圆的切线l，直线与l平行，则与l间的距离为_______.
14.已知圆O的方程为，则点到圆上的点的距离的最大值为__________.
15.焦点在x轴上的椭圆焦距为8，两个焦点为，，弦AB过点，则的周长为___________.
16.已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点.若，则C的离心率为__________________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知抛物线的焦点为F，B是圆上的动点，的最大值为6.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若斜率为的直线经过点，过点G作直线与抛物线C交于点M，N，设，直线EM，EN与直线分别交于点P，Q，求证：点P，Q到直线的距离相等.
18. （12分）在平面直角坐标系中，动点P到直线的距离与到定点的距离之比
为2.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点F的直线交轨迹E于两点，线段的垂直平分线与交于点C，与直线
交于点D，设直线AB的方程为，请用含m的式子表示，并探究
是否存在实数m，使若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
19. （12分）已知圆，点P是直线上的一个动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.
（1）当切线PA的长度为时，求线段PM的长度；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当点P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过，求出所有的定点的坐标，若不过，说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值.
20. （12分）已知中，，，.求：
(1)BC边上的高所在直线的方程；
(2)的面积.
21. （12分）已知椭圆的左、右顶分别为A，B，以坐标原点为圆心，以为半径的圆与椭圆C在第一、二象限分别交于点M，N，，且的面积为.
(1)求C的方程；
(2)设经过点的直线PA，PB，分别与C交于两点，其中，试判断直线EF是否过x轴上一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
22. （12分）已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且.
（1）求的离心率；
（2）设M是与的公共点.若，求与的标准方程.
答案以及解析
1.答案：C
解析：直线斜率，所以直线的倾斜角为.故选C.
2.答案：B
解析：与的距离为，所以与的距离为.
3.答案：C
解析：由与相似，可得，如图，记圆M、圆N与x轴分别相切于点P，Q，则OM平分，平分，于是，又，可得与全等，故，.
4.答案：C
解析：①当点M在x轴上时，点M的坐标为或.若点M的坐标为，则；若点M的坐标为，则.②当点M不在x轴上时，取点，连接OM，MK，因为,,,所以.
又因为，所以，则，所以，则.易知，所以的最小值为.因为，，所以.综上可知，的最小值为.
5.答案：D
解析：由椭圆的方程可知，，.如图所示，设是椭圆的右焦点.由椭圆的定义可知，，所以，所以求的最小值，也就是求的最大值.由图易知，当P，A，三点共线时，取得最大值，此时，所以的最小值为.
6.答案：C
解析：设，则.因为轴，所以，.因为，所以点D为的中点，所以点D的坐标为.
因为，所以，，即，解得或 (舍)，故选C.
7.答案：A
解析：将C的方程化为标准方程得，所以，
设M的纵坐标为，则.故选A.
8.答案：C
解析：直线与x轴，y轴的交点分别是，，所以所求抛物线的焦点为或，因此，所求抛物线的标准方程为或.
9.答案：AC
解析：设椭圆的标准方程为，易知，
设，则，
由椭圆的定义可得，
，
，不妨设点A是椭圆的下顶点，
，
，
，解得，
椭圆方程为B选项不正确.
A选项正确.
直线的方程为，
联立消去y，得或，
C选项正确.
的周长为D选项不正确.故选AC.
10.答案：AD
解析：由双曲线C的一个焦点，且渐近线方程为，可得，焦点在x轴上，所以.由，得，，所以双曲线C的方程为，故A正确；双曲线C的离心率为，故B错误；焦点到渐近线的距离为，故C错误；PF的最小值为，故D正确.故选AD.
11.答案：AD
解析：点在抛物线上，
，焦点为，
准线为，A正确，因为，故，故直线MF为：，
联立或，B错误；，D正确；
的面积为，故C错误.故选AD.
12.答案：AD
解析：将直线即向右平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，平移后的直线方程为，即.由直线与圆相切，得，即，所以或.
13.答案：
解析：由题意，知直线的斜率，则直线l的方程为，即.由l与圆C相切,得,解得，所以l的方程为，的方程为，则两直线间的距离为.
14.答案：
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点的距离最大，最大距离为.
15.答案：
解析：因为焦距为8，所以，又焦点在x轴的椭圆方程为，所以，则，根据椭圆定义得，所以的周长为.
故答案为：.
16.答案：
解析：解法一：不妨设点M、N在渐近线上，如图，为等边三角形，且，
则A点到渐近线的距离为，又将变形为一般形式为，则到渐近线的距离，所以，即，
所以双曲线的离心率.
解法二：不妨设点M、N在渐近线上，如图，作AC垂直于MN，垂足为C，
由题意知点A的坐标为，则，在中，，，所以，所以离心率.
17.答案：(1)标准方程为.
(2)证明过程见解析.
解析：(1)由已知得，
所以的最大值为，
所以，抛物线C的标准方程为.
(2)易得直线的方程为，即.
设，由题意知直线的斜率存在，
设其方程为，
由得，
所以，
.
当直线EM和EN的斜率均存在时，易知直线EM的方程为，
由得，
同理可得，
所以
，
所以点G是线段PQ的中点，
又点G在直线上，所以点P，Q到直线的距离相等.
当直线EM的斜率不存在时，，则直线EM的方程为，
直线的方程为，
易得，所以.
同理，当直线EN的斜率不存在时可得，
所以点P，Q到直线的距离相等.
综上，点P，Q到直线的距离相等.
18.答案：（1）
（2）存在，使
解析：（1）设，则由题得，化简整理得，
所以动点P的轨迹E的方程为.
（2）设，
联立消去x，得，
则，
所以，
又，所以,于是，
所以.
令，解得，
因此存在，使.
19.答案：（1）由题意知，圆M的半径，圆心，
是圆的一条切线，.
.
（2）圆N过定点.
设，，经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，
圆心，半径为，
圆N的方程为，
即，
由解得或
圆N过定点和.
（3）由（2）知，圆N的方程为，
即，①
圆，
即，②
②-①得，
即为直线AB的方程.
又圆心到直线AB的距离，
，
当时，线段AB的长度有最小值.
20.答案：(1)
(2)
解析：(1)由斜率公式，得，
所以BC边上的高所在直线的方程为，即.
(2)由两点间的距离公式，得.
又BC边所在的直线方程为，即，
所以点A到直线BC的距离，
故.
21.答案：(1)方程为.
(2)经过定点，定点坐标为.
解析：(1)由题意可知，，，
，，
M，N两点的坐标分别为，
代入椭圆C的方程得.
，，
椭圆C的方程为.
(2)设直线.
由题意可知，P，E，A三点共线，P，B，F三点共线，且，
由P，E，A三点共线可得，
，
即消去得，
把代入化简得，
同理由P，B，F三点共线可以得到.
联立直线EF和椭圆C的方程，
整理得，
由韦达定理得.
又，
，
，
化简得，
解得，
直线EF经过x轴上的定点.
22.答案：（1）
（2）的标准方程为，的标准方程为
解析：（1）由已知可设的方程为，其中.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，；C，D的纵坐标分别为，，故，.由得，即.解得（舍去）或.所以的离心率为.
（2）由（1）知，，故.
设，则，，故①.
由于的准线为，所以，而，故，代入①得，即，解得（舍去）或.
所以的标准方程为，的标准方程为.